賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的一致正規(guī)結(jié)構(gòu)

摘 要：主要研究了賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的一致正規(guī)結(jié)構(gòu)。給出了賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間具有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)的充分必要條件，統(tǒng)一了賦Luxemburg范數(shù)和Orlicz范數(shù)的經(jīng)典Orlicz函數(shù)空間的相應(yīng)結(jié)果。

關(guān)鍵詞：p-Amemiya范數(shù); 一致正規(guī)結(jié)構(gòu); Orlicz函數(shù)空間

DOI：10.15938/j.jhust.2024.04.017

中圖分類號： O177.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2024）04-0152-07

Uniformly Normal Structure of Orlicz Function Spaces

Equipped with the p-Amemiya Norm

ZUO Mingxia， XU Zeyu

（School of Science， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：In this paper， we mainly investigate the uniformly normal structure of Orlicz function spaces equipped with the p-Amemiya norm. A necessary and sufficient condition for Orlicz function spaces equipped with the p-Amemiya norm to have a uniformly normal structure is given. The corresponding results for the classical Orlicz function spaces equipped with both Luxemburg norm and Orlicz norm are unified.

Keywords：p-Amemiya norm; uniformly normal structure; Orlicz function spaces

0 引 言

與不動(dòng)點(diǎn)理論密切相關(guān)，1968年L.P.Belluce在Banach空間中引入了正規(guī)結(jié)構(gòu)（NS）的概念^［1］，1984年J.S.Bae引入了一致正規(guī)結(jié)構(gòu)（UNS）的概念^［2］。一個(gè)Banach空間X稱為具有正規(guī)結(jié)構(gòu)是指對每一個(gè)非單點(diǎn)的有界閉凸集CX，存在一個(gè)元素p∈C，使得sup{‖p－x‖∶x∈C}lt;diam（C）。稱X具有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)是指存在一個(gè)正常數(shù)αlt;1，使得對X中每一個(gè)非單點(diǎn)的有界閉凸集C，存在元素p∈C滿足

sup{‖p－x‖∶x∈C}lt;αdiam（C）。

正規(guī)結(jié)構(gòu)和一致正規(guī)結(jié)構(gòu)是Banach空間中非常重要的幾何性質(zhì)。1965年W.A.Kirk證明了具有正規(guī)結(jié)構(gòu)且自反的Banach空間具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)^［3］。1990年K.Gobel和W.A.Kirk說明了正規(guī)結(jié)構(gòu)和一致正規(guī)結(jié)構(gòu)在不動(dòng)點(diǎn)理論中的重要作用^［4］。關(guān)于經(jīng)典Orlicz空間中正規(guī)結(jié)構(gòu)和一致正規(guī)結(jié)構(gòu)的討論見文［5-9］。本文將給出賦p-Amemiya范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間具有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)的充分必要條件。

1 預(yù)備知識

定義1^［10］ 稱Φ：R→［0，∞）為Orlicz函數(shù)是指Φ（u）是一個(gè)偶的、連續(xù)的凸函數(shù)，并且

Φ（0）=0，limu→∞Φ（u）u=∞。

稱Orlicz函數(shù)Φ為N函數(shù)，若它還滿足

Φ（u）gt;0（u≠0）和limu→0Φ（u）u=0。

稱Ψ（v）=supugt;0{u|v|－Φ（u）}為Φ（u）的余函數(shù)，函數(shù)Ψ（v）也是Orlicz函數(shù)（N函數(shù)）。

用（G，Σ，μ）表示一個(gè)有限的無原子測度空間，L0（μ）表示G上的所有實(shí)值可測函數(shù)（等價(jià)類）構(gòu)成的集合。

定義2^［11］ 設(shè)Φ是一個(gè)Orlicz函數(shù)，在L0（μ）上定義一個(gè)凸模：

IΦ（x）=∫GΦ（x（t））dμ（x∈L0（μ））。

Orlicz函數(shù)空間LΦ的定義如下：

LΦ={x∈L0（μ）∶λgt;0，IΦ（λx）lt;∞}。

這個(gè)空間是一個(gè)Banach空間，如果賦以下面兩種范數(shù)：Luxemburg范數(shù)

‖x‖Φ=infλgt;0∶IΦxλ≤1

或Orlicz范數(shù)

