優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計(jì) 培養(yǎng)高階思維能力
——以蘇教版“等比數(shù)列(1)”為例

黃 榮

(江蘇省如皋市第二中學(xué) 226500)

1 引言

隨著數(shù)學(xué)課程改革的進(jìn)一步推進(jìn),《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出:數(shù)學(xué)教育應(yīng)能促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展[1]．因此,發(fā)展學(xué)生的高階思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo),也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架的核心內(nèi)容．在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力,是每一位數(shù)學(xué)教師需要思考和解決的問題．

作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主陣地,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維能力的主要途徑．因此精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、優(yōu)化教學(xué)環(huán)節(jié)就顯得尤為重要．筆者在設(shè)計(jì)“等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)”這一節(jié)課時(shí),通過引導(dǎo)學(xué)生分析情境中幾個(gè)數(shù)列的特征,鏈接等差數(shù)列,使得學(xué)生理解等比數(shù)列的概念并自主探究出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．

2 教學(xué)過程

根據(jù)對(duì)教材的分析,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平,確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo):(1)通過脆餅制作、細(xì)胞分裂等3個(gè)情境歸納等比數(shù)列的概念;(2)類比等差數(shù)列定義和通項(xiàng)公式的探究過程,探索等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式;(3)通過對(duì)等比數(shù)列的研究,提升觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì)．

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的探究、認(rèn)識(shí)與應(yīng)用,教學(xué)難點(diǎn)是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用．

2.1 創(chuàng)設(shè)問題情境

師:前一段時(shí)間我們學(xué)習(xí)了一類特殊數(shù)列——等差數(shù)列,它主要研究an與an+1之間的特殊關(guān)系．其實(shí)生活中還有很多有趣的現(xiàn)象,與它們有關(guān)的特殊數(shù)列也很有研究?jī)r(jià)值．比如如皋丁堰特產(chǎn)脆餅的制作,我們先來了解一下脆餅坯皮的制作過程(播放脆餅制作視頻)．

師:如果我們依次記錄每次搟平后坯皮的層數(shù),能得到一個(gè)怎樣的數(shù)列?

生:1,3,9,27,… ①．

師:這是一個(gè)不同于等差數(shù)列的數(shù)列,生活中這樣的數(shù)列還有很多,請(qǐng)大家閱讀活動(dòng)1中的材料并思考材料后的問題．

某種細(xì)胞,如果每個(gè)細(xì)胞每分鐘分裂為2個(gè),那么每過1分鐘,1個(gè)細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)依次為1,2,4,8,16,… ②．

師:材料中三個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之間有什么關(guān)系?

生:①中每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的3倍．

師:能不能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示?

生:a2=3a1,a3=3a2,…,an+1=3an,…．

師:還有其他表示形式嗎?

師:其余兩個(gè)材料中的數(shù)列呢?

2.2 提煉等比數(shù)列定義

師:你們發(fā)現(xiàn)數(shù)列①～③的共同特點(diǎn)了嗎?

師:我們把具有這一特征的數(shù)列稱為等比數(shù)列．等比數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)和我們已經(jīng)學(xué)過的等差數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)有什么區(qū)別和聯(lián)系?

生:等比數(shù)列和等差數(shù)列都是數(shù)列中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)有聯(lián)系．

生:等比數(shù)列是后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù),而等差數(shù)列是差．

師:我們發(fā)現(xiàn)兩者存在聯(lián)系但又有區(qū)別,請(qǐng)大家類比等差數(shù)列,嘗試定義等比數(shù)列．

設(shè)計(jì)意圖以先驗(yàn)知識(shí)等差數(shù)列為探究支架,引導(dǎo)學(xué)生尋找材料中3個(gè)情境的共同特征,提煉問題本質(zhì)特征,概括得出等比數(shù)列定義,同時(shí)檢驗(yàn)3個(gè)情境是否符合定義．通過短視頻向?qū)W生介紹家鄉(xiāng)的特色文化,幫助學(xué)生建立生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)思維思考世界,發(fā)展正確的數(shù)學(xué)觀．

