破解三棱錐外接球問(wèn)題的“妙招”

王馨

三棱錐的外接球問(wèn)題主要有求三棱錐的外接球的體積、表面積、半徑.這類(lèi)問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的抽象思維和分析推理能力有較高的要求，解題時(shí)通常很難確定外接球的球心，所以很多同學(xué)不知如何下手.下面筆者介紹兩個(gè)破解三棱錐外接球問(wèn)題的“妙招”.

一、構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體

如果三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，而且底面是直角三角形，那么可將其視為正方體或長(zhǎng)方體的一部分，以三棱錐的三條側(cè)棱為邊構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體，這樣正方體或長(zhǎng)方體的中心就是三棱錐的外接球的球心，這個(gè)正方體或長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是三棱錐的外接球的直徑，求得正方體或長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，即可求得三棱錐的外接球的半徑.

解答本題，需根據(jù) ΔABC 的特征，明確當(dāng) PM⊥ 底面 ABC 時(shí)，即球心 O 在三棱錐的高線 PM 上時(shí)，三棱錐的高最大，三棱錐的體積取最大值.于是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形 OAM、PAM ，利用勾股定理求得球的半徑.

雖然三棱錐的外接球問(wèn)題較為復(fù)雜，但是我們只要掌握一些技巧，根據(jù)三棱錐的特征構(gòu)造出正方體、長(zhǎng)方體、直角三角形，即可根據(jù)正方體、長(zhǎng)方體、直角三角形的性質(zhì)，確定球心的位置，并求得球的半徑.這樣便能化難為易，化繁為簡(jiǎn)，快速求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：安徽省臨泉第一中學(xué)）