考慮尺寸效應(yīng)的FRP約束混凝土分析模型

管國(guó)東, 張璐珂

(1.云南航天工程物探檢測(cè)股份有限公司，云南 昆明 650217；2.山東大學(xué) 巖土與結(jié)構(gòu)工程研究中心，山東 濟(jì)南 250061)

0 引言

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(Fiber Reinforced Polymer，F(xiàn)RP)具有輕質(zhì)高強(qiáng)、耐腐蝕和不增加截面尺寸等優(yōu)點(diǎn)，在混凝土墩柱加固中得到廣泛應(yīng)用。FRP約束混凝土改變了混凝土的受力狀態(tài)，限制了混凝土的側(cè)向變形，極大提高了混凝土的強(qiáng)度。FRP約束柱的力學(xué)性能可以通過面向設(shè)計(jì)的模型[1]與面向分析的模型[2]進(jìn)行預(yù)測(cè)。面向設(shè)計(jì)的模型通常會(huì)預(yù)設(shè)FRP約束混凝土的應(yīng)力應(yīng)變曲線形狀，然后通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸分析標(biāo)定曲線的特征點(diǎn)(峰值強(qiáng)度、極限強(qiáng)度和極限應(yīng)變等)[3-5]。設(shè)計(jì)模型公式簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用，但不能很好地用于分析FRP約束混凝土的機(jī)理，偏重經(jīng)驗(yàn)性。分析模型通?；诨炷恋妮S向壓縮和側(cè)向膨脹的關(guān)系預(yù)測(cè)約束應(yīng)力，再根據(jù)約束的應(yīng)力應(yīng)變模型預(yù)測(cè)軸向應(yīng)力，但通常需要逐步迭代計(jì)算。

試驗(yàn)結(jié)果表明，混凝土的力學(xué)性能隨試樣尺寸不同而變化，這種特性稱為尺寸效應(yīng)[6]。強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)是混凝土的固有特性，主要產(chǎn)生原因是混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不均勻性。Bazant[6]建立了一個(gè)簡(jiǎn)化的力學(xué)分析模型，探討混凝土受壓破壞時(shí)的尺寸效應(yīng)，但其論文建立的理論和試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果顯示：混凝土受壓尺寸效應(yīng)的研究難度較大，其影響因素不僅與混凝土強(qiáng)度相關(guān)，還與柱體的破壞形態(tài)有密切關(guān)系。

關(guān)于試件尺寸對(duì)FRP約束混凝土構(gòu)件的混凝土強(qiáng)度影響存在大量研究和爭(zhēng)論。Owen[7]首次研究了FRP約束混凝土柱的尺寸效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)FRP約束混凝土的極限強(qiáng)度存在顯著的尺寸效應(yīng)。Zhou等[8]對(duì)5種不同尺寸的碳纖維布約束混凝土圓柱體進(jìn)行了軸向壓縮試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明，CFRP約束混凝土的極限強(qiáng)度具有明顯的尺寸效應(yīng)，而極限應(yīng)變只有輕微的尺寸效應(yīng)。Wang等[9]得出結(jié)論，當(dāng)AFRP約束處于較低水平時(shí)，試樣尺寸對(duì)AFRP約束混凝土的過渡強(qiáng)度和極限強(qiáng)度有顯著影響。Jin等[10]通過建立3D細(xì)觀數(shù)值模擬揭示了GFRP約束混凝土存在尺寸效應(yīng)現(xiàn)象，并建立了極限強(qiáng)度的半經(jīng)驗(yàn)半理論公式。這些研究工作表明FRP約束混凝土存在尺寸效應(yīng)。相反，另一些學(xué)者[11-15]認(rèn)為，F(xiàn)RP約束混凝土柱的強(qiáng)度或延性的尺寸效應(yīng)可以忽略。此外，使用FRP材料加固混凝土結(jié)構(gòu)的現(xiàn)行設(shè)計(jì)規(guī)范(ACI、CAS和fib等)未考慮尺寸效應(yīng)對(duì)約束混凝土材料性能的影響。從上述文獻(xiàn)可以看出，關(guān)于試件尺寸對(duì)約束混凝土的影響存在不同的觀點(diǎn)，需要進(jìn)一步研究。

