借助對(duì)稱性質(zhì)，優(yōu)化解幾運(yùn)算

鄒永剛

【摘? 要】? 解析幾何中的對(duì)應(yīng)的曲線與圖形具有完美的對(duì)稱性質(zhì)，具有很好的美學(xué)價(jià)值與實(shí)際應(yīng)用．充分挖掘解析幾何中的對(duì)稱性質(zhì)，結(jié)合曲線方程或圖形直觀，可以很好化隱為顯、化繁為簡(jiǎn)、化生為熟、化動(dòng)為靜等，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙解決，優(yōu)化過程提升效益，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究．

【關(guān)鍵詞】? 解幾；對(duì)稱性質(zhì)；直線；圓；橢圓

對(duì)稱性質(zhì)直接與平衡、和諧、美觀等聯(lián)系在一起，是形式美的一種最傳統(tǒng)技法，也是人類最早掌握的一個(gè)形式美法則．對(duì)稱性質(zhì)不僅具有很好的美學(xué)價(jià)值，還是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是思考與解決問題的一個(gè)重要出發(fā)點(diǎn)，更是探索與解決問題的一種精良武器．解析幾何中的點(diǎn)、直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線等都具有對(duì)稱性質(zhì)，正確理清或合理挖掘其對(duì)稱性質(zhì)，以形輔數(shù)，數(shù)形兼顧，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，可以開啟對(duì)稱性質(zhì)應(yīng)用的智慧火花，優(yōu)化解題過程，提升解題效率．

1? 利用對(duì)稱化隱為顯

利用解析幾何中曲線或圖形的對(duì)稱性質(zhì)，可以合理挖掘題設(shè)條件中的隱含條件，化隱為顯，為問題的解決提供更加直接有效的條件．

例1? （2020年高考數(shù)學(xué)浙江卷·15）已知直線與圓和圓均相切，則___，___．

分析? 根據(jù)題意條件，利用直線與兩圓均相切的位置關(guān)系，結(jié)合圓的幾何特征與解析幾何的對(duì)稱性質(zhì)，化隱為顯，直觀尋找相關(guān)直線恒過線段C1C2的中點(diǎn)，進(jìn)而利用直線的方程的確定以及點(diǎn)到直線的距離公式，通過方程的求解等加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，從而得以確定相關(guān)的參數(shù)值．

解? 依題知圓心，，兩圓的半徑均為1，

而，則知兩圓相離，

根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知直線l：肯定過線段C1C2的中點(diǎn)A（2，0），如圖1所示，

則知直線l的方程為，

又根據(jù)相切，可知圓心C1到直線l的距離等于半徑1，

即，

結(jié)合解得，

此時(shí)，

故填答案：，．

點(diǎn)評(píng)? 合理分析題設(shè)，挖掘問題內(nèi)涵，抓住關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，利用對(duì)稱性質(zhì)巧妙化隱為顯，使得原來隱含的條件得以呈現(xiàn)，借助尋找對(duì)應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)或曲線，或者利用對(duì)稱性質(zhì)來構(gòu)建關(guān)系，合理轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合．利用對(duì)稱性質(zhì)進(jìn)行化隱為顯，關(guān)鍵在于挖掘相應(yīng)解析幾何問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，使得隱性條件轉(zhuǎn)化為顯性條件，為問題的分析與解決提供更好的條件．

2? 利用對(duì)稱化繁為簡(jiǎn)

利用解析幾何中曲線或圖形的對(duì)稱性質(zhì)，可以回避解題時(shí)的繁雜過程，化繁為簡(jiǎn)，優(yōu)化解題過程，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算．

例2? 如圖2，把橢圓C：的長(zhǎng)軸AB分在6等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線分別交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P1，P2，P3，P4，P5，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，則________．

解析? 根據(jù)題意，常規(guī)思路是借助橢圓的焦半徑公式加以轉(zhuǎn)化，并結(jié)合等分點(diǎn)的性質(zhì)利用等差數(shù)列的求和進(jìn)行合理求解，過程比較繁瑣，數(shù)學(xué)運(yùn)算量大，用時(shí)多．而通過橢圓圖形的數(shù)形結(jié)合，利用等分點(diǎn)之間的對(duì)稱性質(zhì)，通過橢圓的定義應(yīng)用，巧妙化繁為簡(jiǎn)，處理起來更加簡(jiǎn)單快捷，很好節(jié)約時(shí)間提升效益．

解? 由題意，可得，

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性質(zhì)，可知P1與P5，P2與P4分別關(guān)于y軸對(duì)稱，

設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，則知

，，

結(jié)合橢圓的定義，可得

，

同理，

而，

則有，

故填答案：30．

點(diǎn)評(píng)? 利用解析幾何中對(duì)應(yīng)曲線或圖形的對(duì)稱性質(zhì)來直觀分析，往往需要從圖形的整體視角來分析與處理，合理化繁為簡(jiǎn)，技高一籌，改變?cè)瓉矸彪s的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理為數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)單直觀分析，借助圖形中相關(guān)元素的轉(zhuǎn)化與變形，綜合解析幾何的對(duì)稱性質(zhì)來直觀分析與巧妙處理．

3? 利用對(duì)稱化動(dòng)為靜

利用解析幾何中曲線或圖形的對(duì)稱性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)題設(shè)條件中的動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，化動(dòng)為靜，更加方便于邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算．

例3? （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·15）設(shè)點(diǎn)，，若直線AB關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．

解析? 根據(jù)題意條件直接“翻譯”，題設(shè)中點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，通過對(duì)稱性質(zhì)，先確定點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，而動(dòng)點(diǎn)B“靜止”，化“動(dòng)”為“靜”，進(jìn)而確定直線A′B的方程，其即是直線AB關(guān)于對(duì)稱的直線，利用圓心到直線A′B的距離小于等于半徑來構(gòu)建不等式，通過求解一元二次不等式來確定參數(shù)a的取值范圍．

解? 由于點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，

而，可得，

所以直線A′B的方程為：

，

即，

而圓的圓心為，半徑為，

根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可知，直線AB關(guān)于對(duì)稱的直線就是直線A′B，

所以圓心C到直線A′B的距離為

，

整理可得，

解得，

故填答案：．

點(diǎn)評(píng)? 借助解析幾何中的圖形特征，動(dòng)靜結(jié)合，以“靜”治“動(dòng)”，抓住直線與圓的位置關(guān)系中的對(duì)稱性質(zhì)，從定點(diǎn)的對(duì)稱等性質(zhì)入手，達(dá)到合理化動(dòng)為靜的目的．特別是在解決該問題時(shí)，利用點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱來確定直接方程，更加直接有效，很好達(dá)到分析與求解的目的．

4? 結(jié)語

在解決一些相關(guān)的解析幾何的綜合應(yīng)用問題時(shí)，要全面理清并挖掘相關(guān)曲線（點(diǎn)、直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線等）的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，合理借助曲線或圖形的對(duì)稱性質(zhì)，利用對(duì)稱性質(zhì)以美啟真，巧妙利用曲線的對(duì)稱性質(zhì)，往往可以減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，解法更加干凈利落，能夠簡(jiǎn)明、快捷、優(yōu)美地解決問題，啟發(fā)數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．