一類考慮未垂直傳播新生兒的預(yù)防接種及人均病床數(shù)的SIVS乙肝傳染病模型分析

王 琪,傅 霞,高汝林

(陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西 咸陽(yáng) 712000)

經(jīng)典的SIR、SIS傳染病模型通常根據(jù)康復(fù)類人群分為不同研究方向[1-2],而文獻(xiàn)[3]基于實(shí)際情形中疫苗具有接種效率,在傳統(tǒng)SIS模型三類人群基礎(chǔ)上考慮加入一類暫時(shí)免疫的接種者倉(cāng)室V。學(xué)者對(duì)這類模型進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)考慮疫苗接種效率時(shí),模型可能發(fā)生后向分支[4-7]。本研究主要基于乙型肝炎病毒傳播機(jī)制在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上研究易感者、接種者新生兒及未發(fā)生垂直傳播新生兒的預(yù)防接種及存在一定疫苗接種效率時(shí)對(duì)乙肝病毒傳播的影響。模型考慮引入文獻(xiàn)[9]定義的飽和治療函數(shù),該函數(shù)與醫(yī)療資源人均病床數(shù)有關(guān):

其中,μ0,μ1分別為最小和最大的疾病恢復(fù)率,此時(shí)疾病會(huì)發(fā)生各類分支,可有效調(diào)節(jié)醫(yī)療資源數(shù)量,控制疾病流行。

基于乙肝病毒傳播機(jī)制建立一類考慮新生兒的預(yù)防接種、接種效率及人均病床數(shù)量的SIVS傳染病模型,在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上對(duì)加入未垂直傳播新生兒預(yù)防接種因素的乙肝傳染病模型進(jìn)行研究。

1 模型建立

若某一地區(qū)共具有三類人群倉(cāng)室,即易感者、染病者及接種者倉(cāng)室,作出如下假設(shè):

①該地區(qū)不發(fā)生人口遷入、遷出及因病死亡。②該傳染病的發(fā)生采用雙線性發(fā)生率。③該地區(qū)人口的出生率相等自然死亡率。

由于該地區(qū)總?cè)丝诤愣?設(shè)S(t)、I(t)、V(t)分別表示在t時(shí)刻該地區(qū)易感者、染病者及接種者占總?cè)丝诘谋壤Ｓ捎谝腋稳静「怕逝c年齡結(jié)構(gòu)有關(guān),將疫苗接種分為對(duì)易感者、接種者、未發(fā)生垂直傳播新生兒的疫苗接種及對(duì)易感者的接種,相應(yīng)接種比例分別表示為m、m′。由于疫苗接種具有一定效率,接種后的人群與染病者接觸后仍可能染病,將疫苗接種效率記為σ,σ∈(0,1),當(dāng)σ=0時(shí),疫苗接種完全有效,當(dāng)σ=1時(shí),疫苗接種完全失效。將疾病垂直傳播率記為q,染病者與易感者及接種者的有效接觸率記為β,該地區(qū)人口的出生率及死亡率分別記為b、d,則b=d。μ為治療函數(shù),與人均病床數(shù)量δ有關(guān)。θ表示疫苗接種的失效比例。

傳播流程機(jī)制如圖1。

圖1 傳染病傳播機(jī)制Fig.1 Infectious disease transmission mechanism

根據(jù)乙肝病毒傳播過(guò)程,建立如下模型:

(1)

由于S=1-I-V,對(duì)上述模型(1)進(jìn)行降維,得到模型(2):

(2)

2 主要結(jié)果

2.1 基本再生數(shù)

現(xiàn)將根據(jù)第二代生成矩陣法計(jì)算基本再生數(shù)R0,則:

通過(guò)矩陣F,V在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的Jacobi矩陣,計(jì)算得出疾病的基本再生數(shù)表達(dá)式:

(3)

由于上述模型中各參數(shù)均取值(0,1),則有b>(1-σ)mb,則R0>0一定成立。

2.2 平衡點(diǎn)的存在性

根據(jù)無(wú)病平衡點(diǎn)計(jì)算結(jié)果,無(wú)病平衡點(diǎn)E0始終存在。對(duì)于地方病平衡點(diǎn)的存在性展開(kāi)討論:

H(I)=β2σI3+h1I2+h2I+h3=0

(4)