2.3 編制等比數(shù)列

師:請(qǐng)根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出幾個(gè)等比數(shù)列,并指出公比．(學(xué)生獨(dú)立完成,同桌相互交流,教師選擇學(xué)生回答)

生:1,4,16,64,…,公比為4．

生:1,1,1,1,…,公比為1．

生:3,3,3,3,…,公比為1．

師:這3個(gè)數(shù)列都是常數(shù)列,它們都是等比數(shù)列．那是不是所有常數(shù)列都是等比數(shù)列呢?

生:是的．

生:0,0,0,0,…,不是等比數(shù)列．0除0沒有意義．

師:非常好．由此我們可以知道數(shù)列中的項(xiàng)不能等于0,那么公比能不能為0?

生:不能,公比為0,那第二項(xiàng)就為0,不行．

師:請(qǐng)同學(xué)們注意——等比數(shù)列中各項(xiàng)不為0,公比不為0．

設(shè)計(jì)意圖課堂中適當(dāng)留白,體現(xiàn)學(xué)生主體地位,讓學(xué)生在自我實(shí)踐中更深入地理解等比數(shù)列的概念及項(xiàng)與公比的取值限制,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的批判思維,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

2.4 等比數(shù)列定義的應(yīng)用

師:請(qǐng)大家判斷例1中的三個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列.如果不是,請(qǐng)說明理由;如果是,請(qǐng)求出公比．同時(shí)反思等比數(shù)列定義中的關(guān)鍵詞．

例1 判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列:

(1) 0,1,2,4,8;

(2) 1,3,9,18,54;

生:第(1)題中的數(shù)列不是等比數(shù)列,因?yàn)榈谝豁?xiàng)等于0,0不能做分母．

師:通過進(jìn)一步學(xué)習(xí),你認(rèn)為等比數(shù)列定義中有哪些詞比較重要?

生:同一個(gè)常數(shù)．

生:后一項(xiàng)比前一項(xiàng)．

生:每一項(xiàng)．

生:從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)．

師:很好．(用彩色粉筆對(duì)定義中的重點(diǎn)內(nèi)容作出標(biāo)注)

師:帶著你對(duì)等比數(shù)列定義的理解完成例2．

學(xué)生獨(dú)立完成后投影展示(圖1)．

圖1

師點(diǎn)評(píng):1)求等比數(shù)列中的未知項(xiàng)就抓住等比數(shù)列的定義構(gòu)造方程;2)注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．

師:三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,中間數(shù)A叫作a和b的等差中項(xiàng)．第(2)題中2,m,8三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,類比等差中項(xiàng),我們把m叫作2和8的等比中項(xiàng)．

板書等比中項(xiàng)定義:若a,G,b是等比數(shù)列,則G叫作a和b的等比中項(xiàng)．

師:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是不是任意兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)?

生:不是,要同號(hào)且非零的實(shí)數(shù)．

師:理由?

生:G是a和b的等比中項(xiàng),則可以變形得到G2=ab>0．

師:很好.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù) 才有等比中項(xiàng),且等比中項(xiàng)有兩個(gè),它們互為相反數(shù)．

設(shè)計(jì)意圖根據(jù)教材設(shè)計(jì)了兩個(gè)例題,幫助學(xué)生升華對(duì)等比數(shù)列定義的理解,同時(shí)由例2類比等差中項(xiàng)引出等比中項(xiàng)的概念．

2.5 探究通項(xiàng)公式

師:理解了等比數(shù)列的定義,接下來我們一起探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．請(qǐng)大家思考活動(dòng)4中第1和第2兩問．

試寫出閱讀材料中每個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

生:數(shù)列①的通項(xiàng)公式是an=3n-1(n∈N*)．

師:說出你的思考過程．

生:a2=3a1=3,a3=3a2=32a1=32,a4= 3a3=33a1=33,…,an=3an-1=3n-1a1=3n-1．

師:很好.這位同學(xué)通過歸納、猜想得出了通項(xiàng)公式,那么數(shù)列②和③的通項(xiàng)公式是什么?你的方法和剛才的同學(xué)是否一樣?

