• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    古代文明的數(shù)學(xué)智慧:文明古國乘法計算探析

    2024-01-02 01:14:14池奕言
    科學(xué) 2023年6期
    關(guān)鍵詞:計算方法乘法

    池奕言

    在各種文明的算術(shù)發(fā)展過程中,乘法計算的產(chǎn)生至關(guān)重要,它是人類從簡單加減法的數(shù)學(xué)邏輯邁向復(fù)雜抽象計算的關(guān)鍵一步。整數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)的乘法都是由這個基本定義泛化而來的。(正數(shù))乘法也可被視為在面積計算中對其邊長給定的矩形區(qū)域的面積。

    一個文明可以相對比較容易地發(fā)展出計數(shù)方法和加減法運(yùn)算,但要想創(chuàng)造一套簡單可行的乘法計算方法卻不那么容易。中國古代計算用“算籌”不用筆,籌算可以改變形態(tài)橫豎俱可,可以左至右運(yùn)算。

    籌算乘法分三層:上位是被乘數(shù),中位是積,下位是乘數(shù)。先由乘數(shù)的最大一位去乘被乘數(shù),再用第二位數(shù)去乘,兩次之積對應(yīng)位上的數(shù)相加,乘完為止[1]。如算49乘36的步驟,結(jié)果是1764。

    使用的算籌計算看似簡便,實際上這需要事先掌握九九乘法口訣表;考慮到古代文明的基礎(chǔ)教育水平,這種計算并不完美。我國現(xiàn)代教育中使用的豎式乘法筆算方式也需要使用到九九乘法口訣表。

    其他國家的乘法計算方式都一樣嗎?在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中,不同的文明創(chuàng)造出了哪些不同的乘法計算方法,其中有些計算方法甚至可以完全拋棄乘法口訣表(包括中國的計算方法)。

    中國明代算書《指明算法》記載了中國的古代乘法計算方法,名字叫“鋪地錦”,英文被稱作“The Chinese method of multiplication”。李培業(yè)教授在《數(shù)學(xué)史研究》中認(rèn)為“鋪地錦”是我國自創(chuàng)的乘法計算方法。鋪地錦歌訣為“寫算鋪地錦為奇,不用算盤數(shù)可知。法實相呼小九數(shù),格行寫數(shù)莫差池。記零十進(jìn)于前位,逐位數(shù)數(shù)亦如之。照式畫圖代乘法,厘毫絲忽不須疑”[2,3]。

    如果使用鋪地錦方法計算49乘36的步驟,結(jié)果是1764。

    計算步驟如下。

    1.第一步:制作一個2×2的表格,使用反斜線將每個格子一分為二,把被乘數(shù)49寫在格子圖的上面,乘數(shù)36寫在格子圖的右面。

    2.第二步:將上面的數(shù)字和右邊的數(shù)字相乘,如左上的格子填寫3×4=12(第二步-1);同理分別填寫好其他格子。

    3.第三步:把表格中同一斜線里面的數(shù)全部加起來,寫在格子圖的左面和下面。

    4.第四步:將進(jìn)位的數(shù)字加到其左邊或者上面的位數(shù)。

    鋪地錦計算方法雖然也需要掌握乘法口訣表,但是計算難度要比算籌法簡單很多,而且比豎式法更加不容易出錯。對于位數(shù)較多或者帶小數(shù)數(shù)字的乘法計算也適用。

    通過乘法分配率,“鋪地錦”算法可以把復(fù)雜的多位值的乘法計算簡化為個位數(shù)乘法和簡單的加法計算,而乘法口訣表的普及使得個位數(shù)乘法相對容易,這種算法的思路和唐朝以來不斷計算改革和簡化計算,尋找和使用巧妙的計算方法思路是一脈相承的[4,5]。

    眾多周知,現(xiàn)在國際通用的阿拉伯?dāng)?shù)字是由古印度

    人發(fā)明的。最早的印度數(shù)字出現(xiàn)在公元前2500年左右的哈拉帕文化中。公元733年,印度數(shù)字傳入阿拉伯,阿拉伯人將其進(jìn)行了改進(jìn),后來還將印度數(shù)字傳入歐洲,當(dāng)時歐洲人誤認(rèn)為這種數(shù)字是阿拉伯人發(fā)明的,稱之為“阿拉伯?dāng)?shù)字”。