‖x‖°Φ=infkgt;01k（1+IΦ（kx））。

2000年H.Hudzik和L.Maligranda在Orlicz函數(shù)空間LΦ中引入了下面一族與p（1≤p≤∞）有關(guān)的泛函：

‖x‖Φ，p=infkgt;01k（1+IpΦ（kx））^1p，1≤plt;∞

infkgt;01kmax{1，IΦ（kx）}，p=∞

已經(jīng)證明對任意的1≤p≤∞，泛函‖·‖Φ，p是LΦ中的一個(gè)范數(shù)，這個(gè)范數(shù)稱為p-Amemiya范數(shù)^［12-18］。顯然‖·‖Φ，1=‖·‖°Φ，并且在文［19］中已經(jīng)證明‖·‖Φ，∞=‖·‖Φ。因此，Orlicz函數(shù)空間LΦ在p-Amemiya范數(shù)‖·‖Φ，p下是一個(gè)Banach空間，記為LΦ，p。由于賦Orlicz范數(shù)‖·‖°Φ和賦Luxemburg范數(shù)‖·‖Φ的Orlicz函數(shù)空間LΦ的一致正規(guī)結(jié)構(gòu)的判據(jù)已經(jīng)得到^［7，9］，所以本文只討論賦p-Amemiya范數(shù)‖·‖Φ，p（1lt;plt;∞）的Orlicz函數(shù)空間具有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)的條件。

定義3^［10］ 稱Orlicz函數(shù)Φ滿足Δ2-條件（記為Φ∈Δ2）是指存在Kgt;0和u0≥0，使當(dāng)u≥u0時(shí)，有

Φ（2u）≤KΦ（u）。

稱Φ滿足2-條件（記為Φ∈2）是指Φ的余函數(shù)Ψ∈Δ2。

下面介紹幾個(gè)本文要用到的引理。

空間LΦ，p（1≤p≤∞）中的一個(gè)序列{xn}稱為模收斂于x∈LΦ，p是指存在λgt;0，使得

IΦ（λ（xn－x））→0（n→∞）^［11］。

引理1^［11］ 若Orlicz函數(shù)Φ∈Δ2，且Φ僅在零點(diǎn)處等于零，則在空間LΦ，p中模收斂與范數(shù)收斂等價(jià)。

引理2^［11］ 設(shè)1≤p≤∞，x∈LΦ，p，則

‖x‖Φ，p≤1IΦ（x）≤‖x‖Φ，p。

Orlicz函數(shù)Φ稱為是k*p-有限的是指對每一個(gè)x∈LΦ，p，有

k*p（x）=inf{k≥0∶αp（kx）≥0}lt;∞，

其中

αp（x）=

I^p-1Φ（x）IΨ（p+（|x|））－1，1≤plt;∞

－1，p=∞∧IΦ（x）≤1

IΨ（p+（|x|）），p=∞∧IΦ（x）gt;1

p+是Orlicz函數(shù)Φ在［0，b（Φ））上的右導(dǎo)數(shù)，且

p+（b（Φ））=limu→b（Φ）－p+（u），

b（Φ）=sup{ugt;0∶Φ（u）lt;∞}。

引理3^［11］ 設(shè)p∈［1，∞），Φ是一個(gè)僅在零點(diǎn)等于零的Orlicz函數(shù)，并且是k*p-有限的，則

1）inf{k∶k∈Kp（x），‖x‖Φ，p=1}gt;1當(dāng)且僅當(dāng)Φ∈Δ2。

2）對任意的0lt;a≤b，集合Q=∪{Kp（x）∶a≤‖x‖Φ，p≤b}是有界集當(dāng)且僅當(dāng)Φ∈2，其中

Kp（x）={k∶‖x‖Φ，p=1ksΦ，p（kx）}，

sΦ，p（x）=spIΦ（x），

sp（u）=max{1，u}，p=∞，

（1+up）^1p，1≤plt;∞（u≥0）。

引理4^［20］ LΦ，p是自反的當(dāng)且僅當(dāng)Φ∈Δ2∩2。

引理5^［9］ 如果Banach空間X沒有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)，則對于任意的n∈Ν和一個(gè)正數(shù)εgt;0，存在x1，…，xn+1∈X滿足：

‖xj‖≤1，‖xi－xj‖≤1（1≤i≤j≤n+1），

xm+1－1m∑mi=1xigt;1－ε（m=1，…，n）。

引理6^［10］ 若Φ∈Δ2∩2，則對λ0∈（0，12）和bgt;0，存在δgt;0，cgt;1滿足對于所有的λ0≤λ≤1－λ0和|u|≥b以及滿足|u|≥c|v|或者uvlt;0的u和v，有

