例談比較二次根式大小的八種方法

在學(xué)習(xí)《二次根式》這一章節(jié)的過程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到比較二次根式大小的問題，有的題目比較簡(jiǎn)單，有的題目可能就讓人無從下手.為了幫助同學(xué)們更好地掌握這部分內(nèi)容，提高解題能力，本文歸納總結(jié)了八種比較二次根式大小的方法.

一、平方比較法

平方比較法就是先將兩個(gè)根式各自平方，然后比較平方后兩根式的大小，再比較原數(shù)的大小，即，若agt;0，bgt;0，且a2gt;b2，則agt;b;若alt;0，blt;0，且a2gt;b2，則alt;b.這種方法常用于比較無理數(shù)的大小.

例1：比較3+8+3-8與+的大小.

解：∵（3+8+3-8）2=8，

（+）2=8+2gt;8，

3+8+3-8gt;0，+gt;0，

∴3+8+3-8lt;+，

二、外因內(nèi)移法

根據(jù)化簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)算法則，可以把根號(hào)外的正因數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，從而轉(zhuǎn)化為比較被開方數(shù)的大小，當(dāng)agt;0，bgt;0時(shí)，①若agt;b，則gt;；②若alt;b，則lt;.

例2比較-5與-6的大小.

解：

三、分子或分母有理化法

在比較一類較為復(fù)雜的二次根式的大小時(shí)，我們可以將分子分母乘以一個(gè)相同的根式，使分子或分母由無理數(shù)（式）變?yōu)橛欣頂?shù)（式），并將分子或分母化為相同的數(shù)，然后根 據(jù)分子相同分母大的數(shù)小，或者分母相同，分 子大的數(shù)大來判斷.

例3

解：

四、作差比較法

作差比較法是解答比較大小問題的一種 常見方法，其基本思路是：設(shè) a、b 為任意兩個(gè) 實(shí)數(shù)，先求出 a 與 b 的差，再根據(jù)“當(dāng) a - b＜0 時(shí)，a lt; b ；當(dāng) a - b = 0 時(shí)，a = b ；當(dāng) a - b gt; 0 時(shí)，a gt; b ”來比較 a 與 b 的大小.

例3

解：

五、作商比較法

與作差比較法相對(duì)應(yīng)的還有一種比較方 法，即作商比較法.它運(yùn)用的是如下性質(zhì)：如 果 a 、b 都是正實(shí)數(shù)，先求出 a 與 b 的商，再根據(jù)“當(dāng) a b lt; 1 時(shí)，a＜b；當(dāng) a b =1 時(shí)，a = b；當(dāng) a b gt; 1時(shí)，a＞b ”來比較 a 與 b 的大小.

例5

解：

六、倒數(shù)比較法

倒數(shù)比較法即先求兩數(shù)的倒數(shù)，然后再 進(jìn)行比較.具體方法：設(shè) a、b 為任意兩個(gè)正實(shí) 數(shù)，先分別求出 a 與 b 的倒數(shù)，再根據(jù)“當(dāng) 1 a lt; 1 b 時(shí)，a＞b；當(dāng) 1 a = 1 b 時(shí)，a = b；當(dāng) 1 a gt; 1 b 時(shí)，a＜b ” 來比較 a 與 b 的大小.

例6

解：

七、中間值比較法

利用中間值比較二次根式的大小，首先 要分別確定它們的取值范圍，利用不等式的 傳遞性，找出一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g值，讓兩式分別 與這個(gè)中間值比較，從而判斷它們的大小.其 解題策略是：x＞a，而又 y＜a，則 x＞y，一般 常用的中間值是0、1等.

例7

解：

八、設(shè)參比較法

有些二次根式的數(shù)字過大，或形式較為 復(fù)雜，無法直接比較其大小，此時(shí)我們可以適 當(dāng)引入新的參數(shù)，并根據(jù)數(shù)字的組成特征，把 數(shù)字設(shè)為參數(shù)，進(jìn)行局部代換，通過比較含參 式的大小進(jìn)而得到兩根式的大小.

例8

解：

比較二次根式大小的方法不僅僅局限于 以上幾種，但不管使用哪種方法，首先都要掌 握二次根式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，然后還 要根據(jù)問題的特征，多角度地探索思考，針對(duì) 不同問題采取不同的方法，最終達(dá)到熟練而 又快捷解題的目的.