其中:

h1=β[m′+θ+b+(σ-1)(mb+m′)+(σ-1)(1-q)mb]+βσ[μ0+(1-q)b]+β2σ(δ-1)

h2=β(1-σ)(1-δ)(mb+m′)-β(1-δ)(m′+θ+b)-β2σδ+[μ0+(1-q)b](m′+θ+b)+βσδμ1+β(1-q)bδ[m+σ(1-m)]

h3=δ(m′+θ+b)[μ1+(1-q)b](1-R0)

由于上述三次方程求根過(guò)程較為復(fù)雜,利用幾何法探究地方病平衡點(diǎn)的存在性。

學(xué)術(shù)論文摘要是一種獨(dú)立的語(yǔ)篇，用詞規(guī)范，描述客觀，使用語(yǔ)法和詞匯銜接手段構(gòu)成連貫的語(yǔ)篇。但由于英漢民族的思維方式的不同，由此導(dǎo)致了兩種語(yǔ)言在摘要語(yǔ)篇銜接使用上的差異。英文摘要多用顯性連接，使用照應(yīng)和連接銜接方式；而中文摘要多用名詞隱性連接，利用重復(fù)來(lái)表示照應(yīng)關(guān)系。翻譯時(shí)，需先分析句子的功能意義，才能確定句子的結(jié)構(gòu)形式。

證明:由于V關(guān)于I的函數(shù)滿足V1(I)=V2(I),其中:

探究V1(I)與V2(I)的單調(diào)性及凹凸性。

由上述判斷可知,V1(I)在[0,1]上單調(diào)遞減且為凹函數(shù),V2(I)是在[0,1]的凸函數(shù)。又由于:

則V1(0)>V2(0)?R0<1;V1(0)=V2(0)?R0=1;V1(0)1。

綜上,得到地方病平衡點(diǎn)存在3種情形:

情形①:若R0>1,且V1(0)0,V2(1)<0成立,則V1(I)與V1(I)在[0,1]內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)[如圖2(a)]。

圖2 V1(I)和V2(I)的函數(shù)關(guān)系Fig.2 Functional relationship of V1(I)和V2(I)

成立時(shí),V1(I)與V2(I)在[0,1]內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn),否則不存在交點(diǎn)[如圖2(b)]。

2.3 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

定理2:模型(2)無(wú)病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性結(jié)論如下:

當(dāng)R0<1時(shí),模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0在D內(nèi)局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí),E0不穩(wěn)定;當(dāng)R0=1時(shí),E0為鞍結(jié)點(diǎn),其中當(dāng)C>0時(shí),E0為右鞍左結(jié)點(diǎn),當(dāng)C<0時(shí),E0為左鞍右結(jié)點(diǎn)。

證明:模型(2)的Jacobi矩陣為:

則在E0點(diǎn)處的Jacobi矩陣為:

若R0-1<0,即R0<1時(shí),J(E0)存在兩個(gè)負(fù)實(shí)部特征根,此時(shí)E0在D內(nèi)局部漸近穩(wěn)定;若R0-1>0,即R0>1時(shí),J(E0)存在兩個(gè)異號(hào)特征根,此時(shí)E0為鞍點(diǎn)不穩(wěn)定。若R0-1=0,J(E0)分別存在一個(gè)零實(shí)部和負(fù)實(shí)部特征根,屬于臨界情形下無(wú)病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析。現(xiàn)根據(jù)Liapunov-Schmidt更替法,按照文獻(xiàn)[10]思路展開(kāi)分析。

(5)

2)利用二元函數(shù)麥克勞林展式將方程右端函數(shù)展開(kāi),得到模型(6):

(6)

3)令模型(6)右端函數(shù)為0,當(dāng)|x|?1時(shí),可通過(guò)待定系數(shù)得到V′關(guān)于I′的函數(shù)。令V′(I′)=a1I′+a2I′2+O(I′3),則:

得到:

則V′與I′的關(guān)系可表示為:

代回模型(6)第一式中,得到一個(gè)一維系統(tǒng):

+O(I′3)

它的一個(gè)普適開(kāi)折拓?fù)涞葍r(jià)于:

根據(jù)其軌線的拓?fù)浞诸?在R0=1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0為鞍結(jié)點(diǎn)。

令:

具體地,當(dāng)C>0時(shí),E0為右鞍左結(jié)點(diǎn);當(dāng)C<0時(shí),E0為左鞍右結(jié)點(diǎn)。

2)若R0<1,在定理2[3)]條件下模型存在兩個(gè)地方病平衡點(diǎn),其中E1=(I1,V1)為鞍點(diǎn)始終不穩(wěn)定,E2=(I2,V2)是非鞍點(diǎn),在D>0時(shí)局部漸近穩(wěn)定。

