考慮各向異性空間變異性的邊坡可靠度分析

摘要：在邊坡可靠度分析中，通常采用橫觀各向異性或各向同性隨機(jī)場(chǎng)來(lái)刻畫(huà)土體參數(shù)的空間變異特性，而忽略了土體參數(shù)的各向異性空間變異性，從而可能會(huì)得出錯(cuò)誤的可靠度評(píng)價(jià)結(jié)果。為此，建立考慮各向異性空間變異性的邊坡可靠度隨機(jī)有限差分方法（RFDM）計(jì)算框架，并以一般各向異性空間變異性邊坡為參考邊坡，從波動(dòng)范圍方向結(jié)構(gòu)、互相關(guān)系數(shù)、變異系數(shù)和波動(dòng)范圍等方面系統(tǒng)地探討各向異性空間變異性對(duì)邊坡可靠度的影響。結(jié)果表明：基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的各向異性隨機(jī)場(chǎng)模擬方法可以有效地刻畫(huà)土體參數(shù)各向異性空間變異性；應(yīng)變聚類(lèi)邊坡臨界滑面搜索算法適用于復(fù)雜臨界滑面的精確搜索；相比一般各向異性空間變異性，旋轉(zhuǎn)各向異性空間變異性會(huì)高估邊坡失效概率，橫觀各向異性空間變異性會(huì)嚴(yán)重低估邊坡失效概率，而各向同性空間變異性會(huì)在較大和較小的波動(dòng)范圍內(nèi)分別高估和低估邊坡失效概率。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)有限差分；邊坡可靠度；蒙特卡洛模擬；各向異性空間變異性；臨界滑面

中圖分類(lèi)號(hào)：P642.22" " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " "文章編號(hào)：2096-6717（2024）04-0060-15

Analysis on slope reliability considering anisotropic spatial variability of soil parameters

MING Sichenga， ZHANG Wenganga，b，c， HE Yuweia， CHEN Longlonga，

QIN Changbinga

（a. School of Civil Engineering， Chongqing University； b. Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area， Ministry of Education； c. National Joint Engineering Research Center of Geohazards Prevention in the Reservoir Areas， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China）

Abstract： In current slope reliability analysis， the failure probability might be wrongly calculated because of the inadequate consideration of anisotropic spatial variability of soil parameters. Therefore， a random finite difference method （RFDM） framework considering anisotropic spatial variability is established. Taking the general anisotropic spatial variability slope as a reference slope， the influence of anisotropic spatial variability on slope reliability is systematically studied from the aspects of fluctuation range direction structure， cross-correlation coefficient， variation coefficient and fluctuation range. The results show that the coordinate-transformation-based anisotropic random field simulation method can effectively characterize anisotropic spatial variability of soil parameters. Strain-clustering-based slope critical slip surface searching algorithm can accurately determine the complex critical sliding surface of slope. Compared with the general anisotropic spatial variability， the slope failure probability is overestimated and greatly underestimated when considering rotational anisotropy and transverse anisotropy， respectively. In addition， considering isotropic random fields can overestimate and underestimate the slope failure probability in case of greater and smaller scale of fluctuation， respectively.

Keywords： random finite difference method； slope reliability； Monte Carlo simulation； anisotropic spatial variability； critical slip surface

由于受到沉積、物理化學(xué)風(fēng)化、礦物組成、構(gòu)造運(yùn)動(dòng)、侵蝕作用和搬運(yùn)作用等影響，即使看似均質(zhì)的土體，其屬性參數(shù)也在空間上表現(xiàn)出一定的變異性和成層特征[1-3]。Lumb[4-5]通過(guò)大量試驗(yàn)研究逐漸認(rèn)識(shí)到不同空間位置處的土體參數(shù)值存在相關(guān)性和變異性，并提出了土體參數(shù)空間變異性這一概念。Vanmarcke[6]引入隨機(jī)場(chǎng)模型將土體參數(shù)描述為服從某種分布的隨機(jī)變量，用均值、變異系數(shù)來(lái)描述其在數(shù)值上的變異性，而用自相關(guān)函數(shù)中的波動(dòng)范圍來(lái)衡量任意兩點(diǎn)處參數(shù)值間的空間相關(guān)性程度。在波動(dòng)范圍內(nèi)不同位置處的土體參數(shù)值具有較強(qiáng)相關(guān)性，超出這個(gè)范圍則認(rèn)為不相關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，波動(dòng)范圍越大，土體越趨于均質(zhì)狀態(tài)，其參數(shù)空間變異性程度越低，反之則越高[7]。

