邊界條件含特征參數(shù)的三階微分算子的自伴性和特征值的依賴性

林秋紅, 錢志祥

(廣東理工學(xué)院 基礎(chǔ)課教學(xué)研究部, 廣東 肇慶 526100)

眾所周知,機(jī)械振動(dòng)、電路、聲學(xué)散射等物理上的問題,都涉及到求解微分算子的邊值問題[1-4].微分算子的邊值問題是微分算子理論的一個(gè)重要部分,特別是微分算子特征值的擾動(dòng)問題,近年來引起了廣大學(xué)者的關(guān)注,并出現(xiàn)了許多有意義的研究成果.其中關(guān)于偶數(shù)階微分算子的情形,已經(jīng)有了比較完善的結(jié)論[5-14].然而,關(guān)于奇數(shù)階微分算子的邊值問題,研究成果卻很少.近年來,Ugurlu[15]研究了一類三階微分算子分別在分離,實(shí)耦合和復(fù)耦合邊界條件下所產(chǎn)生的邊值問題,通過證明問題生成的微分算子是自伴算子得到特征值是實(shí)數(shù),進(jìn)一步研究了特征值關(guān)于問題的連續(xù)依賴和可微依賴性,得到了相應(yīng)的微分表達(dá)式.同年,Ugurlu[16]考慮了具有轉(zhuǎn)移條件的情形并得到了類似的結(jié)論.在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上,2020年,Li等[17]研究了邊界條件帶有譜參數(shù)的三階微分算子的自伴性以及格林函數(shù),2022年,Bai等[18]進(jìn)一步考慮了這類三階微分算子的特征值關(guān)于給定參數(shù)的連續(xù)性和可微依賴性.同年,孫康等[19]考慮了一類邊界條件含譜參數(shù)且具有轉(zhuǎn)移條件的三階微分算子,運(yùn)用類似的方法證明了算子的自伴性.

在文獻(xiàn)[15-18]的基礎(chǔ)上,本文考慮一類具有轉(zhuǎn)移條件且邊界條件帶有特征參數(shù)的三階微分算子的自伴性及特征值的連續(xù)性和可微性.通過構(gòu)造相應(yīng)的Hilbert空間和線性算子T,運(yùn)用算子理論證明了問題生成的線性算子T是自伴算子,進(jìn)一步得到問題的特征值是實(shí)數(shù),在這個(gè)基礎(chǔ)上,考慮了特征值和特征函數(shù)的連續(xù)性,研究了特征值關(guān)于邊值問題參數(shù)的可微性,并得到了相應(yīng)的微分表達(dá)式.

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下三階對(duì)稱微分方程:

(1)

兩端具有特征參數(shù)的分離型邊界條件:

轉(zhuǎn)移條件:

式中:-∞

q0,q1,p0,p1,w∈Lloc(J,R),q0>0,w>0

參數(shù)αk,βk(k=1,2,3,4)及d1,d2是任意的實(shí)數(shù),并且滿足:

(8)

定義y的擬導(dǎo)數(shù)如下[20]:

(9)

(10)

式中

Lmaxy=l(y)y∈Hw

最大算子域?yàn)?/p>

對(duì)任意的y,z∈Dmax,通過分部積分可得Largrange恒等式

(11)

式中

(12)

通過擬導(dǎo)數(shù)的定義,可將微分方程(1)轉(zhuǎn)化為以下一階系統(tǒng)

Y′+QY=λWYx∈J

(13)

令直和空間H=Hw⊕C⊕C,對(duì)任意F=(y(x),h1,h2)T,G=(z(x),k1,k2)T∈H,hi,ki(i=1,2)均為復(fù)數(shù),在空間H中定義內(nèi)積如下:

(14)

式中:ρ1=1/τ1,ρ2=1/τ2.

顯然H是一個(gè)Hilbert空間.定義算子T如下:

式中

(15)

為了簡(jiǎn)便,令

(16)

即

因此,可通過在H中討論微分算子方程TF=λF研究邊值問題(1～7).