    早在公元前2000年吠陀時期,印度人就對數(shù)學(xué)有很高的成就,當(dāng)時希臘人能夠表示最大的數(shù)字是10,而印度人可以表示到10。12世紀(jì)之后,印度人使用“格子乘法”,格子乘法的起源在哪里尚無定論,印度也許就是格子乘法的發(fā)源地[6]。

    如果使用印度格子乘法計算49×36的步驟,結(jié)果是1764。

    計算步驟如下。

    1.第一步:把被乘數(shù)49分成兩塊線條;左邊4條,右邊9條。

    2.第二步:把乘數(shù)36以垂直交叉方向分成兩塊線條,左邊3條,右邊6條。

    3.第三步、第四步:計算4個區(qū)域的交叉點個數(shù)。

    4.第五步:將區(qū)域2和區(qū)域3的數(shù)字相加。

    5.第六步:從右往左進(jìn)行進(jìn)位相加。

    印度格子乘法方法簡單易懂,甚至不需要掌握乘法口訣表也可以使用,是一種適用文化程度較低的地區(qū)的簡便方法,同時日本也在使用類似方式計算乘法。

    九九乘法口訣表有著非常鮮明的遞推規(guī)律:9×1=9,9×2=18,9×3=27,…,9×9=81。不難發(fā)現(xiàn),隨著乘數(shù)的遞增,積的十位數(shù)字也依次遞增,且比乘數(shù)減1,而個位數(shù)字依次遞減,且積的兩位數(shù)字之和都是9。舉例乘數(shù)為5的乘法加以說明:9×5=(10-1)×5=50-5=45,不難看岀,積為50-5=45,其十位數(shù)字4一定比乘數(shù)減1,而個位數(shù)字5與乘數(shù)5之和為10,因此,積的兩位數(shù)字之和恒為9。

    印度對九九乘法口訣表進(jìn)行了改進(jìn),升級為十九超級乘法表,可以大大縮減計算時間,超級乘法口訣表是從1到19[7]。

    那么從11×11到19×19,印度人是怎樣記憶超級乘法口訣的呢?把被乘數(shù)與乘數(shù)的個位數(shù)字加起來;將這一步的得數(shù)乘以10;把被乘數(shù)、乘數(shù)的個位數(shù)字乘起來;將前兩步的得數(shù)加起來,所得的結(jié)果就是所求的積。

    超級乘法口訣甚至可以將其升級為99×99的乘法口訣表,從21×21到29×29、31×31到39×39,…,91×91到99×99,也使用類似的算法。以63×65=4095加以說明:63×65=(63+5)×60+3×5=4080+15=4095。

    古埃及的乘法運(yùn)算不需要大量的口訣背誦,只要知道翻倍乘法就可以了,即乘2乘法。以11×16為例,對被乘數(shù)11不停乘以2(11×2,11×4,11×8,…)直至乘到數(shù)字16,得到結(jié)果176 [8]:

    如果乘數(shù)不是2的冪,怎么計算呢?使用古埃及的乘法運(yùn)算法計算49乘36為例。被乘數(shù)49翻倍,直到得出翻倍次數(shù)32,翻倍次數(shù)不要超過乘數(shù),如果把32翻倍64就會超過36。同時因為36比32大,找出那些與32相加得36的翻倍次數(shù),然后把翻倍次數(shù)相對應(yīng)的數(shù)字相加(196和1568),得到結(jié)果1764。計算過程步驟如下。

    1.第一步:把被乘數(shù)49翻倍。

    2.第二步:把乘數(shù)36拆分成翻倍次數(shù)之和36=32+4。

    3.第三步:將對應(yīng)的翻倍結(jié)果相加得196+1568=1764。

    古埃及乘法不同于中國乘法計算,使用中國乘法計算的前提是必須掌握乘法口訣表,古埃及數(shù)學(xué)使用了類似二進(jìn)制的乘法運(yùn)算方法。古埃及人意識到任何一個數(shù)都可以表示為若干個不同的2的冪的和,這其實和計算機(jī)系統(tǒng)的二進(jìn)制的計算是有著相同原理的[9,10]。

    無獨(dú)有偶,古代俄羅斯使用類似的一種乘法計算,將被乘數(shù)逐次減半,遇到奇數(shù)則減1后再減半,同時乘數(shù)依次加倍;找出所有奇數(shù)數(shù)字,其對應(yīng)的數(shù)之和就是乘法結(jié)果。這個做法與古埃及的算術(shù)法相當(dāng)類似,但看起來更奇特一些。使用俄羅斯的乘法運(yùn)算法計算49乘36,計算過程如下表。