分析模型從約束混凝土的機(jī)理出發(fā)，更具理論性，因此選擇分析模型開展尺寸效應(yīng)研究。分析模型中，F(xiàn)RP約束混凝土在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的行為可以使用Drucker-Prager(以下簡(jiǎn)稱DP)塑性模型進(jìn)行預(yù)測(cè)[16-17]。Jamatia等[18]指出Jiang等[17]建立的顯式數(shù)學(xué)模型不能揭示尺寸效應(yīng)對(duì)約束混凝土力學(xué)性能的影響。約束混凝土的尺寸效應(yīng)對(duì)強(qiáng)度具有顯著的影響，而內(nèi)聚力本質(zhì)上是強(qiáng)度的函數(shù)，因此本文基于Jiang等的研究基礎(chǔ)上通過修正內(nèi)聚力參數(shù)模型來考慮尺寸效應(yīng)的影響。首先分析了頂部鋼板和混凝土圓柱體端部摩擦對(duì)破壞模式的影響，然后基于已有文獻(xiàn)中的64個(gè)樣本建立了考慮尺寸效應(yīng)的內(nèi)聚力模型，并對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 Jiang等[17]的模型

為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)FRP約束混凝土的應(yīng)力應(yīng)變，塑性模型需要具有以下3個(gè)特征：①包括第三偏應(yīng)力不變量的屈服準(zhǔn)則；②與圍壓相關(guān)的硬化/軟化準(zhǔn)則；③流動(dòng)法則不僅與圍壓有關(guān)，而且與約束增加比率有關(guān)。雖然傳統(tǒng)的DP塑性模型不包括上述3個(gè)特征，但是對(duì)DP模型的塑性參數(shù)進(jìn)行修正能夠模擬FRP約束混凝土構(gòu)件在單軸荷載下的應(yīng)力應(yīng)變行為[16-17]。這些參數(shù)包括：與摩擦角和內(nèi)聚力相關(guān)的參數(shù)決定屈服、硬化軟化準(zhǔn)則，與膨脹角相關(guān)的參數(shù)決定流動(dòng)法則。本文采用Jiang等建立的顯式參數(shù)模型。

1.1 摩擦角模型

(1)

(2)

1.2 內(nèi)聚力模型

(3)

(4)

式中：k為內(nèi)聚力；fco為無約束混凝土抗壓強(qiáng)度；ρ為約束剛度比；p1(ρ)和p2(ρ)為約束剛度比的函數(shù)；Efrp為FRP的彈性模量，tfrp為FRP包裹厚度，D為混凝土圓柱體直徑。

(5)

(6)

1.3 膨脹角模型

(7)

λ1=11.61ρ+980

(8)

λ2=5 700ρ+225 000

(9)

βu=101.66 exp(-0.06ρ)-37.5

(10)

Jamatia等[18]指出Jiang等[17]建立的顯式數(shù)學(xué)模型不能揭示尺寸效應(yīng)對(duì)約束混凝土力學(xué)性能的影響，因此，本文對(duì)該模型修正以考慮尺寸效應(yīng)的影響。

2 數(shù)值模擬

2.1 有限元模型

采用ABAQUS開展有限元分析。混凝土柱建模為具有適當(dāng)邊界條件的1/8圓柱體。FRP布采用平面應(yīng)力中的正交異性彈性單層板來定義(Lamina)，只考慮其環(huán)向模量，將縱向模量、剪切模量設(shè)為無限小，泊松比設(shè)置為0.3?；炷帘徽J(rèn)為是各向同性材料，采用實(shí)體單元C3D8R，見圖1。模型底面(即實(shí)際構(gòu)件的中間截面)的Z方向平動(dòng)，側(cè)面1的Y方向平動(dòng)和側(cè)面2的X方向平動(dòng)被約束。模型上端面的鋼板與混凝土頂面的相互作用類型為“表面與表面接觸”。FRP布和混凝土界面采用ABAQUS 中的“Tie”命令，即FRP布和混凝土無相對(duì)滑動(dòng)。

