數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透與應(yīng)用

■福建省龍巖市新羅區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校 肖小蘭

數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)活動中，為初中教學(xué)工作改革指明了方向，帶來創(chuàng)新發(fā)展動力的同時，對教學(xué)活動提出了更高要求。在此形勢下，初中數(shù)學(xué)教師要選擇科學(xué)合理的方式開展教學(xué)活動，顯著提升教學(xué)成效，助力學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展?；诖耍疚姆治隽嗽诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)活動中滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要性與實(shí)踐策略。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合思想是一種數(shù)學(xué)解題方法，常用于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、概率論、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等問題解決方面。其基本思想是按照數(shù)形結(jié)構(gòu)組織數(shù)據(jù)，在數(shù)形結(jié)構(gòu)中進(jìn)行分類、結(jié)合和計(jì)算，從而得到全面、準(zhǔn)確的答案，避免重復(fù)和遺漏。具體而言，數(shù)形結(jié)合思想通常包括以下幾個步驟。

1.描述問題：確定問題的背景和題干，明確問題需要求解的內(nèi)容。

2.從根節(jié)點(diǎn)開始構(gòu)建數(shù)形結(jié)構(gòu)：將問題中給出的信息組成“一棵樹”，其中節(jié)點(diǎn)表示問題中需要考慮的元素，邊表示這些元素之間的關(guān)系。初始狀態(tài)下，根節(jié)點(diǎn)表示節(jié)點(diǎn)。

3.定義層次：根據(jù)問題的特點(diǎn)，將數(shù)形結(jié)構(gòu)分成不同的層次。例如，對相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，可以根據(jù)選擇的順序?qū)?shù)形結(jié)構(gòu)分成不同的層次，每一層表示一次選擇。

4.確定分支：根據(jù)選擇或不選擇的情況，確定每個節(jié)點(diǎn)的分支。例如，每個節(jié)點(diǎn)對應(yīng)一個元素，每個節(jié)點(diǎn)有兩個分支，表示選擇或不選擇。

5.計(jì)算答案：根據(jù)數(shù)形結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類、結(jié)合和計(jì)算，得到全面準(zhǔn)確的答案。

由此可見，數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，通過組織數(shù)據(jù)，分類、計(jì)算得到準(zhǔn)確的答案，同時避免重復(fù)和遺漏。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，數(shù)形結(jié)合思想被廣泛應(yīng)用于結(jié)合數(shù)學(xué)、概率論、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

二、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要性

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，可以在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)活動中得到很好的體現(xiàn)和應(yīng)用，具有重要價值。首先，使用數(shù)形結(jié)合思想能夠使學(xué)生從眾多的數(shù)學(xué)概念和知識中，有條理地篩選出重點(diǎn)，建立起邏輯、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)化的思維方式，從而更容易深入理解所學(xué)知識。其次，在數(shù)形結(jié)合思想中，學(xué)生要清晰地分析問題，判斷數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，從而在數(shù)學(xué)運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的結(jié)合與分類，促進(jìn)思維能力和解決問題能力的提升。再次，使用數(shù)形結(jié)合思想能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和自主性，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時能夠更主動地尋找問題解決方法，從而更自信地學(xué)習(xí)。最后，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅能夠讓學(xué)生在個人思考過程中獲得成就感，還能夠促使學(xué)生發(fā)揮集體智慧，提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中滲透數(shù)形結(jié)合思想，能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，激發(fā)學(xué)生的思考興趣，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)帶來更多收獲。

三、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中滲透數(shù)形結(jié)合思想的有效措施

（一）在基礎(chǔ)知識教學(xué)期間引入數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是一門應(yīng)用性較強(qiáng)的學(xué)科，在日常生活中有著極為廣泛的應(yīng)用空間，這也意味著生活化教學(xué)法是引入數(shù)形結(jié)合思想的有效途徑。因此，在基礎(chǔ)知識教學(xué)環(huán)節(jié)，教師選擇科學(xué)的方式滲透數(shù)形結(jié)合思想，有助于學(xué)生思維能力的發(fā)展。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生解題非常重要的工具，利用圖形化的方式總結(jié)某個數(shù)學(xué)概念的所有可能性，將學(xué)生的思路更清晰而有邏輯地組織起來，以便解決各種數(shù)學(xué)題目。