    挑出減半后是奇數(shù)的數(shù)字(49,3和1),將其對應(yīng)的數(shù)字相加即可(36+576+1152=1764)。

    在古代的兩河流域,人們使用粘土制成泥板,其上用楔形文字書寫。現(xiàn)存有數(shù)以百計的兩河數(shù)學(xué)文獻(xiàn)在泥板上保存下來,這一時期已發(fā)展出成熟的數(shù)字體系。在古巴比倫的基礎(chǔ)教育中,一個重要的組成部分是記憶大量倒數(shù)表(不是今天理解的倒數(shù))和乘法表,同時需要依靠抄寫來輔助記憶。從現(xiàn)有的泥板材料可以看出,學(xué)習(xí)算術(shù)有固定的次序和內(nèi)容,構(gòu)造倒數(shù)表是其中的一步,同樣倒數(shù)表也可以用于乘法。

    六十進(jìn)制的使用為古巴比倫數(shù)學(xué)的乘法運(yùn)算發(fā)展帶來了很大的障礙,因為如果要背乘法口訣表的話,至少也得背一千多項。所以古巴比倫人利用表格代替乘法口訣表。這些計算有關(guān)的表格可能用于學(xué)習(xí)時的背誦,也可能用于實際的換算或計算,是古巴比倫人計算的重要輔助工具。

    這塊泥板給出了形如60/N的整數(shù)的六十進(jìn)制展開,但是還未使用分?jǐn)?shù)概念。其上的文字可釋讀為:

    60的2分之一等于30;其3分之一等于20;其4分之一等于15;其5分之一等于12;其6分之一等于10;其7又1/2分之一等于 8;其8分之一等于7又30;其10減1分之一等于 6又40;其12分之一等于 5……

    由于古巴比倫采用六十進(jìn)制,這樣的一個列表相當(dāng)于倒數(shù)表。實際應(yīng)用這些表格進(jìn)行計算時是帶計量單位的,這些六十進(jìn)制數(shù)字本身沒有絕對位值,也就是說乘積等于60的任何冪次的兩個數(shù)就互為倒數(shù)。如第一行“60的2分之一等于30”,則2與30互為倒數(shù),因2×30 =60。古巴比倫的倒數(shù)表里所有的數(shù)都是精確的小數(shù),在六十進(jìn)制中都是有限小數(shù)。需要計算乘法時,古巴比倫人就去查詢表格從而得到結(jié)果,通過大量背誦和記錄來避免乘法計算是古巴比倫的方法[10,11]。

    碰到無限小數(shù)時,他們會用取近似值的方法來解決。例如,古巴比倫人會通過1/13=1×(1/13)=7×(1/91)≈7×(1/90)=7×(40/3600)=(7×40)/3600來計算1/13的值。那個40就是查倒數(shù)表查出來的。

    乘法的計算方法體現(xiàn)了古人的數(shù)學(xué)智慧。一個乘法計算方式有如此多的方法,可見數(shù)學(xué)的魅力所在。在各種計算方法中,各國采用了不同的進(jìn)制,中國、印度采用了十進(jìn)制,古巴比倫采用了六十進(jìn)制,古埃及采用的方式接近于二進(jìn)制。

    中國的“鋪地錦”計算方法,雖然需要背誦乘法口訣表,但是其清晰的計算結(jié)構(gòu)可以減少計算差錯,同時也可以高效地用于計算多位數(shù)和小數(shù),和我國常用的計算工具“算盤”計算方法的思路一脈相承。

    印度采用的進(jìn)制與我國相同,采用十進(jìn)制,雖然畫圖較為麻煩,遇上8,9這樣的大數(shù)畫起來比較費(fèi)時間;用于1,2這樣的小數(shù)字,數(shù)起交叉點來還是比較簡單的,而且因為不需要背誦乘法口訣表適用于教育程度較低的地區(qū)。同時,印度19超級乘法表能夠節(jié)約大量的時間,也是一個很高效的計算方法。

    古埃及采用的方式接近于二進(jìn)制,古埃及人意識到任何一個數(shù)都可以表示為若干個不同的2的冪的和。這其實和計算機(jī)系統(tǒng)二進(jìn)制的定義是如出一轍的。這個方法不用背誦也不需要畫圖,僅僅需要掌握乘2的簡單乘法,乘2的計算方法又可以簡化成加法,受到基礎(chǔ)加減法算術(shù)教育的人民就可以進(jìn)行乘法運(yùn)算。