(a)FRP材料局部方向

(b)邊界條件

(c)網(wǎng)格劃分圖1 有限元模型

采用ABAQUS子程序開發(fā)的方式開展數(shù)值模擬分析。USDFLD子程序可以通過用戶自定義的方式將場(chǎng)變量表示成某一變量的函數(shù)來定義材料參數(shù)。因此采用USDFLD子程序通過定義場(chǎng)變量的方式實(shí)現(xiàn)摩擦角、膨脹角和內(nèi)聚力模型的導(dǎo)入。其中，采用GETVRM子程序來獲取材料的積分點(diǎn)信息。

2.2 頂部鋼板和混凝土圓柱體端部摩擦對(duì)破壞模式的影響

混凝土強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)主要來源于材料的斷裂特性，而斷裂是材料內(nèi)部微裂紋發(fā)展的結(jié)果。Bazant分析了加載端無摩擦情況下的混凝土柱體破壞形式，見圖2(a)，這種破壞模式呈現(xiàn)為縱向劈裂裂縫，強(qiáng)度不具有尺寸效應(yīng)；而當(dāng)端部存在摩擦?xí)r如圖2(b)，混凝土柱出現(xiàn)錐體破壞形態(tài)，呈現(xiàn)出較多的斜裂縫，這類破壞具有尺寸效應(yīng)。

圖2 端部摩擦對(duì)混凝土破壞模式的影響

從已有的FRP約束混凝土文獻(xiàn)調(diào)研結(jié)果看，目前的試驗(yàn)樣本出現(xiàn)了錐體破壞模式。FRP布表面膨脹，變形明顯，失效時(shí)FRP布斷裂，主要原因是，在加載后期內(nèi)部混凝土的非均勻變形顯著，導(dǎo)致FRP材料中的環(huán)向應(yīng)變不均勻。

值得注意的是，Jiang等[17]模型雖然使用了分析模型開展FRP約束混凝土的研究，但是其數(shù)值模型中，不考慮頂部加載的端部約束效應(yīng)(見圖2)。然而混凝土圓柱體受壓試驗(yàn)，端部不做處理，圓柱體的端面必然存在摩擦。對(duì)文獻(xiàn)[2]的C38CF4樣本進(jìn)行計(jì)算，樣本的具體參數(shù)參見表1。圖3為不同摩擦系數(shù)下混凝土的軸向塑性應(yīng)變?cè)茍D。

由圖3可知：考慮端部摩擦，錐體破壞可以較好地被模擬；而Jiang等[17]得到的結(jié)果，如圖3(a)，不能出現(xiàn)典型的錐體破壞模式。文獻(xiàn)[19]給出鋼板和混凝土摩擦系數(shù)為0.6，本文采用該值作為ABAQUS相互作用表面接觸中摩擦系數(shù)。

(a)摩擦系數(shù)0

(b)摩擦系數(shù)0.6

(c)摩擦系數(shù)1圖3 不同摩擦系數(shù)下約束混凝土軸向塑性應(yīng)變?cè)茍D

3 結(jié)果分析

3.1 擬合樣本介紹

本文收集了相關(guān)文獻(xiàn)中的64個(gè)樣本(見表1)，包括不同的FRP材料、混凝土抗壓強(qiáng)度、圓柱體直徑和高度、FRP粘貼層數(shù)。需要說明的是，編號(hào)帶上標(biāo)a的試驗(yàn)樣本，參考文獻(xiàn)并沒有對(duì)應(yīng)的編號(hào)，本文是根據(jù)無約束混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度fco、FRP種類和包裹層數(shù)命名的。例如，C39.6GF1表示無約束混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度為39.6 MPa、FRP材料為玻璃纖維、包裹層數(shù)為1層，其余樣本編號(hào)均采用參考文獻(xiàn)中試件編號(hào)。fcu1(FEA)通過式(3)得到,fcu2(FEA)通過后文中式(11)得到。