該矩陣特征方程為:

其中:

2.4 后向分支

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中定理計(jì)算A,B,將模型(6)線性部分構(gòu)成的矩陣記為Y,設(shè)其在零特征根處的非負(fù)左、右特征向量分別為υ,ω。

其中:

得到相應(yīng)的左右特征向量分別為:

其余分量的二階求導(dǎo)均為0。則:

在R0=1時(shí),若A>0,B>0,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)后向分支。由于B>0恒成立,只需尋找A>0條件。即:

則有:

β(1-σ)δ(mbq+m′)(m′+θ+b)+β2σ(1-σ)δ(mb+m′)-βδ(m′+θ+b)2>(μ0-μ1)(m′+θ+b)2

(7)

由式(7)看出,若滿足:

(1-σ)(m′+θ+b)(mbq+m′)+βσ(1-σ)(mb+m′)>(m′+θ+b)2

β(m′+θ+b)2-β(1-σ)(mbq+m′)(m′+θ

即:

3 數(shù)值模擬

3.1 平衡點(diǎn)存在性及穩(wěn)定性數(shù)值模擬結(jié)果

圖3 模型在δ=0.1恒定時(shí)軌跡Fig.3 Constant trajectories of the model at δ=0.1

固定參數(shù)μ0=0.1,μ1=0.6,θ=0.1,m′=0.4,m=0.6,σ=0.2,b=0.06,q=0.06,保持β=0.7恒定,繪制δ不同取值時(shí)模型(2)軌跡。取δ=0.05,模型具有一個(gè)局部穩(wěn)定的無(wú)病平衡點(diǎn)E0,見(jiàn)圖4(a);取δ=0.002,模型具有一個(gè)鞍點(diǎn)E1、一個(gè)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)E2及一個(gè)穩(wěn)定的無(wú)病平衡點(diǎn)E0,見(jiàn)圖4(b)。

圖4 模型在β=0.7恒定時(shí)軌跡Fig.4 Constant trajectories of the model at β=0.7

3.2 后向分支數(shù)值模擬結(jié)果

固定參數(shù)σ=0.65,m′=0.4,θ=0.7,m=0.6,b=0.2,q=0.2,μ0=0.2,μ1=0.6。取β=1.2,δ=0.3,模型(2)產(chǎn)生后向分支,見(jiàn)圖5(a),當(dāng)R0<1時(shí),模型同時(shí)具有局部穩(wěn)定的無(wú)病平衡點(diǎn)和兩個(gè)地方病平衡點(diǎn),其中不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)會(huì)隨R0的增大而逐漸消無(wú),穩(wěn)定的平衡點(diǎn)始終存在。取β=0.3,δ=0.3,模型產(chǎn)生前向分支,見(jiàn)圖5(b),當(dāng)R0<1時(shí),只存在一個(gè)穩(wěn)定的無(wú)病平衡點(diǎn),R0>1時(shí),存在唯一穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)。

圖5 模型后向分支和前向分支Fig.5 Models backward and forward branch

4 結(jié)論

基于文獻(xiàn)[8]建立的模型,本研究基于乙型肝炎傳染病傳播機(jī)制考慮加入對(duì)未垂直傳播新生兒進(jìn)行預(yù)防接種因素,在具有一定疫苗接種效率的實(shí)際情況下建立了一類對(duì)兩類新生兒接種、易感者接種及人均病床數(shù)的SIVS乙肝傳染病模型。通過(guò)分析模型得到了對(duì)乙肝傳染病防治工作有效的理論指導(dǎo),包括以下結(jié)論:

當(dāng)R0>1時(shí),染病者比例隨時(shí)間變化逐漸保持穩(wěn)定;當(dāng)R0<1且人均病床數(shù)大于某一定值時(shí),染病者比例隨時(shí)間變化逐漸消亡。

通過(guò)比較文獻(xiàn)[8]與本模型后向分支產(chǎn)生條件:

文獻(xiàn)[8]中發(fā)生后向分支的范圍為:

本模型發(fā)生后向分支的范圍為:

通過(guò)盡可能減少染病者與易感者、接種者之間的有效接觸,合理增加醫(yī)療資源,可以避免模型發(fā)生后向分支,達(dá)到有效防治疾病的效果。提高對(duì)易感者與接種者新生兒及對(duì)未發(fā)生垂直傳播新生兒的疫苗接種比例及持續(xù)研究疫苗增加接種效率可有效控制乙肝流行。