忽視邊坡土體參數(shù)空間變異性會(huì)帶來(lái)意料不到的災(zāi)難性后果。例如，在舊金山港的一個(gè)碼頭建設(shè)過(guò)程中，一個(gè)在穩(wěn)定性評(píng)估中被評(píng)估為“安全”的水下“均質(zhì)”邊坡發(fā)生了失穩(wěn)[8]。鑒于此，許多學(xué)者開(kāi)展了考慮空間變異性的邊坡可靠度分析研究。Zhou等[9-10]采用各向同性隨機(jī)場(chǎng)模擬給定滑面上的土體抗剪強(qiáng)參數(shù)空間變異性，推導(dǎo)了單層土坡發(fā)生坡腳和深層圓弧滑動(dòng)概率的一維極限平衡法解析解。類(lèi)似地，Gravanis等[11]推導(dǎo)了一維平面滑動(dòng)下的空間變異性邊坡失效概率積分解析解。這些研究只描述了單一固定滑面上的抗剪強(qiáng)度參數(shù)空間變異性，把相應(yīng)的參數(shù)空間變異結(jié)構(gòu)考慮為各向同性結(jié)構(gòu)，進(jìn)而忽略了其各向異性結(jié)構(gòu)的本質(zhì)。雖然簡(jiǎn)化了邊坡可靠度分析，但是適用范圍窄，也未能真正反映各向異性空間變異性對(duì)邊坡可靠度的影響。為此，學(xué)者們從許多方面進(jìn)行了考慮各向異性空間變異性邊坡可靠度的分析研究。Luo等[12]分析了不排水抗剪強(qiáng)度的垂直空間變異性對(duì)基坑邊坡開(kāi)挖過(guò)程中穩(wěn)定性的影響，認(rèn)為垂直波動(dòng)范圍越大，邊坡失效概率越大。Cami等[13]采用隨機(jī)極限平衡法對(duì)Sugar Creek土堤進(jìn)行了非圓弧滑動(dòng)下的空間變異性邊坡可靠度分析，發(fā)現(xiàn)合理細(xì)化隨機(jī)場(chǎng)網(wǎng)格、增加條塊數(shù)目和模擬次數(shù)能提高邊坡可靠度評(píng)價(jià)的準(zhǔn)確性。Wang[14-15]研究發(fā)現(xiàn)，忽視土體水力滲流參數(shù)空間變異性將明顯低估土壩滲流穩(wěn)定性和高估失效風(fēng)險(xiǎn)。蔣水華等[16]考慮了在巖土體參數(shù)橫觀各向異性下不同自相關(guān)函數(shù)對(duì)邊坡可靠度的影響，發(fā)現(xiàn)高斯型自相關(guān)函數(shù)最為高估失效概率。陳朝暉等[17]對(duì)比不同方法對(duì)空間變異性邊坡可靠度的影響發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)極限分析方法所得結(jié)果與隨機(jī)有限元方法很接近。朱彬[18]則將空間變異性邊坡的研究視野從陸地?cái)U(kuò)展至海洋，建立了海床沉積物強(qiáng)度參數(shù)非平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)模型并應(yīng)用于海底斜坡可靠度分析。但是，由于未建立坐標(biāo)系幾何轉(zhuǎn)換關(guān)系，這些研究只能局限于橫觀各向異性隨機(jī)場(chǎng)。實(shí)際工程中，土體物理、力學(xué)參數(shù)空間變異性往往表現(xiàn)出傾斜層狀的旋轉(zhuǎn)各向異性或一般各向異性特征[19-20]。Liu等[21]指出，最大和最小波動(dòng)范圍的方向并不總是對(duì)應(yīng)于水平和豎向；Liu等[22]也發(fā)現(xiàn)，最大波動(dòng)范圍方向也可以是斜向的。由上述研究可知，還需進(jìn)一步研究各向異性空間變異性對(duì)邊坡可靠度的影響。

筆者將隨機(jī)場(chǎng)理論與邊坡穩(wěn)定有限差分方法相結(jié)合，利用批處理調(diào)用方式，建立適用于各類(lèi)各向異性空間變異邊坡可靠度分析的通用隨機(jī)有限差分計(jì)算框架。在該計(jì)算框架內(nèi)，提出基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的各向異性隨機(jī)場(chǎng)模擬方法和應(yīng)變聚類(lèi)邊坡臨界滑面搜索算法，開(kāi)發(fā)以通用有限差分商業(yè)軟件三維連續(xù)介質(zhì)快速拉格朗日方法FLAC3D與各向異性空間變異性邊坡穩(wěn)定概率分析模塊的接口程序，系統(tǒng)研究了所提方法在多參數(shù)各向異性空間變異性邊坡可靠度分析中的應(yīng)用。

1 各向異性空間變異性刻畫(huà)

1.1 各向異性空間變異性類(lèi)型

在現(xiàn)實(shí)情況中，土體參數(shù)在不同空間方向上的空間變異性程度不一致，即空間變異性的各向異性特征。圖1展示了6種典型的二維空間變異性類(lèi)型，兩條白線代表自相關(guān)結(jié)構(gòu)中的波動(dòng)范圍（Scale of Fluctuation，SOF，記為δ）主軸，較長(zhǎng)的為最大波動(dòng)范圍δ_max，較短的為最小波動(dòng)范圍δ_min。在各向同性類(lèi)型中，最大波動(dòng)范圍和最小波動(dòng)范圍相等，表明巖土體參數(shù)在每個(gè)方向上的空間變異性程度相同。橫觀各向異性中，水平向的波動(dòng)范圍最大而垂直向的最小，表明垂直方向上的巖土體參數(shù)值要比水平向表現(xiàn)出更大的空間變異性。旋轉(zhuǎn)各向異性則是將波動(dòng)范圍主軸δ_max和δ_min保持正交而整體逆時(shí)針地賦予一個(gè)旋轉(zhuǎn)角α，此時(shí)，最大和最小的空間變異性程度相應(yīng)表現(xiàn)在兩個(gè)互為正交的傾斜方向上。一般各向異性中，一個(gè)波動(dòng)范圍主軸被固定在水平向上而另一個(gè)波動(dòng)范圍主軸則與其成一交錯(cuò)角β。一般旋轉(zhuǎn)各向異性是在一般各向異性的基礎(chǔ)上，波動(dòng)范圍主軸δ_max和δ_min整體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了α角度，此時(shí)最大和最小的空間變異性程度都位于傾斜方向上。圖1（f）展示了含有兩種各向異性的組合型各向異性。相較于各向同性而言，巖土體參數(shù)空間變異性的各向異性特征更常見(jiàn)于各類(lèi)巖土工程中[20， 22-23]。