2 算子T的自伴性

由以上算子T的定義,顯然有如下結(jié)論.

引理1邊值問題(1～7)的特征值與T的特征值相同,特征函數(shù)是算子T相應(yīng)特征函數(shù)的第一個(gè)分量.

引理2算子T的定義域D(T)在H中是稠密的.

證明這與文獻(xiàn)[19]定理2.1的證明過程類似,因此省略.

定理1線性算子T是對(duì)稱的.

證明設(shè)任意的F=(y(x),M1(y),M2(y))T,G=(z(x),M1(z),M2(z))T∈D(T),由式(10,11)可得

(17)

由邊界條件、轉(zhuǎn)移條件,式(12,16)可得

由式(12)和式(17,21)得〈TF,G〉-〈F,TG〉=0,因此算子T是對(duì)稱的.

定理2線性算子T是自伴的.

證明由于算子T是對(duì)稱的,要證明T在H中是自伴的,只需證明:若對(duì)任意的F=(y(x),M1(y),M2(y))T∈D(T),有〈TF,G〉=〈F,U〉成立,則G∈D(T),且TG=U.其中G=(z(x),m1,m2)T,U=(u(x),n1,n2)T,即

1)z(x),z[1](x),z[2](x)∈ACloc(J),l(z)∈Hw;

2)m1=M1(z)=α1z(a)-α3z[2](a),m2=M2(z)=d1β1z(b)+d2β3z[2](b);

3)Liz=0(i=3,4,5,6);

4)u(x)=l(z);

5)n1=N1(z)=-α2z(a)+α4z[2](a),n2=N2(z)=-d1β2z(b)-d2β4z[2](b).

下面證明1)～5)成立.

即

〈l(y),z〉w=〈y,u〉w

由經(jīng)典算子理論[21]可得,z(x)∈D(T),故1)成立.

因?yàn)樗阕覶是對(duì)稱的,所以有〈TF,G〉=〈F,TG〉,再由上述F的取法可得 〈l(y),z〉w=〈y,l(z)〉w,結(jié)合〈l(y),z〉w=〈y,u〉w,得到〈y,l(z)〉w=〈y,u〉w,即l(z)=u.故4)成立.

再由4)可知,對(duì)任意的F∈D(T),〈TF,G〉=〈F,U〉,又〈TF,G〉=〈F,TG〉,故有

于是,有

結(jié)合式(11)可得

(22)

為了方便,下面記

由Naimark Patching Lemma[22]可知,存在(y1(x),y11,y12)∈D(T),使得

Y1(b)=Y1(c-)=Y1(c+)=0

代入式(22)可得m1=α1z(a)-α3z[2](a).

類似的,存在(y2(x),y21,y22)∈D(T),使得

Y2(a)=Y2(c-)=Y2(c+)=0

代入式(22)可得

m2=d1β1z(b)+d2β3z[2](b)

所以2)成立.利用同樣的方法,可證5)成立.

下面證3)成立.選取(y3(x),y31,y32)∈D(T),使得

代入式(22)可得L3z=0.用同樣的方法,可以得到L4z=L5z=L6z=0.則3)成立.

綜上所述,線性算子T在H中是自伴的.

由算子T的自伴性,可得下面推論.

推論1算子T的特征值是實(shí)的,并且沒有有限的聚點(diǎn).

推論2設(shè)λ1和λ2是算子T的兩個(gè)不同的特征值,(u1(x),u11,u12)和(u2(x),u21,u22)分別為其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù),則u1(x)和u2(x)在下述意義下是正交的:

3 特征值和特征函數(shù)的連續(xù)性

首先根據(jù)常微分理論中解的存在唯一性定理[17]給出邊值問題(1～7)特征值存在的充分必要條件.

為了方便,將邊界條件(2～4)寫成矩陣形式,即

式中

下面給出特征值所滿足的判別函數(shù).