生:數(shù)列②的通項(xiàng)公式是an=2n-1(n∈N*),方法一樣．

師:很好.大家都通過歸納、猜想得到了三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．之前我們概括等比數(shù)列的定義時(shí)比較了等比數(shù)列與等差數(shù)列的區(qū)別和聯(lián)系．大家能否根據(jù)等比數(shù)列的定義,類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程,探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?(學(xué)生獨(dú)立完成,小組內(nèi)討論交流,學(xué)生展示,教師點(diǎn)評(píng)提煉)

生1的解答(歸納猜想)如圖2所示．

圖2

生2的解答(累積法,不嚴(yán)謹(jǐn))如圖3所示．

圖3

生3的解答(累積法)如圖4所示．

圖4

教師總結(jié)學(xué)生使用的推導(dǎo)方法,并指出每個(gè)方法的注意點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn),同時(shí)板書:通項(xiàng)公式an=a1qn-1(n∈N*)．

設(shè)計(jì)意圖遵循學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的邏輯順序,由特殊到一般,由具象到抽象,引導(dǎo)學(xué)生類比已有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),逐步探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．

2.6 通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例3 在等比數(shù)列{an}中:

(1)已知a1=3,q=-2,求a4和a7;

(2)已知a3=20,a5=80,求an．

學(xué)生獨(dú)立完成后黑板展示,教師強(qiáng)調(diào)易錯(cuò)點(diǎn)和解題過程的規(guī)范表達(dá)．

2.7 課堂小結(jié)(略)

3 教學(xué)感悟

3.1 創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境,點(diǎn)燃思維火花

思維不是憑空產(chǎn)生的,它往往是由一些“疑問”“認(rèn)知沖突”激發(fā)的,思維活動(dòng)的產(chǎn)生需要情境問題作為催化劑．本課開始時(shí)以脆餅制作、細(xì)胞分裂等為背景,設(shè)計(jì)三個(gè)問題情境.情境中提煉的數(shù)列對(duì)學(xué)生是陌生的,而這種陌生感恰好激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,誘發(fā)學(xué)生的高階思維活動(dòng)．課中通過三個(gè)情境提煉出三個(gè)數(shù)列后,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比新數(shù)列特征與等差數(shù)列特征的區(qū)別與聯(lián)系,引導(dǎo)其從不同角度解構(gòu)新問題,將等比數(shù)列投射到等差數(shù)列知識(shí)體系中．學(xué)生找出這三個(gè)新數(shù)列的特征是從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都相等,類比等差數(shù)列的概念,順利概括出等比數(shù)列的概念．通過問題情境的創(chuàng)設(shè),學(xué)生可以更好地理解等比數(shù)列的概念和應(yīng)用,同時(shí)也可以培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力．

3.2 加入課堂留白,添加思維“催化劑”

課堂中恰當(dāng)?shù)牧舭卓梢韵處煛皾M堂灌”,為引導(dǎo)學(xué)生鞏固和審視所學(xué)知識(shí)創(chuàng)造條件,也能很好地提高學(xué)生的課堂參與度,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升．本課在學(xué)生歸納出等比數(shù)列的概念后,設(shè)計(jì)讓學(xué)生自編等比數(shù)列的環(huán)節(jié),給課堂留白．在這一環(huán)節(jié)中學(xué)生高度參與、興趣高漲．在課堂展示中有學(xué)生認(rèn)為數(shù)列“0,0,0,0,…”是等比數(shù)列,立即就有學(xué)生提出質(zhì)疑,指出等比數(shù)列中各項(xiàng)均不為零．通過學(xué)生熱烈的討論我們可以發(fā)現(xiàn),編制等比數(shù)列這一留白很好地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)等比數(shù)列定義及本質(zhì)的理解,同時(shí)也很好地培養(yǎng)了學(xué)生的批判性思維．