1.2 基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的各向異性隨機(jī)場(chǎng)模擬方法

在平穩(wěn)或準(zhǔn)平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)理論中，自相關(guān)函數(shù)常用來(lái)量化空間中任意兩點(diǎn)處的土體參數(shù)間的自相關(guān)性。實(shí)際工程中常采用理論自相關(guān)函數(shù)來(lái)計(jì)算自相關(guān)系數(shù)。然而，目前的理論自相關(guān)函數(shù)只能描述在笛卡兒直角坐標(biāo)系下的土體參數(shù)空間自相關(guān)性，且只適用于各向同性和橫觀各向異性類(lèi)型，而無(wú)法描述斜坐標(biāo)系下其他各向異性類(lèi)型的土體參數(shù)空間自相關(guān)性。

為了將理論自相關(guān)函數(shù)應(yīng)用到更多各向異性類(lèi)型中，引入笛卡兒直角坐標(biāo)系和斜坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。如圖2所示，將點(diǎn)P的直角坐標(biāo)（x，┤ ├ y）以平行投影的方式分別分解到斜坐標(biāo)系主軸X^'和Y^'上，其在斜坐標(biāo)系主軸上的截距就是點(diǎn)P的斜坐標(biāo)（x^'，┤ ├ y^' ）。θ是直線OP的方向角，也是任意方向上的波動(dòng)范圍方向角。各向異性類(lèi)型下的直角坐標(biāo)和斜坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的統(tǒng)一表達(dá)式為

將式（1）中斜坐標(biāo)代替理論相關(guān)函數(shù)中的直角坐標(biāo)，則可確定相應(yīng)的各向異性自相關(guān)函數(shù)。

表1列出了經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后常用的指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)及其變體（平方根指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)）在各向同性和各向異性下的表達(dá)式ρ（d_x ┤，├ d_y ），d_x和d_y分別是空間任意兩點(diǎn)在笛卡兒直角坐標(biāo)系下的水平和垂直方向上的相對(duì)距離?？梢钥闯觯?jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，各向異性自相關(guān)函數(shù)可以直接計(jì)算任意兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)在斜坐標(biāo)系中的自相關(guān)系數(shù)，從而刻畫(huà)了斜坐標(biāo)系下土體參數(shù)的空間自相關(guān)性。

圖3對(duì)比了采用指數(shù)型和平方根指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)的波動(dòng)范圍δ_θ隨方向角θ變化的包絡(luò)線。從圖3可以看出，當(dāng)自相關(guān)函數(shù)采用平方根指數(shù)型時(shí)，波動(dòng)范圍包絡(luò)曲線光滑，表明采用平方根指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)計(jì)算得出的波動(dòng)范圍的變化準(zhǔn)確。因此，采用平方根指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)。

在隨機(jī)場(chǎng)離散方法中，由于喬列斯基分解技術(shù)實(shí)現(xiàn)過(guò)程簡(jiǎn)單且不受具體隨機(jī)場(chǎng)空間形態(tài)的限制[14]，因此被廣泛應(yīng)用于巖土體參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)模擬。只需將建立的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系嵌入喬列斯基分解技術(shù)即可實(shí)現(xiàn)各向異性隨機(jī)場(chǎng)的離散?；谧鴺?biāo)轉(zhuǎn)換的喬列斯基分解技術(shù)模擬相關(guān)非高斯各向異性隨機(jī)場(chǎng)的流程如下。

式中：μ_（ln R）和σ_（ln R）為高斯參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)ln c、ln φ的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

至此，完成了相關(guān)對(duì)數(shù)正態(tài)各向異性參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)。以上步驟重復(fù)N次，可以得到N個(gè)各向異性隨機(jī)場(chǎng)樣本。

利用上述方法，得到旋轉(zhuǎn)各向異性、一般各向異性和一般旋轉(zhuǎn)各向異性參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)。隨機(jī)場(chǎng)模擬的結(jié)果如圖4所示。

為了驗(yàn)證基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的喬列斯基分解技術(shù)，需對(duì)模擬的隨機(jī)場(chǎng)樣本（圖4）進(jìn)行精度分析。由于給定兩點(diǎn)處的參數(shù)值之間的自相關(guān)系數(shù)理論值本質(zhì)上由波動(dòng)范圍決定，因此，可以通過(guò)對(duì)比其理論值和模擬值來(lái)分析隨機(jī)場(chǎng)的精度。此外，引入波動(dòng)范圍還可以實(shí)現(xiàn)隨機(jī)場(chǎng)任意方向角θ上的精度分析。圖5比較了某黏聚力波動(dòng)范圍δ_θ的模擬包絡(luò)線（基于1 000次隨機(jī)場(chǎng)實(shí)現(xiàn)）和理論包絡(luò)線。圖中包絡(luò)線十分吻合，表明基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的喬列斯基分解技術(shù)適用于非橫觀各向異性參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)的模擬，并且可以較高精度地離散隨機(jī)場(chǎng)。

