Gauss-Weierstrass算子線性組合在Orlicz空間的加Jacobi權(quán)逼近

官心果,鐘宇,2*,余泉,趙靜,李東升,徐妮

(1 黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 都勻 558000;2 黔南民族師范學(xué)院預(yù)科教育學(xué)院,貴州 都勻 558000)

1 引言

Gauss-Weierstrass算子定義為

為了提高算子的逼近階,采用方法是在該算子的基礎(chǔ)上加線性組合(加權(quán))[5]。 目前,關(guān)于Gauss-Weierstrass算子在Orlicz空間的研究,僅有文獻(xiàn)[1]、[6]、[7]涉及。 受文獻(xiàn)[1]的啟示,本文研究了Gauss-Weierstrass算子線性組合Jacobi權(quán)函數(shù)在Orlicz空間中的逼近情況,并得到相關(guān)的逼近定理。

1.1 Orlicz空間中的相關(guān)概念[8]

Orlicz空間中所定義的M范數(shù)如下:

Orlicz空間中,Luxemburg范數(shù)定義為

Orlicz空間中的H?lder不等式為

Jacobi權(quán)中所定義的K-泛函為

K-泛函中的D為加權(quán)Orlicz-Sobolev空間,

關(guān)于Gauss-Weierstrass算子的線性組合[9-11]定義為

式中的ni∈N且ni,Ci滿足如下條件:

(1)n=n0

1.2 主要結(jié)論

文中C為正常數(shù),在不同位置所代表的數(shù)不一樣。

定理2設(shè)g∈D, 則有

2 相關(guān)引理

A0(n,x)=1,A1(n,x)=0,

A2r+1(n,x)=0,A2r(n,x)=(2r-1)!!nr。

引理2[9]對(duì)?r≥0, 存在常數(shù)C使得

證明由于

注意到

以及引理2中的r=0,ρ(u,M)≤1時(shí),u(x)在(-∞,+∞)上幾乎處處有界,則有

由ρ(v,N)≤1時(shí),v(x)在(-∞,+∞)上幾乎處處有界,可得

引理3證畢。

引理4[1]設(shè)θg′為g′(x)的Hardy-Littlewood極大函數(shù),則

引理5設(shè)g∈D,則

證明由泰勒展開式,

n=n0

從而得

|wkLn,r((g)-g)|=|wk(x)Ln,r((g;x)-g(x))|=

于是

引理5證畢。

3 主要結(jié)論的證明

證明經(jīng)計(jì)算得

所以有

注意到

以及引理2、引理3聯(lián)立可得

定理1證畢。

定理2設(shè)g∈D, 則

證明因泰勒展開式得

所以有

|wkL″n,r(g)|=

(1)

根據(jù)引理1得

結(jié)合引理1、式(1)得

|wkL″n,r(g)|=|wk(x)L″n,r(g)|≤

(2)

又由引理1、引理4、條件(2)得

注意到

n=n0

故有

定理2證畢。

根據(jù)引理3、引理5、Jacobi權(quán)中定義的K-泛函得

由光滑模與K-泛函的等價(jià)性[12],則有

定理3證畢。