Φ（λu+（1－λ）v）≤（1－δ）（λΦ（u）+（1－λ）Φ（v））。

2 主要結(jié)果及證明

定理1 LΦ，p具有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)LΦ，p是自反的，即Φ∈Δ2∩2。

證明：必要性是顯然的，這是因?yàn)榫哂幸恢抡?guī)結(jié)構(gòu)的Banach空間都是自反的，因此只需要證明充分性。下面分成5個(gè)步驟來給出充分性的證明。

1）在LΦ，p中找到一個(gè)有限集合滿足其中任意兩個(gè)元素的差的范數(shù)接近于1。

下面給出一些記號：

=sup{k∈Kp（x）∶12≤‖x‖Φ，p≤1}；

σ=inf{IΦ（x）∶12≤‖x‖Φ，p≤1}。

由Φ∈Δ2∩2，則lt;∞，σgt;0。挑選agt;0滿足Φ（2a）μ（G）lt;σ4。由Φ∈Δ2，因此存在dgt;0，滿足

Φ（2u）≤dΦ（u）（|u|≥a）。

挑選bgt;0，滿足Φ（b）μ（G）lt;σ8d。對b和11+2應(yīng)用引理6，則可得到δgt;0，cgt;1滿足對于所有的λ∈［11+2，21+2］和所有滿足|u|gt;b且滿足|u|≥c|v|或者uvlt;0的u和v，有

Φ（λu+（1－λ）v）≤（1－δ）（λΦ（u）+（1－λ）Φ（v））。

選取整數(shù)qgt;32dc22/σ，取n=4q。因?yàn)?（sp（u）－1）→0u→0，所以存在εgt;0，使得當(dāng)1（sp（u）－1）≤ε時(shí)，有

|u|≤δσ8n2d（1）

假設(shè)LΦ，p沒有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)，則對于上述ε，利用引理5，存在xi（i=1，…，n+1），滿足‖xi‖Φ，p≤1，‖xi－xj‖Φ，p≤1和xm+1－1m∑mi=1xiΦ，p≥1－ε，

（m=1，…，n）。這樣∑mi=1‖xm+1－xi‖Φ，p≥m（1－ε）。

因此，有

‖xm+1－xi‖Φ，p≥m（1－ε）－（m－1）=1－mεgt;12 （m+1≠i）。

2）證明不等式：

∑2qs=1∫As［Φ（vs（t））+Φ（v2q+s（t））］dμlt;σ4d。

設(shè)ui（t）=xn+1（t）－xi（t） （i=1，2，…，n）。對于每個(gè)t∈G，將{ui（t）}ni=1重新從最小排到最大并且重新編號為

v1（t）≤v2（t）≤…≤vn（t）。

令

v（t）=12（v2q（t）+v2q+1（t）），

I（t）={i≤n∶|ui（t）|gt;c|v（t）|或ui（t）v（t）lt;0或|ui（t）||v（t）|/c}，

A={t∈G∶I（t）至少包含2q個(gè)元素}。

下面證明當(dāng)t∈A時(shí)，對所有的s=1，…，2q，有

vs（t）v2q+s（t）lt;0或|vs（t）|gt;c|v2q+s（t）|或|vs（t）|lt;|v2q+s（t）|/c（2）

事實(shí)上，若式（2）不對，對某個(gè)s（s=1，…，2q），因?yàn)閧vs（t）}ns=1關(guān)于s是非減的，則vs（t），…，v2q+s（t）與v（t）同號，不妨設(shè)都為正。因此，由

v（t）≥vs（t）≥v2q+s（t）/c≥v（t）/c，

可以得到

v（t）c≤vs（t）≤vs+1（t）≤…≤v2q+s（t）2q+1≤cv（t）。

結(jié)合A的定義得到tA。設(shè)

As={t∈A∶|vs（t）|gt;b或|v2q+s（t）|gt;b}（s=1，…，2q）；

1kisΦ，p（kiui）=‖ui‖Φ，p（i=1，…，n）；

k=n/∑ni=11ki；

λi=∏nj=1，i≠jkj/∑ni=1∏nj=1，i≠jkj，

則有λi=knki。注意到12≤‖ui‖Φ，p≤1，因此1lt;ki≤，并且

11+（n－1）≤λi≤n－1+。

定義k′i和λ′i，當(dāng)vi（t）=uj（t）時(shí)分別有k′i（t）=kj和λ′i（t）=λj。注意，當(dāng)t∈A時(shí)，vi（t）v2q+i（t）lt;0或者|k′i（t）vi（t）|≥|vi（t）|≥c|v2q+i（t）|≥c|k′2q+i（t）v2q+i（t）|，或者|k′2q+i（t）v2q+i（t）|≥|v2q+i（t）|≥c|vi（t）|≥c|k′i（t）vi（t）|。這樣就有