2 邊坡可靠度分析隨機(jī)有限差分計(jì)算框架

2.1 隨機(jī)有限差分法

隨機(jī)有限差分方法（Random Finite Difference Method，RFDM）是對(duì)生成的N個(gè)邊坡隨機(jī)場(chǎng)樣本進(jìn)行蒙特卡洛模擬（Monte Carlo Simulation，MCS），即進(jìn)行N次邊坡穩(wěn)定確定性分析，并得到N個(gè)邊坡安全系數(shù)Fs值。如要更為準(zhǔn)確地估計(jì)邊坡失效概率，需執(zhí)行大量的邊坡穩(wěn)定有限差分確定性分析，這無(wú)疑會(huì)大大加重計(jì)算負(fù)擔(dān)和降低計(jì)算效率。鑒于此，采取類(lèi)似文獻(xiàn)[25-26]的做法，通過(guò)觀測(cè)隨機(jī)分析統(tǒng)計(jì)量（如安全系數(shù)均值μ_Fs和標(biāo)準(zhǔn)差σ_Fs）的收斂情況來(lái)確定隨機(jī)有限差分中的確定性分析次數(shù)。如圖6所示，安全系數(shù)的均值μ_Fs和標(biāo)準(zhǔn)差σ_Fs會(huì)隨蒙特卡洛模擬次數(shù)N的增加而趨于穩(wěn)定，一般最多執(zhí)行1 000次有限差分確定性分析就可以獲得穩(wěn)定的邊坡安全系數(shù)Fs分布。根據(jù)文獻(xiàn)[7，27]，邊坡安全系數(shù)一般服從正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)的概率分布，故對(duì)邊坡安全系數(shù)進(jìn)行正態(tài)和對(duì)數(shù)正態(tài)分布類(lèi)型的K-S檢驗(yàn)。之后，將μ_Fs、σ_Fs代入最可能分布類(lèi)型的累積分布函數(shù)（Cumulative Distribtuion Function，CDF）來(lái)構(gòu)建相應(yīng)具體的累積分布函數(shù)表達(dá)式，從而求出Fslt;1區(qū)域的累積分布P_（F_Slt;1），即邊坡失效概率P_f，計(jì)算式為

2.2 應(yīng)變聚類(lèi)邊坡臨界滑面搜索算法

對(duì)于基于數(shù)值模擬的邊坡臨界滑面的搜索，目前存在單元表征和滑面位置刻畫(huà)這兩類(lèi)方式。單元表征是基于塑性剪切帶來(lái)刻畫(huà)滑面的大致范圍[28-30]，而滑面位置刻畫(huà)則可以基于應(yīng)變信息精確識(shí)別邊坡臨界滑面[31]，故常用于邊坡臨界滑面搜索中[32-34]。但是，這類(lèi)傳統(tǒng)方法無(wú)法搜索多重臨界滑面。因此，引入應(yīng)變聚類(lèi)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。

應(yīng)變聚類(lèi)是對(duì)土體應(yīng)變信息進(jìn)行聚類(lèi)分析，將附帶應(yīng)變信息的離散土體單元“聚”成剪切帶和非剪切帶兩類(lèi)區(qū)域。聚類(lèi)分析是一種無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)過(guò)程，可以自動(dòng)確定和標(biāo)記數(shù)據(jù)類(lèi)別。由于K均值聚類(lèi)算法具有模型穩(wěn)健、迭代速度快、適用于大樣本量集合等特點(diǎn)，選用該算法執(zhí)行聚類(lèi)分析。圖7展示了采用K均值聚類(lèi)算法對(duì)二維空間中若干點(diǎn)的坐標(biāo)屬性聚為兩類(lèi)的分析結(jié)果。

將聚類(lèi)分析與傳統(tǒng)應(yīng)變信息滑面搜索算法結(jié)合構(gòu)成應(yīng)變聚類(lèi)邊坡臨界滑面搜索算法，算法流程如下：

1）根據(jù)有限差分強(qiáng)度折減法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，獲取邊坡臨界狀態(tài)下土體單元剪切應(yīng)變?cè)隽康目臻g分布，并對(duì)附帶該信息的土體單元編號(hào)。

2）聚類(lèi)數(shù)目設(shè)定為2，采用K均值聚類(lèi)分析算法，對(duì)附著在單元上的剪切應(yīng)變?cè)隽窟M(jìn)行聚類(lèi)分析。聚類(lèi)結(jié)果通過(guò)單元編號(hào)一一映射到空間中相應(yīng)的土體單元，則自然地將附帶應(yīng)變信息的土體單元?jiǎng)澐殖闪思羟袔卧头羌羟袔卧?。通過(guò)統(tǒng)計(jì)比較，確定土體單元數(shù)目較少的聚類(lèi)區(qū)域?yàn)檫吰录羟袔?。值得注意的是，由于聚?lèi)分析具備自動(dòng)對(duì)特征量進(jìn)行分類(lèi)的功能，因此，可以識(shí)別出多條可歸屬于剪切單元聚類(lèi)的滑帶。這一優(yōu)點(diǎn)是傳統(tǒng)應(yīng)變信息滑面搜索算法所不具備的。

3）構(gòu)建若干條穿越剪切帶的虛擬垂線，將剪切帶內(nèi)部附帶最大剪切應(yīng)變?cè)隽康耐馏w單元選擇為剪切帶在該虛擬垂線上的臨界單元（圖8（a））。