表1 擬合樣本數(shù)據(jù)庫序號(hào)文獻(xiàn)來源編號(hào)FRP類型fco/MPaD/mmH/mmtfrp/mmEfrp/GPaρfcu(Test)/MPaAfcu1(FEA)/MPafcu2(FEA)/MPa1C-A-SAFRP50.64702100.057 21183.808 72.661.554.7272.422C-A-MAFRP50.641053150.071 51183.173 62.741.4452.3567.133C-A-LAFRP50.641945820.1431183.435 54.311.252.4851.954C-B-SAFRP28.79702100.057 21186.698 40.311.533.57465C-B-MAFRP28.791053150.071 51185.582 41.721.432.1145.76C-B-LAFRP28.791945820.1431186.042 36.61.2632.1439.187C-C-SAFRP50.64702100.095 31186.345 80.981.4560.5382.668C-C-MAFRP50.641053150.1431186.347 69.151.3558.3371.749[9]C-C-LAFRP50.641945820.2861186.870 63.41.453.7167.310C-D-SAFRP28.79702100.095 311811.160 55.511.7536.9357.7911C-D-MAFRP28.791053150.14311811.164 53.791.737.755712C-D-LAFRP28.791945820.28611812.085 48.971.537.1650.9

續(xù)表1 擬合樣本數(shù)據(jù)庫序號(hào)文獻(xiàn)來源編號(hào)FRP類型fco/MPaD/mmH/mmtfrp/mmEfrp/GPaρfcu(Test)/MPaAfcu1(FEA)/MPafcu2(FEA)/MPa13C-E-SAFRP50.64702100.190 711812.696 111.481.765.8998.4314C-E-MAFRP50.641053150.28611812.694 96.881.6563.3891.7715C-E-LAFRP50.641945820.57211813.741 106.191.6561.1992.0916C-F-SAFRP28.79702100.190 711822.332 88.431.845.3668.217C-F-MAFRP28.791053150.28611822.328 86.561.647.5466.3218C-F-LAFRP28.791945820.57211824.169 82.621.545.3662.9719W1-50CFRP41.150100177.375.230148.241.8106.60140.220[20]W1-100CFRP41.1100200177.337.62092.11.676.3495.3821W2-100CFRP41.1100200277.375.230146.751.952.85138.5222S1-1CFRP24.52701400.16724247.09261.91.644.5755.7123S2-1CFRP24.521002000.16724232.96453.61.535.4857.324S4-1CFRP24.521903800.16724217.35047.61.3531.5344.5125S5-1CFRP24.523106200.16724210.63439.61.1752.8535.1526S1-2CFRP24.52701400.33424294.1831021.6268.76100.2827[8]S2-2CFRP24.521002000.33424265.92871.971.565.1377.4428S4-2CFRP24.521903800.33424234.69957.81.345.9752.7329S5-2CFRP24.523106200.33424221.26746.71.1737.6741.7830S1-3CFRP24.52701400.501242141.28126.71.771.48103.8131S2-3CFRP24.521002000.50124298.892108.21.567.6393.6432S4-3CFRP24.521903800.50124252.04959.51.356.1763.3833S5-3CFRP24.523106200.50124231.90154.51.143.5146.234C30.2CF1aCFRP30.21002000.17224.625.28646.61.349.0257.9735C30.2CF3aCFRP30.21002000.5224.674.37187.21.4580.2189.2436C30.2CF4aCFRP30.21002000.67224.699.657104.61.584.09109.7437C30.2CF1aCFRP30.21002000.14628.658.28141.71.444.1547.5238[21]C30.2CF2aCFRP30.21002000.28629.6116.75561.456.6251.6139C30.2CF3aCFRP30.21002000.42576.6160.3863.31.3567.0776.1140C30.2AF1aAFRP30.21002000.1597.19.646391.2540.6846.9941C30.2AF2aAFRP30.21002000.2987.316.76668.51.463.4671.442C30.2AF3aAFRP30.21002000.4387.324.86092.11.572.1888.9143C38GF1aGFRP381022041.4219.910.268571.2557.8766.2644[22]C39.4GF1aGFRP39.41022041.4219.99.90363.11.2559.3467.945C39.5GF1aGFRP39.51022041.4219.99.87860.41.2558.516746CC-70-4GFRP31.974008000.9262.549.00058.221.0845.4046.2847CC-80-4GFRP44.394008000.9262.546.48052.840.949.6246.0948[23]CC-85-4GFRP48.94008000.9262.545.88058.180.848.7245.5649CC-80-6GFRP38.814008000.9262.547.41057.140.85549.7542.8450CC-85-6GFRP36.344008000.9262.547.92065.780.962.8760.4251C39.6GF1aGFRP39.61523050.17080.14.52038144.0744.0752[24]C39.6GF2aGFRP39.61523050.34080.19.05055.51.351.3861.5853C39.6GF3aGFRP39.61523050.51080.113.57063.31.359.4570.28