ε=1－（1－ε）≥1n∑ni=1‖xn+1－xi‖Φ，p－

xn+1－1n∑ni=1xiΦ，p=

1n∑ni=1‖ui‖Φ，p－1n∑ni=1uiΦ，p。

注意到λiki=kn和ki≥1，和函數(shù)f（u）∶=sp（|u|）－1（u∈R）是一個(gè)Orlicz函數(shù)，這樣可以利用Orlicz函數(shù)Φ的如下性質(zhì)：

Φ（|u|－|v|）≤|Φ（2u）－Φ（2v）|，u，v∈R，

以及11+2≤λiλi+λj≤21+2，可得

ε≥1n∑nj=1‖uj‖Φ，p－1n∑ni=1uiΦ，p≥

1n∑nj=11kjsΦ，p（kjuj）－1ksΦ，p（kn∑ni=1ui）=

1k（∑nj=1λj［sp（IΦ（kjuj））－1－（sp（IΦ（∑ni=1λikiui））－1）］）≥

1k∑nj=1λj（sp（12（IΦ（kjuj）－IΦ（∑ni=1λikiui））－1）≥

1∑nj=1λj（sp（12（IΦ（kjuj）－IΦ（∑ni=1λikiui）））－1））。

則由式（1）可得

12（IΦ（kjuj）－IΦ（∑ni=1λikiui））≤δσ8n2d，

δσ8n2d≥1k∑nj=1λj［12（IΦ（kjuj）－IΦ（∑ni=1λikiui））］。

所以繼續(xù)計(jì)算有

δσ8n2d≥12k∑nj=1λj（IΦ（kjuj）－IΦ（∑ni=1λikiui））=

12k∫G{∑nj=1λj（t）Φ（kj（t）uj（t））－

Φ（∑ni=1λi（t）ki（t）ui（t））}dμ=

12k∫G{∑nj=1λ′j（t）Φ（k′j（t）vj（t））－

Φ（∑ni=1λ′i（t）k′i（t）vi（t））}dμ≥

12k∫G{∑2qs=1［λ′s（t）Φ（k′s（t）vs（t）+

λ′2q+s（t）Φ（k′2q+s（t）v2q+s（t））］－

∑2qs=1（λ′s（t）+λ′2q+s（t））Φ（λ′s（t）λ′s（t）+λ′2q+s（t）k′s（t）vs（t）+

λ′2q+s（t）λ′s（t）+λ′2q+s（t）k′2q+s（t）v2q+s（t））}dμ=

12k∑2qs=1∫G{［λ′s（t）Φ（k′s（t）vs（t）+

λ′2q+s（t）Φ（k′2q+s（t）v2q+s（t））］－

（λ′s（t）+λ′2q+s（t））Φ（λ′s（t）λ′s（t）+λ′2q+s（t）k′s（t）vs（t）+

λ′2q+s（t）λ′s（t）+λ′2q+s（t）k′2q+s（t）v2q+s（t）}dμ≥

12k∑2qs=1∫As［λ′s（t）Φ（k′s（t）vs（t）+λ′2q+s（t）Φ（k′2q+s（t）v2q+s（t））］－

（λ′s（t）+λ′2q+s（t））Φ（λ′s（t）λ′s（t）+λ′2q+s（t）k′s（t）vs（t））+

λ′2q+s（t）λ′s（t）+λ′2q+s（t）k′2q+s（t）v2q+s（t）}dμ≥

12k∑2qs=1{∫As［λ′s（t）Φ（k′s（t）vs（t））+

λ′2q+s（t）Φ（k′2q+s（t）v2q+s（t））］－

（1－δ）（λ′s（t）Φ（k′s（t）vs（t））+

