根的判別式應(yīng)用中應(yīng)注意的幾個問題

李德江

【摘? 要】? 數(shù)學(xué)解題，必須小心謹慎，處處提防那些防不勝防的“陷阱”.在一元二次方程的判別式的應(yīng)用中，有幾個解題誤區(qū)應(yīng)特別引起大家的注意.本文結(jié)合例題分析，以幫助學(xué)生走出誤區(qū)，提高解題的正確率.

【關(guān)鍵詞】? 判別式；一元二次方程；初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)解題，貴在思維縝密，如果掉以輕心，必然會犯下這樣或那樣的錯誤.在一元二次方程的判別式的應(yīng)用中，有幾個解題誤區(qū)應(yīng)特別引起大家的注意.為了防患于未然，本文提出如下問題，以期大家莫入誤區(qū).

問題1? 一元二次方程的二次項系數(shù)可以為零嗎？

例1? 已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，求的取值范圍．

錯解? 因為一元二次方程有實數(shù)根，

所以判別式＝.

剖析? 一元二次方程有實數(shù)根的條件是：（1）二次項系數(shù)；（2）≥0．錯解只考慮了（2），而忽視了（1），即忽視了二次項系數(shù)不為零這一條件．

正解? 且．

問題2? 用韋達定理解題時你注意根的判別式了嗎？

例2? 已知關(guān)于的一元二次方程．求它的兩根的平方和的最小值.

錯解? 設(shè)方程的兩個實數(shù)根為，，

則＋＝，．

所以.

所以當(dāng)時，兩根的平方和的最小值為.

剖析? 兩個根的平方和為負數(shù)，顯然不對.問題就是出在忽視了大前提：原方程有實數(shù)根，因此必須先考慮根的判別式，從而確定實數(shù)的取值范圍.

正解? 因為.

所以.

當(dāng)時，兩根的平方和的最小值為2.

問題3? ?題目中的條件你看清楚了嗎？

例3? 當(dāng)取哪些整數(shù)時，關(guān)于的兩個方程：①與②的解都是整數(shù)？

錯解? 由題意可得

解得－

故滿足條件的整數(shù)m為－1，0，1．

剖析? 當(dāng)時，方程①的解不是整數(shù)；當(dāng)時，方程①不是一元二次方程，方程②的解不是整數(shù)；當(dāng)時，兩個方程的解都為整數(shù)，方程①的解是，方程②的解是，．顯然，與不合題意，應(yīng)舍去．錯解忽視了的取值應(yīng)使所給兩個方程的“解都是整數(shù)”這個重要的題設(shè)條件.

正解? ．

問題4? 題目中隱含條件你注意了嗎？

例4? 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．

錯解? 因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，

解這個不等式得．

因為二次項系數(shù)，即，

所以的取值范圍是且．

剖析? 錯解忽視了隱含條件必須有意義，故有．

正解? 由題設(shè)可得 ，

解得且．

因此，的取值范圍是且．

問題5? 二次項系數(shù)含字母的方程一定是二次方程嗎？

例5? 已知關(guān)于的方程，當(dāng)為何值時，方程有實數(shù)根？

錯解? 因為方程有實數(shù)根，所以，

即，

解得，

又因為，所以且.

剖析? 錯解默認該方程是二次方程，其實此方程也可以是一次方程，故此題應(yīng)分一元一次方程與一元二次方程兩種情況討論.

正解? （1）當(dāng)時，原方程為一元一次方程，其實根為，故k可取0.

（2）當(dāng)時，原方程為一元二次方程，應(yīng)滿足，即且，綜合（1）（2）知.

結(jié)語

數(shù)學(xué)解題，必須小心謹慎，處處提防“陷阱”.而要做到這一點，我們在平日解題時就應(yīng)養(yǎng)該成認真審題、自覺挖掘題目中的隱含條件的解題習(xí)慣，只有這樣，才能提高解題的正確率.

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