3.2 尺寸效應(yīng)修正內(nèi)聚力模型

ABAQUS 擴(kuò)展DP準(zhǔn)則中，摩擦角、內(nèi)聚力和膨脹角參數(shù)控制混凝土應(yīng)力應(yīng)變行為，尺寸效應(yīng)對(duì)強(qiáng)度具有顯著影響，內(nèi)聚力本質(zhì)上是剪切強(qiáng)度，因此對(duì)內(nèi)聚力修正是合理的?？紤]到混凝土抗拉和抗壓強(qiáng)度均存在尺寸效應(yīng)[6]，僅僅考慮修正內(nèi)聚力參數(shù)考慮尺寸效應(yīng)的影響。對(duì)式(3)增加修正系數(shù)A，該系數(shù)和混凝土圓柱體尺寸產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，進(jìn)而建立考慮尺寸效應(yīng)的修正模型，見式(11)。

(11)

考慮論文篇幅，僅僅顯示6個(gè)擬合樣本預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值的對(duì)比結(jié)果，見圖4，圖4中樣本編號(hào)參見表 1。從圖4可以看出：采用內(nèi)聚力修正系數(shù)修正后，應(yīng)力應(yīng)變曲線和實(shí)測(cè)值比修正前更為吻合。

(a) C-A-SS

(b) C-B-S

(c) C-C-S

(d)W1-50

(e) W1-100

(f) CC-80-4圖4 擬合樣本FEA值和試驗(yàn)值應(yīng)力應(yīng)變曲線對(duì)比

統(tǒng)計(jì)64個(gè)樣本的名義強(qiáng)度預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值的對(duì)比結(jié)果見圖5，從圖中可以看出，64個(gè)擬合樣本的試驗(yàn)值與理論預(yù)測(cè)值具有較好的一致性，R2=0.91，表明本文采用的修正方法能較好地模擬不同圓柱體直徑對(duì)FRP約束混凝土柱名義抗壓強(qiáng)度的影響。

(a)修正前

(b)修正后圖5 擬合樣本極限強(qiáng)度試驗(yàn)值與FEA對(duì)比

Bazant提出了尺寸效應(yīng)定律，見式(12)。

Kim等[25]認(rèn)為對(duì)于約束混凝土圓柱體，式(12)中的D可以用高度與直徑的差值(H-D)代替,因?yàn)榛炷林哪芰酷尫胖饕谠嚇又虚g高度附近的(H-D)區(qū)域觀察到。

(12)

式中：σNu為圓柱體試件的名義強(qiáng)度；B、D0為依賴于結(jié)構(gòu)的幾何常數(shù)；D為圓柱體試件的直徑。

因此，本文，見式(13)和式(14)。

(13)

(14)

式中：a和b為待定系數(shù)。

表1中的64個(gè)樣本涵蓋了50～400 mm直徑的不同樣本。統(tǒng)計(jì)64個(gè)擬合樣本的修正系數(shù)A和試件直徑D，確定待定系數(shù)a和b(見圖6)。

(a)式(13)計(jì)算所得修正系數(shù)

