大概念下初中數(shù)學(xué)幾何章起始課的實(shí)踐與思考
——以“全等三角形章起始課”為例

沈 姍

(福建省福州第十八中學(xué),福建 福州 350001)

大概念又稱之為大觀念,處于學(xué)科教學(xué)的核心地位,可以統(tǒng)籌與整合比較零散的學(xué)科知識.不僅可以明確本學(xué)科的核心知識和教學(xué)任務(wù),還可以呈現(xiàn)本學(xué)科的內(nèi)心概念及觀點(diǎn),有機(jī)融合學(xué)科關(guān)鍵內(nèi)容與思想,建構(gòu)出具有系統(tǒng)性較強(qiáng)的學(xué)科框架.在初中數(shù)學(xué)幾何章起始課教學(xué)中,教師需幫助學(xué)生構(gòu)建本章知識體系,引發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,適當(dāng)引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識用到的數(shù)學(xué)方法,使其掌握本章最開始部分的知識內(nèi)容,為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊[1].

1 教材內(nèi)容分析

本文以人教版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第十二章“全等三角形章起始課”教學(xué)為例,學(xué)生之前已經(jīng)了解不少有關(guān)三角形的基礎(chǔ)知識,本節(jié)課主要學(xué)習(xí)全等三角形的概念、表示方式,以及邊角對應(yīng)關(guān)系等內(nèi)容.由于三角形是一個基礎(chǔ)性的平面幾何圖形,所以學(xué)習(xí)本課知識,既是接下來學(xué)習(xí)如何判定三角形全等和運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解題的基礎(chǔ),也是證明線段、角相等的有效方式.故本節(jié)內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)教材中占據(jù)著相當(dāng)關(guān)鍵的地位,具有承前啟后的重要作用.

2 具體教學(xué)流程

2.1 觀察圖形,引入新知

教師先在多媒體課件中出示如圖1所示的三組圖片,要求學(xué)生認(rèn)真觀察,說一說每組圖片中兩個圖形之間的關(guān)系與特點(diǎn),他們結(jié)合所學(xué)幾何知識與經(jīng)驗(yàn),從形狀與大小兩個角度展開觀察,發(fā)現(xiàn)第(1)組與第(2)組中的兩個圖形不相同,通過對比自然而然得出第(3)組中兩個圖形大小、形狀完全相同,由此揭示全等圖形的概念,使其了解到可以完全重合的兩個圖形就是全等圖形.

圖1 三組關(guān)系與特點(diǎn)不同的圖片

2.2 變化圖形,揭示概念

教師先利用信息技術(shù)手段演示三角形的三種全等變換,即為平移、翻折與旋轉(zhuǎn),如圖2所示.引出問題:變換以后的三角形和原三角形之間有什么關(guān)系?原因是什么?大家據(jù)此能夠得到哪些結(jié)論?由學(xué)生認(rèn)真觀察、思考后,指出當(dāng)一個三角形經(jīng)過平移、翻折或旋轉(zhuǎn)變換以后,其形狀與大小均不會發(fā)生任何變化,因而變換前后的兩個三角形是全等關(guān)系,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)全等三角形同位置沒有關(guān)系,只同三角形的大小與形狀有所關(guān)聯(lián),它們能夠采用平移、翻折或旋轉(zhuǎn)的方法讓兩個三角形剛好全部重合起來.

圖2 三角形的三種全等變換

接著,教師設(shè)置問題:當(dāng)兩個三角形完全重合到一起以后,兩者的哪些元素也就重合起來?指導(dǎo)學(xué)生平移一個三角形,讓它與另一個三角形重合,觀察并指出重合的兩個三角形頂點(diǎn)、邊與角,使其思考與體會幾何圖形中的“對應(yīng)”關(guān)系,讓他們知道重合起來的點(diǎn)就是對應(yīng)點(diǎn),相應(yīng)的就是對應(yīng)角與對應(yīng)邊.隨后教師提問:將兩個完全一樣的三角板重合以后放在課桌上,使其中一個圍繞某頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),一共有多少種不一樣的位置關(guān)系?要求學(xué)生畫出圖形且說出對應(yīng)邊與對應(yīng)角,繼續(xù)提問:怎么用數(shù)學(xué)符號來表示兩個三角形的全等?課件中同步出示三角形ABC與三角形DEF,如圖3所示.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察重合的兩個三角形對應(yīng)邊與對應(yīng)角的關(guān)系,并告知他們表示方法,記作△ABC≌△DEF,讀作:三角形ABC全等于三角形DEF,應(yīng)注意對應(yīng)頂點(diǎn)要寫在對應(yīng)的位置上面.在這一環(huán)節(jié),教師通過演示課件幫助學(xué)生建立“對應(yīng)”的概念,使其學(xué)會掌握全等三角形的表達(dá)方式,包括寫法和讀法,會使用全等符號,借此培養(yǎng)他們把文字語言轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)符號語言的能力.