設(shè)φ11(x,λ),φ12(x,λ),φ13(x,λ)是微分方程(1)在區(qū)間[a,c)滿足初始條件:

的線性無關(guān)的基本解組,其中E是三階單位矩陣.它的Wronski行列式與變量x無關(guān),且是關(guān)于特征參數(shù)λ的整函數(shù),記為W1(λ),則

設(shè)φ21(x,λ),φ22(x,λ),φ23(x,λ)是微分方程(1)在區(qū)間(c,b]滿足初始條件(5～7)的線性無關(guān)解,它的Wronski行列式與變量x無關(guān),且是關(guān)于特征參數(shù)λ的整函數(shù).

其中ci∈C(i=1,2,…,6).若u(x,λ)滿足轉(zhuǎn)移條件,則c1=c4,c2=c5,c3=c6.

現(xiàn)在區(qū)間J=[a,c)∪(c,b]上定義函數(shù)

其中

x∈[a,c)

x∈(c,b]

這里Φ1(c,λ)=Φ(c-,λ),Φ2(c,λ)=Φ(c+,λ).對(duì)任意的x∈J,Φ(x,λ)是關(guān)于λ的整函數(shù).

引理4一個(gè)復(fù)數(shù)λ是算子T的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ滿足Δ(λ)=det(Aλ+BλΦ(b,λ))=0.稱Δ(λ)=det(Aλ+BλΦ(b,λ))為判別函數(shù).

證明結(jié)合引理3,通過與文獻(xiàn)[19]定理3.1的類似證明,可得結(jié)論成立.

下面引入Bananch空間及相應(yīng)的范數(shù).

X=L(J)×L(J)×L(J)×R5×M2×2(R)×M2×2(R)

對(duì)任意的ω=(p0,p1,ω,θ,a,b,c-,c+,A,B)∈Ω?X,在空間X的范數(shù)定義為

其中

引理5設(shè)ζ∈J=[a,c)∪(c,b],y=y(·,ζ,c0,c1,c2,p0,p1,p2,w)是微分方程(1)和(13)滿足條件y[j](ζ,λ)=cj(j=0,1,2.)的解,則該解對(duì)其所有的變量都連續(xù).

證明由一階系統(tǒng)(13)和文獻(xiàn)[23]定理 2.7可得結(jié)論.

定理3設(shè)λ=λ(ω)是算子T的特征值,對(duì)ω0=(p00,p10,w0,θ0,a0,b0,c0-,c0+,A0,B0),有λ=λ(ω)在ω0處連續(xù).即對(duì)任意的ε>0,存在δ>0,使得對(duì)任意的ω∈Ω,當(dāng)

‖ω-ω0‖=

|θ-θ0|+|a-a0|+|b-b0|+|(c-)-

(c0-)|+|(c+)-(c0+)|+

‖A-A0‖+‖B-B0‖<δ

有|λ(ω)-λ(ω0)|<ε.

證明這與文獻(xiàn)[18 ]定理3.2的證明過程類似,因此省略.

引理6設(shè)ω0=(p00,p10,w0,θ0,a0,b0,c0-,c0+,A0,B0)∈Ω,λ=λ(ω)是算子T的一個(gè)特征值.若λ(ω0)是單重特征值,則在Ω中存在ω0的某鄰域U(ω0),滿足對(duì)?ω∈U(ω0),λ(ω)是單重特征值.

證明若λ(ω0)是單重特征值,則Δ′(λ(w0))≠0.因?yàn)棣?λ)是λ的整函數(shù),由定理3可知結(jié)論成立.

定義1設(shè)u(x)滿足邊值問題(1～7),u1=M1(u),u2=M2(u)且有

成立,則稱(u(x),u1,u2)T為規(guī)范化特征函數(shù).