λ′2q+s（t）Φ（k′2q+s（t）v2q+s（t）））dμ}，

即

δσ8n2d≥δ2k∑2qs=1{∫Asλ′s（t）Φ（k′s（t）vs（t））+

λ′2q+s（t）Φ（k′2q+s（t）v2q+s（t））dμ}≥

δ2n∑2qs=1∫As［Φ（vs（t））+Φ（v2q+s（t））］dμ。

可以得到

∑2qs=1∫As［Φ（vs（t））+Φ（v2q+s（t））］dμlt;σ4d。

3）建立不等式IΦ（x2－x12χB）≥3σ8d，其中B=G/A

由‖x2－x1‖Φ，p≥12，得到IΦ（x2－x1）≥σ，這樣就有

σ≤IΦ（x2－x1）=∫G（|x2（t）－x1（t）|≥2a）Φ（x2（t）－x1（t））dμ+

∫G（|x2（t）－x1（t）|lt;2a）Φ（x2（t）－x1（t））dμ≤

dIΦ（x2（t）－x1（t）2）+σ4。

因此

IΦ（x1－x22）≥3σ4d。

設(shè)

D′={t∈A∶|u1（t）|gt;b}，D″={t∈A∶|u2（t）|gt;b}，

則有

∫AΦ（x2（t）－x1（t）2）dμ≤12∫A［Φ（u1（t））+Φ（u2（t））］dμ≤

12∫D′Φ（u1（t））dμ+12∫D″Φ（u2（t））dμ+σ8d≤

∑2qs=1∫As［Φ（vs（t））+Φ（v2q+s（t））］dμ+σ8dlt;σ4d+σ8d=3σ8d。

從而可以得到

IΦ（x2－x12χB）=IΦ（x2－x12）－IΦ（x2－x12χA）≥

3σ4d－3σ8d=3σ8d。

4）證明∫B～Φ（x′（t）－x1（t））dμ≥3σ16d

把B分成如下部分：

B4={t∈B∶|x4（t）－x3（t）|≤cq|v（t）|}；

B5={t∈B＼B4∶|x5（t）－xi（t）|≤cq|v（t）|3≤ilt;5}；

Bn={t∈B＼∪n－1j=4Bj∶|xn（t）－xi（t）|≤cq|v（t）|3≤ilt;n}。則有B=B4∪B5∪…∪Bn。事實(shí)上，如果存在t∈B＼∪ni=4Bi，則有|xi（t）－xj（t）|=|ui（t）－uj（t）|≥c|v（t）|/q（i=4，…，j;j=3，…，n－1）。設(shè)有q′個(gè)i滿足ui（t）v（t）lt;0，則有4q－q′－2個(gè)i滿足ui（t）與v（t）的符號相同，因此有3q－q′－2個(gè)i滿足|ui（t）－ui0（t）|gt;c|v（t）|，其中ui0（t）是關(guān)于絕對值最小的項(xiàng)。因此對于這樣的i，|ui（t）|gt;c|v（t）|。注意到對這樣的t有3q－q′－2+q′=3q－2gt;2q個(gè)i滿足ui（t）v（t）lt;0或者|ui（t）|gt;c|v（t）|，這樣得到t∈A矛盾。

令

x′（t）=0，t∈A，

xm（t），t∈B，（m=4，5，…，n），

則x′（t）是可測函數(shù)，并且有

12［IΦ（（x′－x1）χB）+IΦ（（x′－x2）χB）］≥

IΦ（x2－x12χB）≥3σ8d，

不失一般性假設(shè)IΦ（（x′－x1）χB）≥3σ8d。設(shè)