例如，在《二次函數(shù)》教學(xué)中，教師可以滲透數(shù)形結(jié)合思想。首先，教師引入一些典型的二次函數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生萌生數(shù)形結(jié)合思想。其次，教師以數(shù)形結(jié)構(gòu)分類組織知識點(diǎn)，如按順序?qū)⒍魏瘮?shù)的一般式、頂點(diǎn)式等知識點(diǎn)用數(shù)形結(jié)合分開來解釋，不僅可以讓學(xué)生更好地理解知識點(diǎn)之間的關(guān)系，而且便于學(xué)生輕松記憶。再次，用數(shù)形結(jié)合思想解決問題。教師可以在數(shù)形結(jié)構(gòu)中分類問題，將一堆雜亂無章的問題利用圖形的形式清晰地整理出來，使學(xué)生根據(jù)問題畫出圖形，再按照圖形解決問題，掌握系統(tǒng)化解決問題的方法。最后，積極引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形分析，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的理解，在解決問題的過程中，鼓勵學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想，提升其解題能力，提出類似的二次函數(shù)問題，要求學(xué)生自主畫圖形、解決問題，使學(xué)習(xí)過程更加井井有條，進(jìn)而提高學(xué)生的解題效率。

（二）借助生活案例引入數(shù)形結(jié)合思想

在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想時，教師應(yīng)該讓學(xué)生了解，所謂數(shù)形結(jié)合就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，根據(jù)對象的屬性，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來，有效地相互轉(zhuǎn)化，成為解決問題的關(guān)鍵所在。利用滲透數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)，不僅能夠促進(jìn)學(xué)生思維方式向更高層次轉(zhuǎn)化，而且可以提高學(xué)生解決問題的能力，在實(shí)踐中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合思想是一種思考問題并組織知識的方式，可以幫助學(xué)生更好地理解和記憶課程知識點(diǎn)，在解決問題時快速找到思路，達(dá)到事半功倍的效果。在初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識環(huán)節(jié)滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以對學(xué)生的思維方式和學(xué)習(xí)成效產(chǎn)生積極影響。

例如，在《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，首先，教師應(yīng)了解數(shù)形結(jié)合思想的基本概念。數(shù)形結(jié)合思想是一種將各類現(xiàn)象的共性規(guī)律系統(tǒng)化組織起來的思維方式，即將某些對象按照某種規(guī)則組織起來，形成一個數(shù)形或網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)，以便分類、比較、推理和升華。其次，教師應(yīng)在教學(xué)中采用清晰而簡單的數(shù)形結(jié)構(gòu)圖來組織知識。對一些抽象的數(shù)學(xué)概念，通過清晰的數(shù)形結(jié)構(gòu)圖，將知識點(diǎn)整合在一起，使學(xué)生容易理解這些概念之間的聯(lián)系。最后，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生積極運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行綜合思考和深度分析，先按照二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，結(jié)合問題畫出二次函數(shù)圖像，再根據(jù)圖像內(nèi)容進(jìn)行計(jì)算，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提升教學(xué)指導(dǎo)效果。

（三）創(chuàng)設(shè)生活化例題

生活化例題和數(shù)形結(jié)合思想都是教學(xué)中常用的教學(xué)方法，二者之間可以相互結(jié)合、取長補(bǔ)短。其中，生活化例題是以學(xué)生實(shí)際生活中的問題作為教學(xué)內(nèi)容，通過直觀生動的形式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。而數(shù)形結(jié)合思想是一種系統(tǒng)性和分層次的學(xué)習(xí)方法，將知識系統(tǒng)化，形成一種由易到難、由簡單到復(fù)雜的遞進(jìn)式知識框架，從而幫助學(xué)生理清知識點(diǎn)之間的邏輯結(jié)構(gòu)和關(guān)聯(lián)，提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)質(zhì)量。將二者結(jié)合起來，能夠很好地發(fā)揮它們的優(yōu)勢。在教學(xué)中，教師可以根據(jù)具體的知識體系，將知識點(diǎn)以數(shù)形結(jié)構(gòu)進(jìn)行組織，并在每個節(jié)點(diǎn)設(shè)置相應(yīng)的生活化例題，讓學(xué)生在求解這些實(shí)際問題的過程中，逐步加深對知識點(diǎn)的理解，更好地理清知識點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系，形成系統(tǒng)的知識框架。