3.3 例題層層遞進(jìn),提升高階思維品質(zhì)

學(xué)生的高階思維能力需要培養(yǎng)和訓(xùn)練,而實(shí)踐應(yīng)用則是提升學(xué)生思維品質(zhì)、鞏固學(xué)生高階思維能力的重要環(huán)節(jié)．學(xué)生的認(rèn)知遵循從低到高、從易到難、從特殊到一般的發(fā)展規(guī)律,教師在設(shè)計(jì)知識(shí)應(yīng)用時(shí)也應(yīng)遵循這一規(guī)律,若為提高學(xué)生的思維能力而一味拔高問題難度則會(huì)適得其反．本節(jié)課中共設(shè)計(jì)了三個(gè)例題:例1是簡(jiǎn)單的等比數(shù)列判斷,讓學(xué)生在鞏固概念的同時(shí)能用批判的眼光看問題;例2由具體三個(gè)數(shù)類比等差中項(xiàng)給出等比中項(xiàng)的概念,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生得出一般性結(jié)論; 例3中兩小問的難度也是遞進(jìn)的．這三個(gè)例題的難度和思維量是螺旋上升、逐步增大的,通過難度層層遞進(jìn)的例題設(shè)計(jì),幫助學(xué)生加深了對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,使其在一次次適當(dāng)難度的挑戰(zhàn)中提高了高階思維能力,發(fā)展了問題思考的廣度和深度．

3.4 搭建互動(dòng)平臺(tái),促進(jìn)高階思維發(fā)展

傳統(tǒng)教學(xué)中教師為了趕進(jìn)度或出于對(duì)學(xué)生能力的不信任,課堂互動(dòng)交流特別是生生互動(dòng)較少,學(xué)生的“學(xué)”是消極的、被動(dòng)的,這嚴(yán)重影響了思維的發(fā)展．本節(jié)課探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),教師組織學(xué)生獨(dú)立思考后將自己的成果在小組內(nèi)交流．在獨(dú)立思考時(shí)絕大多數(shù)學(xué)生都是由特殊到一般地進(jìn)行猜想而非嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理,此時(shí)設(shè)計(jì)小組內(nèi)討論可以讓學(xué)生思維碰撞,產(chǎn)生新的火花．通過小組內(nèi)成員互動(dòng)合作,不少小組能進(jìn)一步審視等比數(shù)列的定義,對(duì)比等差數(shù)列,從而給出較完善的等比數(shù)列通項(xiàng)公式的證明．在此過程中學(xué)生也感受到探究和解決新問題時(shí)要大膽假設(shè),小心求證,讓其思維更嚴(yán)謹(jǐn)．

基于共同目標(biāo)的互動(dòng)與合作能夠促進(jìn)個(gè)體的創(chuàng)新性認(rèn)識(shí),也很好地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、溝通交流等能力,讓學(xué)生拋開自我中心,學(xué)會(huì)主動(dòng)傾聽,懂得換位思考和尊重他人意見．

4 結(jié)語(yǔ)

在素質(zhì)教育影響下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要在幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的基礎(chǔ)框架的同時(shí),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力的發(fā)展[2]．這就需要教師在遵循學(xué)生主體性原則下,根據(jù)他們的智力水平、現(xiàn)有基礎(chǔ)知識(shí)、興趣愛好等因素,優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì),科學(xué)合理地安排課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié),借助新課引入引導(dǎo)其積極思考,在互動(dòng)中指導(dǎo)其對(duì)問題深入思考,以便推動(dòng)高階思維能力的培養(yǎng)和發(fā)展．