一道IMO選拔賽不等式題的推廣

浙江省江山中學(xué) (324100) 王 芳

題目(2022年印度尼西亞IMO選拔賽)已知正數(shù)a,b,c滿足abc=1,求證:(a+b+c)(ab+bc+ca)+3≥4(a+b+c).(1)

不等式(1)的兩邊都含有相同的因式(a+b+c),只要將不同的因式(ab+bc+ca)進(jìn)行放縮,即可獲證.

有了推廣1,我們考慮在不等式(3)中相同的因式(a+b+c)之中進(jìn)行添項(xiàng)處理,結(jié)果得到如下:

推廣3已知正數(shù)a,b,c滿足abc=1,求證:

(1)當(dāng)k≥1時(shí),(a+kb)(b+kc)(c+ka)≥4k(a+b+c)+k3+3k2-9k+1;(9)

(2)當(dāng)0

證明:由于(a+kb)(b+kc)(c+ka)=k3+1+k(a2b+b2c+c2a)+k2(ab2+bc2+ca2),因此,當(dāng)k≥1時(shí),(a+kb)(b+kc)(c+ka)=k3+1+k(a2b+b2c+c2a+ab2+bc2+ca2)+k(k-1)(ab2+bc2+ca2)≥k3+1+k[(a+b+c)(ab+bc+ca)-3]+3k(k-1)≥k3+1+k[4(a+b+c)-3-3]+3k(k-1)=4k(a+b+c)+k3+3k2-9k+1,即不等式(9)成立.當(dāng)0