    古巴比倫采用六十進(jìn)制的方法,60過大很容易出錯,為乘法運(yùn)算發(fā)展帶來了很大的障礙。但是古巴比倫對于無限小數(shù)和倒數(shù)的認(rèn)知,為我們打開了數(shù)學(xué)新世界的大門。古巴比倫人把除以一個數(shù)看作是乘以它的倒數(shù),利用查找倒數(shù)表可以很方便地實現(xiàn)乘除法的換算。這種方法將計算轉(zhuǎn)化成查找,和現(xiàn)代數(shù)學(xué)中利用對數(shù)表計算異曲同工。

    總之,各種算法各有優(yōu)點,在那些充滿聰明才智的古代文明頭腦中,總有意想不到的驚喜,為現(xiàn)在科技的快速發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。

    (作者單位:溫州第二高級中學(xué))

    [1]李紅彥. 有趣的算籌. 數(shù)學(xué)小靈通(1-2年級版), 2020(12): 41-42.

    [2]李林明. 古人怎樣算乘法.數(shù)學(xué)小靈通(3-4年級版), 2014(04): 34, 35, 45.

    [3]梅艷珍. 賞析古代乘法算式“鋪地錦”. 教育實踐與研究(A), 2011(02): 50-51.

    [4]周全中. 鋪地錦乘法的來龍去脈. 齊魯珠壇, 2000(03): 18-19.

    [5]青華道人.舉例說明西方“格子乘法”就是中國的“鋪地錦”寫算法. https://weibo.com/ttarticle/p/show?id=2309404715295246778659

    [6]王邵惠子. 古代印度算術(shù)理論研究. 遼寧師范大學(xué)學(xué)報, 2019.

    [7]優(yōu)博數(shù)學(xué). 神奇的印度式乘法—古代數(shù)學(xué)智慧介紹. https://baijiahao.baidu.com/s?id=1624184299783266665&wfr=spid er&for=pc

    [8]裴莊. 古埃及人獨(dú)創(chuàng)的乘法和除法. 中學(xué)生數(shù)學(xué), 2002(06): 40.

    [9]phoenix890209. 知道古埃及人是怎么做乘法的么?https://blog.csdn.net/phoenix890209/article/details/5272487

    [10]Matrix67. 沒有乘法口訣表將會怎樣: 古巴比倫乘法和古埃及乘法. http://www.matrix67.com/blog/archives/360?replytocom=6406

    [11]顧森. 獨(dú)特的古巴比倫數(shù)學(xué). 中學(xué)生數(shù)理化(初中版) (中考版), 2011(12): 21.