4）將一個(gè)剪切帶內(nèi)部所有臨界單元的中心點(diǎn)坐標(biāo)連接起來(lái)，形成一條非圓弧的臨界滑面（圖8（a））。

5）如果邊坡存在多條剪切帶（圖8（b）），則依次重復(fù)步驟3）和4）直到每一條剪切帶內(nèi)部所有臨界單元的中心點(diǎn)坐標(biāo)都連接完畢并形成相應(yīng)的非圓弧臨界滑面。考慮到邊坡巖土體物理、力學(xué)性質(zhì)普遍存在空間變異性，故邊坡臨界滑面本質(zhì)上具有復(fù)雜形態(tài)的折線?；嫠阉魉惴ㄎ磳?duì)滑面進(jìn)行圓弧化擬合，保留了邊坡滑面最真實(shí)的形態(tài)。這也為日后空間變異性邊坡的加固和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了最為可靠、真實(shí)的滑面資料。

從圖9可知，應(yīng)變聚類(lèi)邊坡臨界滑面搜索算法可以很好地完成簡(jiǎn)單和復(fù)雜形態(tài)滑面的搜索任務(wù)，由此確定的臨界滑面位置與剪切帶中附有最大應(yīng)變信息的塑性單元位置吻合度高。

2.3 計(jì)算框架流程

圖10為各向異性空間變異性邊坡可靠度分析隨機(jī)有限差分方法的計(jì)算流程，其中有限差分分析模塊的批處理計(jì)算流程如圖11所示。

3 邊坡模型

采用文獻(xiàn)[35]中的摩擦/黏性邊坡算例驗(yàn)證所提方法。如圖12所示，邊坡坡高10 m、長(zhǎng)30 m、底厚5 m，被離散成3 780個(gè)8節(jié)點(diǎn)立方體單元和60個(gè)6節(jié)點(diǎn)楔形體單元，單元邊長(zhǎng)為0.25 m。采用對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)場(chǎng)來(lái)刻畫(huà)土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)（黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ）的空間變異性。由于側(cè)重于研究抗剪強(qiáng)度參數(shù)空間變異性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，因此，其他如重度、泊松比和彈性模量等小變異性參數(shù)[36]均視為常量。邊坡土體的確定性參數(shù)及隨機(jī)場(chǎng)參數(shù)[35]見(jiàn)表2。

基于FLAC3D有限差分強(qiáng)度折減法計(jì)算邊坡安全系數(shù)為1.195，這與Cho[35]、Jiang等[37]和Li等[38]采用簡(jiǎn)化畢肖普法得出的1.204、1.206和1.208基本吻合，且誤差在Ducan[39]推薦的±6%以內(nèi)，說(shuō)明有限差分強(qiáng)度折減法可以獲得可靠的邊坡安全系數(shù)。

4 邊坡可靠度分析

以一般各向異性空間變異性為研究類(lèi)型，從波動(dòng)范圍方向結(jié)構(gòu)、互相關(guān)系數(shù)、變異系數(shù)和波動(dòng)范圍等方面系統(tǒng)地探討各向異性空間變異性對(duì)邊坡可靠度的影響。根據(jù)最大波動(dòng)范圍方向可將一般各向異性空間變異性的波動(dòng)范圍方向結(jié)構(gòu)分為水平向（θ_（δ_max）^GA=0°和θ_（δ_min）^GA=β）和非水平向（θ_（δ_max）^GA=β和θ_（δ_min）^GA=0°）。以水平結(jié)構(gòu)和非水平結(jié)構(gòu)提法分別代表這兩類(lèi)波動(dòng)范圍方向結(jié)構(gòu)，并簡(jiǎn)記為θ_（δ_min）^GA=β和θ_（δ_max）^GA=β。

4.1 波動(dòng)范圍方向結(jié)構(gòu)的影響

將一般各向異性空間變異性的波動(dòng)范圍方向結(jié)構(gòu)與各向同性、橫觀各向異性和旋轉(zhuǎn)各向異性的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對(duì)比分析。為便于對(duì)比，互相關(guān)系數(shù)ρ_（c，φ）暫時(shí)取0，其他參數(shù)如表2所列。

4.1.1 水平結(jié)構(gòu)

圖13展示了θ_（δ_min）^GA的變化對(duì)邊坡可靠度的影響，其中θ_（δ_min）^GA=90°也代表橫觀各向異性。由圖13可以看出，θ_（δ_min）^GA的變化顯著影響邊坡可靠度，P_f的最大值（8.56%，θ_（δ_min）^GA=90°）為最小值（1.25%，θ_（δ_min）^GA=15°）的7倍。其中，P_fmin略高于δ_max=δ_min=4 m下的失效概率（1%），而P_fmax大約只有δ_max=δ_min=40 m下失效概率（18%）的一半，說(shuō)明采用各向同性隨機(jī)場(chǎng)會(huì)在較大的波動(dòng)范圍內(nèi)高估邊坡的失效概率，而只適用于較小波動(dòng)范圍個(gè)別情況（如θ_（δ_min）^GA=15°）。因此，各向同性隨機(jī)場(chǎng)不適用于實(shí)際邊坡的可靠度分析。從圖中還能看出，水平結(jié)構(gòu)下P_f曲線以θ_（δ_min）^GA=90°為軸呈對(duì)稱分布形態(tài)，如P_（f60°）≈P_（f120°）（7.54%≈7.57%）。