(b)式(14)計(jì)算所得修正系數(shù)圖6 考慮尺寸效應(yīng)的內(nèi)聚力修正系數(shù)形式對(duì)比

由圖6對(duì)比可得，式(14)的內(nèi)聚力修正系數(shù)擬合效果最優(yōu)，其相關(guān)系數(shù)R=0.76。從結(jié)果看，內(nèi)聚力修正系數(shù)存在一定的離散性，主要原因是錐體破壞模式和試驗(yàn)破壞形態(tài)之間存在一定的偏差，理論模型一定程度上不能完全展示試驗(yàn)樣本的各種破壞形態(tài)。將式(13)代入式(11)，得到考慮尺寸效應(yīng)的內(nèi)聚力模型，如式(15)所示。

(15)

3.3 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的修正模型，進(jìn)一步收集了不同文獻(xiàn)的試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，共25個(gè)樣本。具體驗(yàn)證樣本信息參見表2。

表2 驗(yàn)證樣本數(shù)據(jù)庫序號(hào)文獻(xiàn)來源編號(hào)FRP類型fcoD/mmH/mmTfrp/mmEfrp/GPaρfcu(Test)/MPafcu(FEA)/MPa1[26]M30-B2BFRP34.62004000.2221056.7443.6350.042M30-B3BFRP34.62004000.33310510.1147.9754.793M30-C1CFRP37.232004000.1112106.2651.7951.194[27]M30-C2CFRP37.232004000.22221012.5256.5861.955M30-C3CFRP37.232004000.33321018.7866.5369.696L30-C3CFRP37.233006000.33321012.5252.8957.457S1-3CFRP20.571523050.16724226.252.246.058S4-6CFRP20.571523050.33424252.3986.376.969S16-18CFRP24.81523050.16724221.7358.554.4810S19-21CFRP24.81523050.33424243.4687.880.3211[28]S22-24CFRP24.81523050.50124265.1811698.9512S28-30CFRP36.671523050.16724214.6966.468.9313S31-33CFRP36.671523050.33424229.3995.290.3614S34-36CFRP36.671523050.50124244.08122.2111.6715S37-39CFRP36.671523050.66824258.78142.5130.416C35.9CF1aCFRP35.91523050.165250.515.1550.363.7317C35.9CF2aCFRP35.91523050.33250.530.370.177.7818[29]C34.3CF3aCFRP34.31523050.495250.547.5790.188.4719C38.5GF1aGFRP38.51523051.2721.89.4655.164.2320C38.5GF2aGFRP38.51523052.5421.818.9276.580.2921[30]C41.1CF1aCFRP41.11523050.16525013.215571.6922C38.9CF2aCFRP38.91523050.3324727.5773.981.8223C1CFRP251523050.16523018.9542.147.8324[31]C2CFRP251523050.3323037.955658.8725GE2GFRP251523050.337412.2142.745.35

25個(gè)驗(yàn)證樣本的極限強(qiáng)度試驗(yàn)和FEA對(duì)比結(jié)果如見圖7所示，其理論預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)測(cè)試值的R2=0.93，表明了本文修正的內(nèi)聚力模型能夠有效揭示FRP約束混凝土圓柱體的抗壓強(qiáng)度尺寸效應(yīng)。

圖7 驗(yàn)證樣本極限強(qiáng)度試驗(yàn)和FEA對(duì)比

4 結(jié)論

通過試驗(yàn)分析和數(shù)值模擬考慮尺寸效應(yīng)對(duì)FRP約束混凝土的影響，得到以下結(jié)論：

1)考慮頂部鋼板和混凝土圓柱體的端部摩擦，能夠較好地模擬FRP約束混凝土圓柱體試件的錐體破壞模式。

2)基于ABAQUS的USDFLD子程序，通過內(nèi)聚力修正系數(shù)A考慮尺寸效應(yīng)的影響，見式(13)。建立了考慮尺寸效應(yīng)的內(nèi)聚力模型，見式(15)。對(duì)內(nèi)聚力模型進(jìn)行了驗(yàn)證，極限強(qiáng)度的試驗(yàn)值和FEA值決定系數(shù)R2=0.93，表明所提出內(nèi)聚力模型的正確性。

3)本文提出的模型具有一定局限性：擬合樣本和驗(yàn)證樣本均為圓形截面混凝土柱，對(duì)于其它截面(矩形和方形)，需要考慮不均勻約束的影響。