    關(guān)鍵詞:乘法 古文明 計算方法 ■

    猜你喜歡
    計算方法乘法
    算乘法
    浮力計算方法匯集
    我們一起來學(xué)習(xí)“乘法的初步認(rèn)識”
    追尋“累乘法”的來龍去脈
    一起學(xué)習(xí)“表內(nèi)乘法(二)”
    《整式的乘法與因式分解》鞏固練習(xí)
    把加法變成乘法
    隨機(jī)振動試驗包絡(luò)計算方法
    基于能量的球壓痕硬度的計算方法
    不同應(yīng)變率比值計算方法在甲狀腺惡性腫瘤診斷中的應(yīng)用
    免费在线观看完整版高清| 日本av免费视频播放| 国产xxxxx性猛交| 一区福利在线观看| 女人久久www免费人成看片| 俄罗斯特黄特色一大片| 黄色片一级片一级黄色片| 色综合欧美亚洲国产小说| 午夜激情久久久久久久| 99国产精品99久久久久| 在线观看66精品国产| 丁香六月天网| 国产男女超爽视频在线观看| 91国产中文字幕| 国产精品免费大片| 久久99热这里只频精品6学生| av电影中文网址| 午夜激情av网站| 亚洲美女黄片视频| 精品国产乱码久久久久久男人| 欧美人与性动交α欧美精品济南到| www.精华液| 精品少妇内射三级| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 久久国产亚洲av麻豆专区| 久久久久久久久免费视频了| www.熟女人妻精品国产| av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产男女内射视频| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 久久久久久久久免费视频了| 91九色精品人成在线观看| 丰满饥渴人妻一区二区三| 97在线人人人人妻| 免费在线观看影片大全网站| 国产一区二区激情短视频| 51午夜福利影视在线观看| 交换朋友夫妻互换小说| 欧美黄色淫秽网站| 日本一区二区免费在线视频| 一区在线观看完整版| 久久中文字幕一级| 五月开心婷婷网| 欧美在线黄色| 宅男免费午夜| 天天操日日干夜夜撸| 免费观看a级毛片全部| 国产麻豆69| 欧美国产精品一级二级三级| 一本综合久久免费| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃| 十八禁网站免费在线| 51午夜福利影视在线观看| 亚洲天堂av无毛| 亚洲国产欧美在线一区| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 一本久久精品| 飞空精品影院首页| 在线永久观看黄色视频| 亚洲男人天堂网一区| 久久精品成人免费网站| 色综合欧美亚洲国产小说| 亚洲精品av麻豆狂野| 激情在线观看视频在线高清 | 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| kizo精华| 欧美在线一区亚洲| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 亚洲精品久久午夜乱码| 国产精品1区2区在线观看. | 欧美成人午夜精品| 丁香欧美五月| 精品福利永久在线观看| 狂野欧美激情性xxxx| 怎么达到女性高潮| 国产精品1区2区在线观看. | 精品国产乱码久久久久久小说| 免费观看a级毛片全部| 中文字幕色久视频| 一级片'在线观看视频| 国产精品欧美亚洲77777| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 韩国精品一区二区三区| 国产精品免费一区二区三区在线 | 动漫黄色视频在线观看| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 天堂动漫精品| 国产男女内射视频| 五月天丁香电影| 精品亚洲成a人片在线观看| 国产精品二区激情视频| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 色视频在线一区二区三区| 欧美性长视频在线观看| 日韩欧美国产一区二区入口| 51午夜福利影视在线观看| 视频区图区小说| 久久午夜综合久久蜜桃| 五月天丁香电影| 在线观看免费视频网站a站| 国产精品自产拍在线观看55亚洲 | 99久久国产精品久久久| 美国免费a级毛片| 丁香六月天网| 男女边摸边吃奶| 91大片在线观看| 亚洲精品成人av观看孕妇| 精品亚洲成a人片在线观看| 国产亚洲精品久久久久5区| 大香蕉久久成人网| √禁漫天堂资源中文www| 美国免费a级毛片| 99久久人妻综合| 久久久水蜜桃国产精品网| 色精品久久人妻99蜜桃| 精品久久蜜臀av无| 色综合婷婷激情| 欧美日韩亚洲高清精品| 男女床上黄色一级片免费看| 在线观看免费日韩欧美大片| 精品少妇久久久久久888优播| 午夜激情av网站| 少妇精品久久久久久久| 免费观看人在逋| 国产精品av久久久久免费| 久久精品成人免费网站| 色综合欧美亚洲国产小说| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 新久久久久国产一级毛片| 国产在线免费精品| 深夜精品福利| 91字幕亚洲| 动漫黄色视频在线观看| 一本久久精品| 大片免费播放器 马上看| 热re99久久国产66热| 美女福利国产在线| 色播在线永久视频| 亚洲国产欧美网| 757午夜福利合集在线观看| 韩国精品一区二区三区| 午夜福利免费观看在线| 日韩有码中文字幕| 