圖3 重合兩個三角形對應(yīng)邊與對應(yīng)角的關(guān)系

之后,教師給出問題:全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角存在何種關(guān)系?學(xué)生思考后可能會回答:全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等,追問:大家是否能夠直接從記作中判斷出所有的對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)角與對應(yīng)邊?提示他們運(yùn)用符號語言來表示,如因?yàn)椤鰽BC≌△DEF,所以∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,AB=DE,BC=EF,AC=DF.然后教師組織學(xué)生以小組為單位展開合作學(xué)習(xí),并親自動手操作,使一個三角板圍繞某頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),根據(jù)操作畫出不一樣的位置關(guān)系.如圖4所示,找出兩個全等三角形的對應(yīng)點(diǎn)、角、邊,學(xué)生發(fā)現(xiàn)不管哪種圖形,點(diǎn)A與點(diǎn)A是對應(yīng)頂點(diǎn),點(diǎn)B與點(diǎn)E是對應(yīng)頂點(diǎn),點(diǎn)C與點(diǎn)D是對應(yīng)頂點(diǎn);AB邊與AE邊是對應(yīng)邊,AC邊對應(yīng)AD邊,DE邊則對應(yīng)CB邊;∠BAC的對應(yīng)角是∠EAD,∠B的對應(yīng)角是∠E,∠C的對應(yīng)角是∠D,同時(shí)讓學(xué)生歸納找出全等三角形對應(yīng)邊、角的竅門,如(1)大邊、大角分別對應(yīng)大邊、大角;(2)兩個三角形的公共邊、公共角屬于對應(yīng)邊、角,對頂角屬于對應(yīng)角,等等.

圖4 一塊三角板繞著一個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的四種位置關(guān)系

隨后教師設(shè)置練習(xí)題:已知△ABE≌△ACD,如圖5所示,其中∠ADE=∠AED,∠B=∠C,那么這兩個三角形其它對應(yīng)角與對應(yīng)邊分別是什么?學(xué)生結(jié)合剛才所學(xué)的全等三角形的性質(zhì)在小組內(nèi)討論和交流后找出對應(yīng)關(guān)系,即為:∠BAD=∠CAE,∠ADB=∠AEC,AB=AC,AD=AE,BD=CE.由此,進(jìn)一步培養(yǎng)他們對圖形的識別能力,深化理解和掌握全等三角形的性質(zhì),同時(shí)改善小組協(xié)作學(xué)習(xí)能力與團(tuán)隊(duì)意識.

圖5 △ABE≌△ACD

2.3 設(shè)計(jì)變式,講評例題

教師利用信息技術(shù)手段,以動畫形式演示出兩個全等三角形通過變換產(chǎn)生不一樣組合的情況,出示問題:

(1)利用全等符號把圖6中所有的全等三角形找出來;

(2)指出在(1)中找到的全等三角形的對應(yīng)關(guān)系.

圖6 多個全等三角形

學(xué)生觀察、思考以后將會寫出以下答案:

(1)全等三角形有△ABE≌△ACD,△ABF≌△DCE.

(2)在△ABE≌△ACD中,∠ABE=∠ACD,∠AEB=∠ADC,∠A是兩個三角形的公共角,AB=AC,AE=AD,BE=CD;在△ABF≌△DCE中,∠ABF=∠DCE,∠AFB=∠DEC,∠BAF=∠CDE,AB=DC,AF=DE,BF=CE.

接著,教師設(shè)計(jì)變式練習(xí):

(1)在圖6中,設(shè)CD和BE相交于點(diǎn)O,如果△BDO≌△CEO,請指出這兩個三角形的對應(yīng)角與對應(yīng)邊;

(2)在圖6中,把BC連接起來,寫出一組全等三角形,并寫出這兩個全等三角形的的對應(yīng)角與對應(yīng)邊;

(3)在圖6中,把AC、BD連接起來,你們還可以找到哪幾組全等三角形?并明確對應(yīng)關(guān)系.

學(xué)生能夠得出下列結(jié)果:

(1)在△BOD≌△COE中,∠BOD=∠COE,∠DBO=∠ECO,∠BDO=∠CEO,BD=CE,BO=CO,DO=EO;

(2)△BCD≌△CBE,∠BCD=∠CBE,∠BDC=∠CEB,∠CBD=∠BCE,BC=CB,即為這兩個全等三角形的公共邊,BD=CE,CD=BE;

(3)△ACF≌△DBE,∠ACF=∠DBE,∠CFA=∠BED,∠CAF=∠BDE,AC=DB,AF=DE,CF=BE.

2.4 課堂小結(jié),深化認(rèn)知

在本環(huán)節(jié)中,教師帶領(lǐng)學(xué)生一起總結(jié)全等三角形中尋找對應(yīng)角、邊關(guān)系的竅門.如在兩個全等三角形中,大邊或者大角對應(yīng)的便是大邊或者大角),對頂角與公共角都屬于對應(yīng)角,公共邊屬于對應(yīng)邊,等等.

總的來說,在大概念下的初中數(shù)學(xué)幾何章起始課教學(xué)活動中,教師應(yīng)對章起始課高度重視與格外關(guān)注,要投入更多的精力與時(shí)間來設(shè)計(jì)這節(jié)課,為學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識做好導(dǎo)向工作,實(shí)現(xiàn)上文中提到的幾個目標(biāo),讓學(xué)生對接下來的學(xué)習(xí)內(nèi)容充滿強(qiáng)烈的求知渴望,推動他們健康、全面的發(fā)展.