由此可見，生活化例題和數(shù)形結(jié)合思想是相互補(bǔ)充、相互促進(jìn)的，它們的結(jié)合可以更好地發(fā)揮其在教學(xué)中的作用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量。以生活化例題為教學(xué)載體的演練，可以幫助學(xué)生更深入地掌握二次函數(shù)的概念、圖像和基本性質(zhì)，提高學(xué)習(xí)自覺性，形成自主學(xué)習(xí)和探究能力。

例如，在《二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教學(xué)中，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，教師可以通過生活化例題演練來達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。首先，教師要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，結(jié)合生活中的實(shí)例，讓學(xué)生了解二次函數(shù)的性質(zhì)和基本圖像，進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。其次，在演練中，教師要讓學(xué)生在課堂上動手做題，如分組學(xué)習(xí)。通過多次演練，學(xué)生能夠理解題目中的難點(diǎn)和解題思路。再次，教師可以列舉一些簡單的生活例題，并給予學(xué)生轉(zhuǎn)化時間，使學(xué)生熟練地掌握和運(yùn)用二次函數(shù)知識，理解其在生活中的實(shí)際應(yīng)用。最后，在生活化例題演練中，教師要逐步加深難度，讓學(xué)生逐步進(jìn)入“合作－展示－競賽”模式，引導(dǎo)學(xué)生建立良好的自主學(xué)習(xí)和探究習(xí)慣。除此之外，在提高學(xué)生對二次函數(shù)圖像的理解和繪圖能力時，教師可以給學(xué)生提供一個圖形界面，讓學(xué)生根據(jù)所給條件來設(shè)計(jì)二次函數(shù)圖像，這樣學(xué)生可以很好地掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，深入分析圖像內(nèi)容，按照圖像內(nèi)容處理問題。

（四）信息化教學(xué)引入數(shù)形結(jié)合思想

在教學(xué)中，教師可以使用信息化技術(shù)如幻燈片、動畫、視頻等多媒體手段，將抽象的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行可視化展示，使學(xué)生更好地理解這些概念。將數(shù)學(xué)概念按照其內(nèi)部結(jié)構(gòu)和邏輯關(guān)系進(jìn)行分解，并形成數(shù)形結(jié)構(gòu)，可以更好地梳理知識點(diǎn)之間的關(guān)系，有利于理清學(xué)生的思路和思維方向。需要注意的是，數(shù)形結(jié)合思想要求教學(xué)以遞進(jìn)式的方式進(jìn)行，從而在教學(xué)過程中不斷深化學(xué)生的理解，有序地展開知識教學(xué)。

例如，在《弧長和扇形面積》教學(xué)中，借助信息化技術(shù)能夠很好地展現(xiàn)抽象的知識，而數(shù)形結(jié)合思想則是一種有利于梳理知識結(jié)構(gòu)、加深理解的方法。首先，教師使用信息化手段，將弧長和扇形面積的概念進(jìn)行可視化展示，有利于學(xué)生理解和記憶，使抽象的概念具象化，學(xué)生更容易接受和應(yīng)用到實(shí)際問題解決中。其次，將弧長和扇形面積的概念按照其內(nèi)部結(jié)構(gòu)和邏輯關(guān)系進(jìn)行分解，并形成數(shù)形結(jié)構(gòu)。在教學(xué)中，有步驟地展開知識教學(xué)，幫助學(xué)生逐步加深對知識點(diǎn)的理解，形成更系統(tǒng)的知識框架。最后，教師可以使用一些例題來幫助學(xué)生鞏固弧長和扇形面積概念的相關(guān)知識，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)例題內(nèi)容畫出“扇形”，然后進(jìn)行扇形面積計(jì)算，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更有組織、有系統(tǒng)。例題的難度可以逐步加深，在鞏固知識點(diǎn)的同時，幫助學(xué)生提高解題能力和思維能力。由此可見，借助信息化技術(shù)展現(xiàn)抽象性的知識，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)，對完成《弧長和扇形面積》的教學(xué)任務(wù)能夠取得很好的效果。