热99国产精品久久久久久7| 久久人人97超碰香蕉20202| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 成人手机av| 91精品国产国语对白视频| 动漫黄色视频在线观看| 国产在线视频一区二区| 国产熟女午夜一区二区三区| 国产成+人综合+亚洲专区| 久久精品国产a三级三级三级| 91精品三级在线观看| 视频在线观看一区二区三区| 在线播放国产精品三级| 久久久久久人人人人人| 国产精品国产av在线观看| 一个人免费在线观看的高清视频| tocl精华| 美国免费a级毛片| 久久久国产欧美日韩av| 大陆偷拍与自拍| 国产成人影院久久av| 久久99热这里只频精品6学生| 精品国产亚洲在线| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 中文字幕色久视频| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 一区福利在线观看| 中文欧美无线码| 国产成人免费无遮挡视频| 在线观看www视频免费| 90打野战视频偷拍视频| 国产精品亚洲av一区麻豆| 激情在线观看视频在线高清 | 亚洲视频免费观看视频| 中国美女看黄片| 一级毛片电影观看| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 99久久人妻综合| 91成年电影在线观看| 日本一区二区免费在线视频| 久久热在线av| 日韩欧美国产一区二区入口| 国产一区二区三区在线臀色熟女 | 欧美日韩一级在线毛片| 亚洲天堂av无毛| 国产色视频综合| 亚洲国产av影院在线观看| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| bbb黄色大片| 亚洲国产av影院在线观看| 国产97色在线日韩免费| 成人18禁在线播放| 亚洲欧美日韩高清在线视频 | 丝袜喷水一区| 欧美黑人精品巨大| avwww免费| 亚洲国产看品久久| 午夜福利视频在线观看免费| 精品亚洲成a人片在线观看| 一边摸一边做爽爽视频免费| 老熟妇仑乱视频hdxx| 国产精品久久久av美女十八| 精品亚洲成a人片在线观看| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 久久中文看片网| 黄色视频不卡| 国产男女超爽视频在线观看| 母亲3免费完整高清在线观看| 首页视频小说图片口味搜索| 曰老女人黄片| 国产精品免费一区二区三区在线 | 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 日韩人妻精品一区2区三区| 母亲3免费完整高清在线观看| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 久久人人97超碰香蕉20202| 一进一出好大好爽视频| 欧美激情高清一区二区三区| 岛国毛片在线播放| 视频在线观看一区二区三区| 狂野欧美激情性xxxx| 一级毛片电影观看| 国产亚洲精品一区二区www | 亚洲中文av在线| 男女之事视频高清在线观看| 男女无遮挡免费网站观看| 日本欧美视频一区| 好男人电影高清在线观看| 国产真人三级小视频在线观看| 一区二区日韩欧美中文字幕| 在线天堂中文资源库| 精品国产乱码久久久久久男人| 一级片免费观看大全| 最黄视频免费看| 婷婷丁香在线五月| 黑人欧美特级aaaaaa片| 搡老熟女国产l中国老女人| 亚洲专区字幕在线| 国产精品久久久久久精品古装| 在线亚洲精品国产二区图片欧美| www.自偷自拍.com| 成人国产一区最新在线观看| 老熟女久久久| 国产精品.久久久| 久久免费观看电影| 黑人操中国人逼视频| 欧美精品高潮呻吟av久久| 国产伦人伦偷精品视频| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 久久 成人 亚洲| 中文亚洲av片在线观看爽 | 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 久久精品成人免费网站| 黄色毛片三级朝国网站| 美女午夜性视频免费| 一边摸一边抽搐一进一小说 | 久热爱精品视频在线9| 国产精品免费一区二区三区在线 | 最新的欧美精品一区二区| 搡老乐熟女国产| 欧美日韩亚洲高清精品| 国产精品成人在线| 丰满少妇做爰视频| 国产精品久久久人人做人人爽| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| av不卡在线播放| 在线观看免费视频网站a站| 亚洲五月婷婷丁香| 岛国在线观看网站| 在线天堂中文资源库| 最新在线观看一区二区三区| 我要看黄色一级片免费的| 99国产精品免费福利视频| 国产国语露脸激情在线看| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 99re在线观看精品视频| 午夜老司机福利片| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 国产精品二区激情视频| √禁漫天堂资源中文www| 久久久久久免费高清国产稀缺| videosex国产| 精品国产乱码久久久久久小说| 无人区码免费观看不卡 | 午夜91福利影院| 香蕉久久夜色| 99精品在免费线老司机午夜| 高潮久久久久久久久久久不卡| 热re99久久国产66热| 啦啦啦免费观看视频1| 又大又爽又粗| 