圖14為不同θ_（δ_min）^GA下的邊坡安全系數(shù)概率密度函數(shù)（PDF）曲線?？梢钥闯觯?dāng)θ_（δ_min）^GA=15°～90°時(shí)PDF曲線趨向矮胖型，而θ_（δ_min）^GA=90°～165°時(shí)PDF趨向高瘦型。其中，曲線越緩表明在某次隨機(jī)場(chǎng)實(shí)現(xiàn)中沿深度方向上越多土體單元在強(qiáng)度上存在著強(qiáng)自相關(guān)性，即土體強(qiáng)度參數(shù)的變異性越低，進(jìn)而提高了低強(qiáng)度均質(zhì)區(qū)域的出現(xiàn)概率，意味著失效概率增加。此外，任一對(duì)稱工況（如θ_（δ_min）^GA=60°和120°）下安全系數(shù)的均值μ_Fs和標(biāo)準(zhǔn)差σ_Fs的分布都幾乎一致，這意味著對(duì)稱工況下土體強(qiáng)度參數(shù)的空間變異性程度基本一致，這才是失效概率對(duì)稱性出現(xiàn)的根本原因。

圖15為邊坡失穩(wěn)模式比例及相應(yīng)潛在滑移體積前二階統(tǒng)計(jì)矩隨θ_（δ_min）^GA變化的情況。如圖15（a）所示，中層失穩(wěn)模式為水平結(jié)構(gòu)下的邊坡主控失穩(wěn)模式。對(duì)于潛在滑移體積均值μ_V而言，其次序?yàn)樯顚觛t;中層gt;多滑面gt;淺層失穩(wěn)（圖15（b）），而標(biāo)準(zhǔn)差σ_V的次序?yàn)闇\層gt;多滑面gt;深層gt;中層失穩(wěn)（圖15（c））。

4.1.2 非水平結(jié)構(gòu)

圖16展示了θ_（δ_max）^GA的變化對(duì)邊坡可靠度的影響?？梢钥闯觯齻€(gè)別情況下（θ_（δ_max）^GA=15°和165°），各向同性隨機(jī)場(chǎng)在較大和較小的波動(dòng)范圍內(nèi)分別高估和低估了各向異性空間變異性邊坡失效概率P_f。當(dāng)考慮土層方向（θ_（δ_max）^GA≠0°）時(shí)，與一般各向異性空間變異性非水平結(jié)構(gòu)（P_f變化值為0.3%～18%）相比，旋轉(zhuǎn)各向異性空間變異性（P_f變化值為3.53%～19.8%）會(huì)高估邊坡失效概率1～31.1倍。這是因?yàn)樾D(zhuǎn)各向異性的波動(dòng)范圍始終正交而不考慮交錯(cuò)角β，因此其具有的空間變異性程度較非水平結(jié)構(gòu)（考慮交錯(cuò)角β，此時(shí)θ_（δ_max）^GA=β）要小，進(jìn)而導(dǎo)致失效概率增加。而在實(shí)際情況中，對(duì)于非水平層狀巖土體，波動(dòng)范圍是否像水平層狀巖土體中那樣也保持正交則無(wú)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和相應(yīng)研究驗(yàn)證。因此，對(duì)于非水平層狀邊坡的可靠度分析，有必要考慮一般各向異性空間變異性非水平結(jié)構(gòu)的影響。與旋轉(zhuǎn)各向異性空間變異性一樣，一般各向異性空間變異性非水平結(jié)構(gòu)在θ_（δ_max）^GA=150°（土層傾角30°，出露于坡面的外傾產(chǎn)狀）時(shí)對(duì)邊坡可靠度影響最大（P_（f150°）=0.18）。

圖17為不同θ_（δ_max）^GA下的邊坡安全系數(shù)概率密度函數(shù)（PDF）曲線。由圖17可以看出，當(dāng)θ_（δ_max）^GA=150°時(shí)，安全系數(shù)PDF曲線最為矮胖且Fslt;1的面積最大，相應(yīng)失效概率也最大（P_（f150°）=18.0%）。這可能是因?yàn)椋?）據(jù)文獻(xiàn)[18， 31]，土體參數(shù)的某一方向自相關(guān)性越強(qiáng)，在該方向范圍內(nèi)土體參數(shù)空間變異性程度越低進(jìn)而相應(yīng)的低強(qiáng)度均質(zhì)區(qū)域越多，而不同隨機(jī)場(chǎng)實(shí)現(xiàn)間的土體強(qiáng)度參數(shù)全局均值的變異性越大，進(jìn)而Fslt;1的樣本越多（即P_f增加），這間接表明當(dāng)θ_（δ_max）^GA=150°時(shí)邊坡土體強(qiáng)度參數(shù)的自相關(guān)性較高（即空間變異性程度較低）；2）θ_（δ_max）^GA=150°代表了土層外傾于坡面，這為滑體向坡外滑動(dòng)提供了十分有利的臨空面條件，因此邊坡更容易失穩(wěn)。前者是土體內(nèi)在的力學(xué)因素，后者是其外在的幾何因素，二者共同作用導(dǎo)致θ_（δ_max）^GA=150°時(shí)邊坡可靠度最低。