B～={t∈B∶|x′（t）－x1（t）|gt;max（b，c22qv（t））}。

注意當(dāng)|v2q（t）|≤|v2q+1（t）|時(shí)，v2q+1（t）gt;0。因此

v（t）≤12（|v2q+1（t）|+|v2q+1（t）|）=|v2q+1（t）|≤

|v2q+1（t）|+…+|vn（t）|n/2=

|v2q+1（t）|+…+|vn（t）|n/2=

2（|v1（t）|+…+|vn（t）|）n。

當(dāng)|v2q（t）|gt;|v2q+1（t）|時(shí)證明類似，則有

|v（t）|≤2n∑ni=1|vi（t）|。

這樣就有

∫B＼B～Φ（x′（t）－x1（t））dμ≤

Φ（b）μ（G）+∫GΦ（c22qv（t））dμ≤

∫GΦ（c22q2（|v1（t）|+…|vn（t）|）n）dμ+σ8d≤

σ8d+2c22qlt;σ8d+σ16d=3σ16d。

因此

∫B～Φ（x′（t）－x1（t））dμ=

∫BΦ（x′（t）－x1（t））dμ－∫B＼B～Φ（x′（t）－x1（t））dμ≥

3σ8d－3σ16d=3σ16d。

5）證明∫B～Φ（x′（t）－x1（t））dμlt;3σ16d，從而得出矛盾

設(shè)B～m=B～∩Bm，則B～=∪nm=4B～m，把B～m精確的分成以下部分：

B～3m={t∈B～m∶|x3（t）－xm（t）|≤cq|v（t）|}；

B～4m={t∈B～m＼B～3m∶|x4（t）－xm（t）|≤cq|v（t）|}；

B～^m－1m={t∈B～m＼∪m－2i=3B～im∶|xm－1（t）－xm（t）|≤

cq|v（t）|}。

則B～m=∪m－1i=3B～im。注意對于t∈B～im，有

|xm（t）－x1（t）|=|x′（t）－x1（t）|≥b

|xm（t）－x1（t）|=|x′（t）－x1（t）|≥c22q|v（t）|≥

c|xm（t）－xi（t）|。

設(shè)

kⁱm∶‖xm－xi‖Φ，p=1kⁱm（1+IpΦ（kⁱm（xm－xi）））^1/p；

m=（m－1）/（∑m－1j=11/kjm）， （m=4，…，n）；

λim=∏m－1j=1，j≠ikjm/∑m－1j=1，j≠ikjm，

則λim=m/（m－1）kim。對于t∈B～im，有

kim|xm（t）－x1（t）|≥c|xm（t）－xi（t）|≥

c|kim（xm（t）－xi（t））|。

這樣就有

ε=1－（1－ε）≥

1m－1∑m－1i=1‖xm－xi‖Φ，p－xm－1m－1∑m－1i=1xiΦ，p≥

1m－1∑m－1i=11kimsΦ，p（kim（xm－xi））－1msΦ，p（m∑m－1i=1xm－xim－1）=

1m－1∑m－1i=11kimsp（IΦ（kim（xm－xi）））－

1msp（IΦ（m∑m－1i=1xm－xim－1））=

1m∑m－1i=1λim［sp（IΦ（kim（xm－xi）））－

sp（IΦ（∑m－1i=1λimkim（xm－xi））］=

1m∑m－1i=1λim［sp（IΦ（kim（xm－xi）））－1－

（sp（IΦ（∑m－1i=1λimkim（xm－xi））－1）］≥

1m∑m－1i=1λim［（12sp（IΦ（kim（xm－xi）））－

IΦ（∑m－1i=1λimkim（xm－xi）））－1）］。

和2相同的方法可以得到

δσ8n2d≥12m（∑m－1j=1λim（IΦ（kim（xm－xi）））－

IΦ（∑m－1i=1λimkim（xm－xi）））=

12m（∫G∑m－1i=1［λimΦ（kim（xm（t）－xi（t）））－

Φ（∑m－1i=1λimkim（xm－xi）））］dμ≥

12m∫B～m∑m－1i=1［λimΦ（kim（xm（t）－xi（t）））－

Φ（∑m－1i=1λimkim（xm（t）－xi（t）））］dμ=

12m（∑m－1j=3∫B～jm∑m－1i=1［λimΦ（kim（xm（t）－xi（t）））－

Φ（∑m－1i=1λimkim（xm（t）－xi（t）））］dμ≥

12m（∑m－1j=3∫B～jm{∑m－1i=1λimΦ（kim（xm（t）－xi（t）））－

∑m－1i=2，i≠jλimΦ（kim（xm（t）－x1（1）））－

（1－δ）（λ1mΦ（k1m（xm（t）－x1（1）））+

λjmΦ（kjm（xm（t）－xj（t））））}dμ。

和2相同的方法可以得到

δσ8n2d≥δ2m（∑m－1j=3∫B～jm［λ1mΦ（k1m（xm（t）－x1（t））+

λjmΦ（kjm（xm（t）－xj（t）））］dμ≥

δ2（m－1）∑m－1j=3∫B～jmΦ（xm（t）－x1（t））dμ=

δ2（m－1）∫B～mΦ（xm（t）－x1（t））dμ，

即

∫B～mΦ（xm（t）－x1（t））dμ≤2（m－1）δδσ8n2d

（m=4，5，…，n）。

這樣就有

∫B～Φ（x′（t）－x1（t））dμ=∫∪nm=4B～mΦ（x′（t）－x1（t））dμ=

∑nm=4∫B～mΦ（xm（t）－x1（t））dμ≤n2δδσ8n2d=σ8dlt;3σ16d，這與∫B～Φ（x′（t）－x1（t））dμ≥3σ16d矛盾。

參 考 文 獻(xiàn)：

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（編輯：溫澤宇）