91精品国产国语对白视频| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 久久久精品区二区三区| 国产日韩欧美亚洲二区| 亚洲成人国产一区在线观看| 免费观看人在逋| 99精品久久久久人妻精品| 久久青草综合色| 搡老熟女国产l中国老女人| 丝瓜视频免费看黄片| 91av网站免费观看| 我的亚洲天堂| 91成人精品电影| 亚洲天堂av无毛| 国产成+人综合+亚洲专区| av视频免费观看在线观看| 精品福利永久在线观看| 咕卡用的链子| kizo精华| 女人精品久久久久毛片| 日韩中文字幕欧美一区二区| 一进一出好大好爽视频| 久久这里只有精品19| 久热爱精品视频在线9| 亚洲视频免费观看视频| 一区二区av电影网| 亚洲专区国产一区二区| cao死你这个sao货| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 精品一区二区三区视频在线观看免费 | 男女之事视频高清在线观看| 国产99久久九九免费精品| 久久久久久久国产电影| 国产伦人伦偷精品视频| 国产99久久九九免费精品| 国产精品影院久久| 亚洲av国产av综合av卡| 老司机深夜福利视频在线观看| 亚洲视频免费观看视频| aaaaa片日本免费| 黄色视频在线播放观看不卡| 国产欧美日韩精品亚洲av| 视频区图区小说| 香蕉久久夜色| 美女视频免费永久观看网站| 亚洲久久久国产精品| 久久精品亚洲av国产电影网| 黄色丝袜av网址大全| 手机成人av网站| 在线观看一区二区三区激情| 国产欧美日韩精品亚洲av| 美女主播在线视频| 可以免费在线观看a视频的电影网站| 制服人妻中文乱码| 99精品在免费线老司机午夜| 国产精品免费视频内射| 国产又色又爽无遮挡免费看| 久久中文字幕人妻熟女| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 成人特级黄色片久久久久久久 | 黄色片一级片一级黄色片| 超碰97精品在线观看| 国产一区二区激情短视频| 波多野结衣一区麻豆| 男女高潮啪啪啪动态图| 国产精品1区2区在线观看. | 欧美中文综合在线视频| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 亚洲av电影在线进入| 日韩大片免费观看网站| 一级a爱视频在线免费观看| 少妇被粗大的猛进出69影院| av福利片在线| 亚洲国产欧美网| 国产又色又爽无遮挡免费看| 亚洲人成电影观看| 日本av手机在线免费观看| 十八禁高潮呻吟视频| 亚洲精华国产精华精| 亚洲色图综合在线观看| 国产一区二区三区综合在线观看| av一本久久久久| 十八禁高潮呻吟视频| 成年人黄色毛片网站| 在线观看免费视频日本深夜| 国产伦人伦偷精品视频| 日韩免费高清中文字幕av| 十八禁网站网址无遮挡| 久久青草综合色| 久久久精品免费免费高清| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 九色亚洲精品在线播放| 色精品久久人妻99蜜桃| 超碰成人久久| 老司机影院毛片| 色播在线永久视频| 在线永久观看黄色视频| 日韩大片免费观看网站| 欧美日韩亚洲高清精品| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 久久精品国产综合久久久| 99精品欧美一区二区三区四区| 国产97色在线日韩免费| 丝瓜视频免费看黄片| 在线观看免费日韩欧美大片| 精品国产亚洲在线| 18在线观看网站| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 人成视频在线观看免费观看| 国产成人精品久久二区二区免费| 亚洲精品中文字幕在线视频| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 在线看a的网站| svipshipincom国产片| 一边摸一边做爽爽视频免费| 国产亚洲欧美在线一区二区| 国产成人影院久久av| 成人永久免费在线观看视频 | 亚洲七黄色美女视频| 久久国产精品人妻蜜桃| 国产精品亚洲一级av第二区| 亚洲第一av免费看| 亚洲情色 制服丝袜| 两性夫妻黄色片| 午夜老司机福利片| 亚洲国产欧美在线一区| 欧美国产精品一级二级三级| 亚洲欧美日韩高清在线视频 | 看免费av毛片| 老司机靠b影院| 极品教师在线免费播放| cao死你这个sao货| 国产欧美日韩一区二区精品| 麻豆乱淫一区二区| 中文字幕人妻丝袜制服| 青青草视频在线视频观看| 99久久人妻综合| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 国产人伦9x9x在线观看| 一边摸一边做爽爽视频免费| 岛国毛片在线播放| 国产精品亚洲av一区麻豆| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 欧美激情高清一区二区三区| 国产成人免费观看mmmm| 麻豆成人av在线观看| 日韩欧美一区二区三区在线观看 | 亚洲欧美激情在线| 亚洲精品国产精品久久久不卡| 狂野欧美激情性xxxx| 亚洲色图av天堂| 99热网站在线观看| 黄色视频在线播放观看不卡| 国产精品九九99| 国产精品亚洲av一区麻豆| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 蜜桃在线观看..