圖18為邊坡失穩(wěn)模式比例及相應(yīng)潛在滑移體積前二階統(tǒng)計(jì)矩隨θ_（δ_max）^GA變化的情況。注意，圖中無(wú)相應(yīng)線條代表該失穩(wěn)模式在某一θ_（δ_max）^GA值下的比例為0。中層失穩(wěn)模式為非水平結(jié)構(gòu)中的主控失穩(wěn)模式且其比例遠(yuǎn)高于其他模式（圖18（a））。除淺層失穩(wěn)，其他失穩(wěn)模式（隨機(jī)場(chǎng)樣本比例之和大于0.6）的μ_V和σ_V均在θ_（δ_max）^GA=150°取得最大值（圖18（a）、（b）），這也證明當(dāng)波動(dòng)范圍方向角為150°時(shí)邊坡失穩(wěn)的后果最嚴(yán)重。

4.2 互相關(guān)系數(shù)的影響

圖19為抗剪強(qiáng)度參數(shù)（黏聚力c和內(nèi)摩擦角φ）之間的相關(guān)性對(duì)邊坡可靠度的影響。其中，互相關(guān)系數(shù)ρ_（c，φ）范圍為[-0.7，0.5]，與文獻(xiàn)[26]一致?？梢钥闯觯啾葯M觀各向異性的P_f變化值（如蔣水華[40]采用的P_f=[4.9×〖10〗^（-3），0.12]），考慮一般各向異性非水平結(jié)構(gòu)的互相關(guān)系數(shù)ρ_（c，φ）會(huì)將邊坡失效概率放大2～3倍（P_f=[1.3×10-2，0.283]）。Fenton等[41]將這種變化解釋為：較強(qiáng)的負(fù)互相關(guān)性會(huì)降低土體的抗剪強(qiáng)度方差，進(jìn)而導(dǎo)致安全系數(shù)方差也降低而其均值基本不變，故出現(xiàn)低水平失效概率P_f。

圖20為不同ρ_（c，φ）的概率密度函數(shù)PDF曲線。隨著ρ_（c，φ）不斷增大，PDF曲線越為矮胖，即Fs均值μ_Fs不斷降低而標(biāo)準(zhǔn)差σ_Fs持續(xù)增加，導(dǎo)致Fslt;1的面積也不斷擴(kuò)大，相應(yīng)的失效概率P_f持續(xù)增加。

圖21為一般各向異性非水平結(jié)構(gòu)中邊坡失穩(wěn)模式比例及相應(yīng)潛在滑移體積前二階統(tǒng)計(jì)矩隨ρ_（c，φ）變化的情況。由圖21可以看出，ρ_（c，φ）對(duì)邊坡失穩(wěn)模式比例及次序影響很小，中層失穩(wěn)仍為主控破壞模式且其比例要遠(yuǎn)高于其他失穩(wěn)模式（圖21（a））。值得注意的是，深層失穩(wěn)的μ_V在任一互相關(guān)性水平下都大于80 m3/m；這意味著邊坡中一旦發(fā)生深層滑動(dòng)，巨大的滑體及影響范圍將是普遍性的存在（圖21（b））。

4.3 波動(dòng)范圍的影響

圖22為波動(dòng)范圍變化（δ_max=[10 m， 60 m]、δ_min=[1 m， 6 m]）對(duì)邊坡可靠度的影響?？梢钥闯?，失效概率P_f隨δ_max變化的規(guī)律與蔣水華[40]考慮橫觀各向異性空間變異性的P_f變化規(guī)律基本一致。但實(shí)際情況下土層參數(shù)空間變異性可能表現(xiàn)為非水平層狀，因此，橫觀各向異性的邊坡失效概率P_f可能會(huì)被低估為本文結(jié)果的1/4～1/2。圖22（b）中，P_f從δ_min=1 m時(shí)的1.6×10-2顯著增加至δ_min=6 m時(shí)的7.2×10-2，這是橫觀各向異性下P_f變化值的2～50倍。此外，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于δ_max對(duì)邊坡可靠度的影響（圖22（a）），這與文獻(xiàn)[37， 42-43]的結(jié)論一致。

圖23為不同δ_max和δ_min的概率密度函數(shù)PDF曲線。圖23（a）中，隨著最大波動(dòng)范圍增加，均值幾乎不變而標(biāo)準(zhǔn)差小幅增長(zhǎng)。這是因?yàn)樵摲较蛏系耐馏w參數(shù)自相關(guān)性隨著δ_max增加只略微加強(qiáng)，從而不同隨機(jī)場(chǎng)間的土體參數(shù)全局均值的變異性小幅增加，相應(yīng)安全系數(shù)Fs的方差也小幅擴(kuò)大，故高估δ_max只會(huì)略微高估失效概率P_f。圖23（b）中，隨著δ_min增加，相應(yīng)PDF曲線更為矮胖。這是因?yàn)榇藭r(shí)最小波動(dòng)范圍方向上的土體參數(shù)自相關(guān)性顯著加強(qiáng)。這會(huì)顯著降低空間變異性程度，從而導(dǎo)致邊坡更容易失穩(wěn)。此外，不同隨機(jī)場(chǎng)間的土體參數(shù)均值的變異性會(huì)顯著增加，故高估δ_min將明顯高估失效概率P_f。