定理4設(shè)λ=λ(ω)(ω∈Ω)是Ω內(nèi)ω0的某個(gè)鄰域內(nèi)所有ω的n(n=1,2,3)重特征值.若

(uk(x,ω0),uk1(ω0),uk2(ω0))∈H(k=1,2,3)

證明首先證明λ=λ(ω)(ω∈Ω)是算子T的單重特征值時(shí)結(jié)論成立.

設(shè)λ=λ(ω0)是算子T的單重特征值,(y(x,ω0),y1(ω0),y2(ω0))∈H是其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù),且滿足:

由引理6知,存在ω0的鄰域M,滿足對(duì)?ω∈M,λ(ω)是單重特征值.由定理3知:

當(dāng)ω→ω0時(shí),λ(ω)→λ(ω0)成立.

令邊界矩陣(Aλ,Bλ)3×6(ω)=(Aλ(ω),Bλ(ω))3×6,則當(dāng)ω→ω0時(shí),(Aλ,Bλ)3×6(ω)=(Aλ,Bλ)3×6(ω0).由文獻(xiàn)[5]中定理3.2可知,當(dāng)ω→ω0時(shí),存在特征值λ(ω)對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)(y(x,ω),y1(ω),y2(ω))∈H,使其第一個(gè)分量y(x,ω)在區(qū)間J上滿足:

(23)

再由式(15,16)可得,當(dāng)ω→ω0時(shí),

y1(x,ω)→y1(x,ω0),y2(x,ω)→y2(x,ω0)

(24)

下面令λ(ω0)對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征函數(shù)(u(x,ω0),u1(ω0),u2(ω0))T及第一個(gè)分量的擬導(dǎo)數(shù)u[k](x,ω0)(k=1,2)分別為

類似的,令λ(ω)對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征函數(shù)(u(x,ω),u1(ω),u2(ω))T及第一個(gè)分量的擬導(dǎo)數(shù)u[k](x,ω)(k=1,2)形式分別為

由式(23,24)知結(jié)論成立.

設(shè)特征值λ(ω)關(guān)于ω0的某一鄰域內(nèi)所有ω的重?cái)?shù)為n(n=2,3).由定理3和文獻(xiàn)[6]中定理3.5可知,當(dāng)ω→ω0,存在n個(gè)線性無關(guān)的特征函數(shù)

(yk(x,ω),yk1(ω),yk2(ω))∈Hk=1,…,n

使其第一個(gè)分量yk(x,ω)在區(qū)間J上滿足:

通過類似上面的討論可得定理的結(jié)論.

4 特征值的可微性

定義2[6]設(shè)Γ是Banach空間X到Banach空間Y上的映射,若存在有界線性算子dΓx:X→Y,對(duì)h∈X,當(dāng)h→0時(shí),有

|Γ(x+h)-Γ(x)-dΓ(h)|=ο(h)

則稱映射Γ在點(diǎn)x處是Fréchet可微的.

引理7[6]假設(shè)函數(shù)f∈Lloc(J),則

定理5設(shè)ω=(p0,p1,w,θ,a,b,c-,c+,A,B)∈Ω,λ=λ(ω)是算子T的特征值,(y(x,ω),y1(ω),y2(ω))∈H是其對(duì)應(yīng)的規(guī)范化的特征函數(shù).E為單位矩陣,S為2×2實(shí)數(shù)矩陣.若λ(ω)在ω的某一鄰域內(nèi)的幾何重?cái)?shù)不變,則λ關(guān)于方程系數(shù)函數(shù)p0,p1,權(quán)函數(shù)w,邊界條件參數(shù)θ和特征參數(shù)依賴的邊界條件矩陣A、B都是可微的且導(dǎo)數(shù)公式如下:

1) 固定ω中除p0之外的所有變量,令λ=λ(p0)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

h∈L(J)

2) 固定ω中除p1之外的所有變量,令λ=λ(p1)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

h∈L(J)

3) 固定ω中除w之外的所有變量,令λ=λ(ω)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

h∈L(J)