| 在线观看免费午夜福利视频| 成年人午夜在线观看视频| 亚洲精品在线观看二区| 性高湖久久久久久久久免费观看| 精品国产乱码久久久久久小说| 美女扒开内裤让男人捅视频| 女同久久另类99精品国产91| 一二三四社区在线视频社区8| 国产精品亚洲av一区麻豆| 又紧又爽又黄一区二区| videosex国产| 国产精品免费大片| 自线自在国产av| 天天操日日干夜夜撸| 亚洲欧美日韩高清在线视频 | 国产精品二区激情视频| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲一区中文字幕在线| 亚洲,欧美精品.| 老司机午夜十八禁免费视频| 国产老妇伦熟女老妇高清| 国产男靠女视频免费网站| 1024视频免费在线观看| 亚洲 欧美一区二区三区| 天天影视国产精品| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 久久青草综合色| 久久久久久久国产电影| 成在线人永久免费视频| 黑人猛操日本美女一级片| 久久人人97超碰香蕉20202| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 自线自在国产av| 69av精品久久久久久 | 自线自在国产av| 亚洲av第一区精品v没综合| 国产成人av激情在线播放| 久久久久久久国产电影| 日本a在线网址| 人人澡人人妻人| videos熟女内射| 亚洲av欧美aⅴ国产| 国产高清国产精品国产三级| 精品人妻1区二区| 国产av精品麻豆| 欧美另类亚洲清纯唯美| 丝袜在线中文字幕| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 成人影院久久| 久久精品国产a三级三级三级| av网站免费在线观看视频| 看免费av毛片| 国产亚洲精品第一综合不卡| 中文欧美无线码| 欧美日韩国产mv在线观看视频| av视频免费观看在线观看| 黄色片一级片一级黄色片| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 久久久精品免费免费高清| 黄色片一级片一级黄色片| 97人妻天天添夜夜摸| 天堂动漫精品| 大码成人一级视频| 一边摸一边做爽爽视频免费| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 多毛熟女@视频| 韩国精品一区二区三区| 国产黄色免费在线视频| 午夜福利视频精品| 免费少妇av软件| 免费观看a级毛片全部| 在线观看舔阴道视频| 国产免费av片在线观看野外av| av福利片在线| 免费日韩欧美在线观看| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 亚洲色图av天堂| 久久久水蜜桃国产精品网| 黄色片一级片一级黄色片| 欧美日韩av久久| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 淫妇啪啪啪对白视频| 极品少妇高潮喷水抽搐| 欧美在线一区亚洲| 黄片播放在线免费| 97人妻天天添夜夜摸| 国产区一区二久久| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 精品人妻熟女毛片av久久网站| 两个人看的免费小视频| 亚洲精品美女久久av网站| 免费在线观看日本一区| 美女高潮到喷水免费观看| 成人精品一区二区免费| 亚洲av电影在线进入| 亚洲午夜理论影院| 国产成人精品在线电影| 午夜日韩欧美国产| 女性生殖器流出的白浆| 精品卡一卡二卡四卡免费| 亚洲人成77777在线视频| 99国产精品99久久久久| videosex国产| av电影中文网址| 性色av乱码一区二区三区2| 757午夜福利合集在线观看| 国产精品 国内视频| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| a在线观看视频网站| 国产精品久久久久久精品古装| 后天国语完整版免费观看| 欧美 日韩 精品 国产| 三级毛片av免费| 91成人精品电影| av网站在线播放免费| 久久久欧美国产精品| 黑人欧美特级aaaaaa片| 大香蕉久久网| netflix在线观看网站| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 午夜视频精品福利| aaaaa片日本免费| 搡老岳熟女国产| 色视频在线一区二区三区| 高清黄色对白视频在线免费看| 757午夜福利合集在线观看| 中亚洲国语对白在线视频| 在线 av 中文字幕| 一区二区三区精品91| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 黑人猛操日本美女一级片| 极品教师在线免费播放| 亚洲精品国产区一区二| 国产精品免费大片| 久久国产精品大桥未久av| 成人特级黄色片久久久久久久 | 精品国产国语对白av| 天堂中文最新版在线下载| 五月天丁香电影| 一级片免费观看大全| 欧美日韩av久久| 中国美女看黄片| 老司机在亚洲福利影院| 一级片免费观看大全| 久久久久久免费高清国产稀缺| 国产精品成人在线| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 日本wwww免费看| 欧美在线黄色| 高清在线国产一区| 亚洲精品一二三| 欧美日韩视频精品一区| 色老头精品视频在线观看| 黄片大片在线免费观看| 丝瓜视频免费看黄片| √禁漫天堂资源中文www| 亚洲精品粉嫩美女一区| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 大型av网站在线播放|