4.4 變異系數(shù)的影響

圖24為抗剪強(qiáng)度參數(shù)的變異系數(shù)變化對(duì)邊坡可靠度的影響，根據(jù)文獻(xiàn)[40]，黏聚力變異系數(shù)COVc取[0.2， 0.7]，內(nèi)摩擦角變異系數(shù)COVφ取[0.05， 0.2]。如圖24（a）所示，在COVc的變化范圍內(nèi)，一般各向異性非水平結(jié)構(gòu)的P_f是橫觀各向異性P_f變化值的2.5～3.2倍。這表明，相比于橫觀各向異性，在一般各向異性非水平結(jié)構(gòu)中，COVc對(duì)邊坡可靠度的影響更為顯著。如圖24（b）所示，當(dāng)COVφ =0.05時(shí)，一般各向異性非水平結(jié)構(gòu)下的P_f（8.3×１0^（-3））竟是橫觀各向異性下的P_f（1.29×〖10〗^（-5））的643倍。這說(shuō)明在低內(nèi)摩擦角變異系數(shù)下，選擇合適的土體參數(shù)空間變異性類(lèi)型有助于避免出現(xiàn)極端失真的邊坡可靠度分析結(jié)果。

圖25繪制了不同COVc和COVφ的概率密度函數(shù)PDF曲線。如圖25（a）所示，隨著COVc增大，相應(yīng)的PDF曲線越為矮胖并往左偏移，失效概率P_f明顯增大。這是因?yàn)?，COVc越大而COVφ保持不變，則土體的總抗剪強(qiáng)度方差也越大，相應(yīng)的安全系數(shù)方差越大而均值越小。如圖25（b）所示，隨著COVφ增大，均值μ_Fs略微減小且標(biāo)準(zhǔn)差σ_Fs增大，其根本原因與COVc變化的原因一致。

5 結(jié)論

建立了各向異性空間變異性的邊坡可靠度分析隨機(jī)有限差分計(jì)算框架，將笛卡兒坐標(biāo)系與斜坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系有機(jī)地嵌入喬列斯基分解技術(shù)中來(lái)模擬和生成各向異性隨機(jī)場(chǎng)。提出一種新的滑面刻畫(huà)方法，即應(yīng)變聚類(lèi)邊坡臨界滑面搜索算法。利用隨機(jī)有限差分計(jì)算框架進(jìn)行了土體多參數(shù)一般各向異性空間變異性下的邊坡可靠度分析。主要結(jié)論如下：

1）各向異性空間變異邊坡可靠度分析隨機(jī)有限差分計(jì)算框架實(shí)現(xiàn)了各類(lèi)各向異性空間變異性描述、復(fù)雜滑面精確搜尋和邊坡可靠度計(jì)算的一體化分析。

2）基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的喬列斯基分解技術(shù)可以有效地刻畫(huà)土體參數(shù)空間變異性的非橫觀各向異性特征并高精度地離散相應(yīng)隨機(jī)場(chǎng)。

3）提出的應(yīng)變聚類(lèi)邊坡臨界滑面搜索算法適用于空間變異性邊坡中精確地搜索單一或多重臨界滑面。

4）以一般各向異性空間變異性為參考，分析土體參數(shù)空間變異性類(lèi)型對(duì)邊坡可靠度的影響發(fā)現(xiàn)，考慮旋轉(zhuǎn)各向異性會(huì)明顯高估邊坡失效概率，而考慮橫觀各向異性則會(huì)極大地低估邊坡失效概率，最嚴(yán)重時(shí)可低估為實(shí)際失效概率的1/643；相比各向異性空間變異性，各向同性會(huì)在較大和較小的波動(dòng)范圍下分別高估和低估邊坡失效概率，較小波動(dòng)范圍的各向同性隨機(jī)場(chǎng)只適用于個(gè)別情況下（如θ_（δ_min）^GA=15°）的可靠度分析。

5）波動(dòng)范圍方向結(jié)構(gòu)對(duì)邊坡可靠度的影響顯著。對(duì)于水平結(jié)構(gòu)而言，最小波動(dòng)范圍方向角取90°時(shí)，邊坡失效概率最大；而對(duì)于非水平結(jié)構(gòu)而言，θ_（δ_max）^GA=150°時(shí)，邊坡失效概率最大。

6）對(duì)于考慮的一般各向異性空間變異性邊坡而言，失穩(wěn)模式比例為中層gt;淺層gt;深層gt;多滑面失穩(wěn)，主控失穩(wěn)模式為中層失穩(wěn)。雖然深層和多滑面失穩(wěn)為小比例失穩(wěn)模式，但是其潛在滑移體積均值和變異性遠(yuǎn)高于中層失穩(wěn)，一旦失穩(wěn)，造成的失效后果將是災(zāi)難性的。

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（編輯" 胡英奎）

收稿日期：2022?12?24

基金項(xiàng)目：重慶市自然科學(xué)基金（cstc2020jcyj-jq0087）；在渝高校與中國(guó)科學(xué)院所屬院所合作項(xiàng)目（HZ2021001）

作者簡(jiǎn)介：明思成（1998- ），男，主要從事巖土工程可靠度研究，E-mail：20164823@cqu.edu.cn。

通信作者：仉文崗（通信作者），博士，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：zhangwg@cqu.edu.cn。

Received： 2022?12?24

Foundation items： Natural Science Foundation of Chongqing （No. cstc2020jcyj-jq0087）; Cooperation Projects Between Universities in Chongqing and Institutes of Chinese Academy of Sciences （HZ2021001）

Author brief： MING Sicheng （1998- ）， main research interest： reliability of geotechnical engineering; E-mail： 20164823@cqu.edu.cn.

corresponding author：ZHANG Wengang （corresponding author）， PhD， professor， doctorial supervisor， E-mail： zhangwg@cqu.edu.cn.