4) 固定ω中除θ之外的所有變量,令λ=λ(θ)為特征值,則λ是Fréchet可微的,有

5) 固定ω中除邊界條件參數(shù)矩陣A之外的所有變量,令λ=λ(A)為特征值,且det(A+S)=-τ1,則λ是Fréchet可微的且有

6) 固定ω中除邊界條件參數(shù)矩陣B之外的所有變量,令λ=λ(B)為特征值,且det(B+S)=-τ2,則λ是Fréchet可微的且有

證明為了方便,對(duì)于給定的參數(shù)γ,令λ=λ(γ)和λ=λ(γ+h)所對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征函數(shù)分別為

(25)

式中

(26)

1) 固定ω中除p0之外的所有變量,令λ=λ(p0)和λ=λ(p0+h)所對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征函數(shù)分別為F(p0)和G(p0),F(p0)和G(p0)具體如式(25,26).

由空間H上內(nèi)積定義可得

由式(1)和分部積分法,可得

(27)

(28)

(29)

(30)

由式(18,19,27～30)可得

(31)

由擬導(dǎo)數(shù)的定義(9)可知:

把式(32)和(33)代入式(31),可得

因此,1)成立.

2) 固定ω中除p1之外的所有變量,令λ=λ(p1)和λ=λ(p1+h)所對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征函數(shù)分別為F(p1)和G(p1),類似1)的方法,由分部積分法可得

因此,2)成立.

3) 固定ω中除w之外的所有變量,令λ=λ(w)和λ=λ(w+h)所對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征函數(shù)分別為F(w)和G(w),F(w)和G(w)具體如式(25,26),則有

由式(1,25,26)可知:

i[q1z′+(q1z)′]+p1z}

i[q1y′+(q1y)′]+p1y}

因此有

(34)

由式(18～21,34)可得

因此3)成立.

4)～6)與文獻(xiàn)[18]定理4.1證明過程類似,因此省略.

定理6設(shè)ω=(p0,p1,ω,θ,a,b,c-,c+,A,B)∈Ω,λ=λ(ω)是算子T的特征值,(y(x,ω),y1(ω),y2(ω))∈H是其對(duì)應(yīng)的規(guī)范化的特征函數(shù).若λ(ω)在ω的某一鄰域內(nèi)的幾何重?cái)?shù)不變,則λ關(guān)于內(nèi)部不連續(xù)點(diǎn)c左右兩側(cè)c1,c2和邊界點(diǎn)a,b是可微的且導(dǎo)數(shù)公式如下:

1) 固定ω中除c1之外的所有變量,令λ=λ(c1)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

λ′(c1)=Y*(c1)KY′(c1)

2) 固定ω中除c2之外的所有變量,令λ=λ(c2)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

λ′(c2)=-d1d2Y*(c2)KY′(c2)

3) 固定ω中除a之外的所有變量,令λ=λ(a)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

λ′(a)=-Y*(a)KY′(a)

4) 固定ω中除b之外的所有變量,令λ=λ(b)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

λ′(b)=d1d2Y*(b)KY′(b)

證明1) 固定ω中除c1之外的所有變量,令λ=λ(c1)和λ=λ(c1+h)所對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征函數(shù)分別為F(c1)和G(c1),F(c1)和G(c1)具體如式(25,26),則有

(35)

注意到當(dāng)h→0時(shí),

由引理7可知:

所以對(duì)式(35)兩邊同時(shí)除以h,并取極限h→0,得

因此1)成立.

2) 固定ω中除b之外的所有變量,令λ=λ(b)和λ=λ(b+h)所對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征函數(shù)分別為F(b)和G(b),F(b)和G(b)具體如式(25)和(26),則有

(36)

注意到當(dāng)h→0時(shí),有

由引理7可知:

因此對(duì)式(36)兩邊同時(shí)除以h,并取極限h→0,得

因此4)成立.

2),3)的證明同1),4)類似.