（五）啟發(fā)式教學(xué)引入數(shù)形結(jié)合思想

啟發(fā)性問題是指那些明確問題背景、鼓勵學(xué)生發(fā)散思維、注重學(xué)生獨(dú)立思考和探究的問題。在初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中提出一些有啟發(fā)性的問題，不僅能夠調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，而且能夠幫助學(xué)生形成自主學(xué)習(xí)習(xí)慣。數(shù)形結(jié)合思維是一種思維清晰、組織有序的思考方式。在教學(xué)中，教師借助數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助學(xué)生將復(fù)雜的問題逐層拆解，理清各個部分之間的關(guān)系，這不僅有利于學(xué)生更深入地掌握知識，還有助于提升學(xué)生的思維水平和解決問題的能力。教師提出啟發(fā)性的問題能夠幫助學(xué)生激發(fā)思維和創(chuàng)造力，促進(jìn)學(xué)生主動思考問題。將啟發(fā)性問題與數(shù)形結(jié)合思維引入教學(xué)中，可以使學(xué)生養(yǎng)成良好的分析問題意識。

例如，在《弧長和扇形面積》教學(xué)中，教師提出啟發(fā)性問題，引入數(shù)形結(jié)合思想，能夠幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識，養(yǎng)成良好的分析問題的意識。首先，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生自主思考問題，提出問題之后要鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，提供一些啟發(fā)性的提示，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，提高其自主探究問題的能力。其次，布置啟發(fā)性問題時，教師可以指導(dǎo)學(xué)生畫圖，通過圖形分解、解構(gòu)問題逐步理清思路和邏輯關(guān)系，這有助于促進(jìn)學(xué)生深入思考，提高學(xué)生分析問題的能力。最后，在引導(dǎo)學(xué)生探究問題的過程中，教師要鼓勵學(xué)生針對問題提出想法，有助于鍛煉學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生更深刻地理解知識點(diǎn)，從而更好地應(yīng)用和總結(jié)所學(xué)知識。

四、數(shù)形結(jié)合思想背景下初中數(shù)學(xué)教學(xué)啟示

（一）強(qiáng)調(diào)知識的結(jié)構(gòu)化

學(xué)科知識的結(jié)構(gòu)性是指學(xué)科知識由基礎(chǔ)概念、定義、定理和性質(zhì)等組成有機(jī)整體。初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以此為核心，將重點(diǎn)知識、概念、定理、公式等放在課程結(jié)構(gòu)的核心位置，通過數(shù)形結(jié)構(gòu)展開教學(xué)，減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)。教師可以制作知識點(diǎn)的數(shù)形結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生一目了然知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而更好地掌握知識。

（二）強(qiáng)調(diào)適度拓展

對一些優(yōu)秀的學(xué)生，教師可以在教學(xué)中適當(dāng)添加一些有挑戰(zhàn)性的內(nèi)容，讓學(xué)生有“超前學(xué)習(xí)”的切身體驗(yàn)。例如，教師可以提出一些深入拓展的問題，通過數(shù)形結(jié)合思維引導(dǎo)學(xué)生形成拆解、思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

（三）輔助學(xué)生歸納總結(jié)

知識點(diǎn)的歸納總結(jié)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，有助于學(xué)生形成獨(dú)立思考和總結(jié)知識的良好習(xí)慣。在教學(xué)中，教師應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力，利用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)中逐步理清知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

五、結(jié)語

總而言之，初中數(shù)學(xué)課程與數(shù)形結(jié)合思想密不可分，二者相輔相成、相互促進(jìn)。教師結(jié)合課程改革需求以及學(xué)生個性化發(fā)展需求，利用科學(xué)合理的方式開展教學(xué)改革，選擇恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)滲透數(shù)形結(jié)合思想，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。