區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集模型

摘 要：為有效處理區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息決策問題，結(jié)合區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集和β覆蓋粗糙集提出四種區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集模型對(duì)該問題進(jìn)行研究。首先，從區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋誘導(dǎo)出兩種鄰域系統(tǒng)，定義了四種不同的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集；其次，研究了每種區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集的相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)，建立了四種區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集之間及其與其它相關(guān)模型之間的關(guān)系；最后，基于該模型設(shè)計(jì)了多屬性決策算法，通過(guò)實(shí)例應(yīng)用有效驗(yàn)證了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集在解決實(shí)際問題中的適用性。

關(guān)鍵詞：區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集；鄰域系統(tǒng)；β覆蓋粗糙集；多屬性決策

DOI：10.15938/j.jhust.2024.04.015

中圖分類號(hào)： TP18，O159

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2024）04-0132-15

Study on Interval-valued Dual Hesitant

Fuzzy β Covering Rough Set Model

REN Haowei^1，2， WANG Qinghai^1，2

（1.School of Computer Science， Qinghai Normal University， Xining 810008， China;

2.Plateau and Sustainable Development Institute， Xining 810008， China）

Abstract：To effectively handle the problem of decision-making with interval-valued hesitant fuzzy information， this paper proposes four models of interval-valued dual hesitant fuzzy β coverage rough sets，which are combined with interval-valued dual hesitant fuzzy set and β covering rough set. Firstly， two types of neighborhood systems are induced from interval-valued dual hesitant fuzzy β coverings， and four different models of interval-valued dual hesitant fuzzy β coverings rough sets are defined. Secondly， the mathematical properties of each model of interval-valued dual hesitant fuzzy β coverings rough sets are studied， and the relationships between the four models of interval-valued dual hesitant fuzzy β coverings rough sets and other relevant models are established. Finally， a multi-attribute decision-making algorithm is designed based on these models， and the applicability of interval-valued dual hesitant fuzzy β coverings rough sets in solving practical problems is effectively validated through practical examples.

Keywords：interval value dual hesitant fuzzy sets; neighborhood system; β coverage rough sets; multi-attribute decision making

0 引 言

粗糙集是Pawlak引入的一種處理數(shù)據(jù)分析中不精確性、模糊性和不確定性的數(shù)學(xué)方法，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、數(shù)據(jù)挖掘、機(jī)器學(xué)習(xí)等眾多研究領(lǐng)域^［1］。Pawlak粗糙集模型旨在處理定性數(shù)據(jù)集，它在處理實(shí)值數(shù)據(jù)集時(shí)效果不佳。針對(duì)這一問題，大量研究者致力于彌補(bǔ)Pawlak粗糙集中條件的僵化，Zadeh^［2］提出的模糊集理論是能夠解決這類問題的方法之一。Dubois等^［3］將模糊集模型和粗糙集模型結(jié)合起來(lái)產(chǎn)生了模糊粗糙集和粗糙模糊集，通過(guò)建立等價(jià)知識(shí)及模糊知識(shí)的不同框架，能夠有效解決針對(duì)模糊數(shù)據(jù)的知識(shí)推理及決策問題。然而，在現(xiàn)實(shí)生活的決策過(guò)程中，決策者們對(duì)于一個(gè)對(duì)象的某種屬性可能有不同的評(píng)價(jià)結(jié)果，通常需要考慮每個(gè)決策者的評(píng)價(jià)值，應(yīng)該采用多個(gè)可能的值來(lái)描述每個(gè)對(duì)象以獲得更合理和科學(xué)的決策結(jié)果。在此情況下，Torra^［4］提出了猶豫模糊集，它是模糊集的一種推廣，合理地解決了較為復(fù)雜的模糊信息的知識(shí)表達(dá)問題。在猶豫模糊環(huán)境下，Yang等^［5］將猶豫模糊集和粗糙集融合，探索了猶豫模糊粗糙集的構(gòu)造性和公理化方法，對(duì)于使用粗糙集模型求解猶豫模糊問題方面有著至關(guān)重要的作用。如今在許多應(yīng)用領(lǐng)域中，區(qū)間值有其不可替代的優(yōu)勢(shì)，尤其是在決策評(píng)價(jià)等過(guò)程中由于人們對(duì)評(píng)價(jià)參數(shù)的不確定性難以度量，從而對(duì)所需要的決策屬性采取區(qū)間值而非單個(gè)數(shù)值來(lái)表示，于是Xue等^［6-8］引入了區(qū)間值模糊集理論應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。同傳統(tǒng)的模糊集比較，區(qū)間值模糊集具有更強(qiáng)的處理不確定能力，能更有效解決不確定或信息不完備的問題。Gong等^［9］將經(jīng)典Pawlak粗糙集理論與區(qū)間值模糊集理論相結(jié)合，研究了區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)，提出了區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)的粗糙集理論。Na等^［10］將區(qū)間值模糊集理論和猶豫模糊集理論結(jié)合提出了區(qū)間值猶豫模糊集理論，從而減少?zèng)Q策信息的波動(dòng)性、不確定性，保證決策的科學(xué)、合理，降低決策失誤的概率。區(qū)間值猶豫模糊信息系統(tǒng)作為猶豫模糊信息系統(tǒng)的一種推廣，能夠客觀描述對(duì)象不精確性與有效保存數(shù)據(jù)特征，有利于反映復(fù)雜信息的不確定性表達(dá)及其應(yīng)用，其與粗糙集模型結(jié)合，凸顯了區(qū)間值猶豫模糊數(shù)據(jù)環(huán)境中粗糙集模型對(duì)數(shù)據(jù)的有效建模和科學(xué)分類能力。Zhang等^［11-12］將區(qū)間值猶豫模糊集與粗糙集模型相結(jié)合提出了區(qū)間猶豫模糊粗糙近似算子，建立了區(qū)間值猶豫模糊關(guān)系和區(qū)間值猶豫模糊粗糙近似算子之間的聯(lián)系，有效解決了區(qū)間值猶豫模糊環(huán)境中數(shù)據(jù)的不確定性推理問題。由于相關(guān)測(cè)度在數(shù)據(jù)分析中尤為重要，F(xiàn)arhadinia^［13］將區(qū)間值猶豫模糊集與對(duì)偶猶豫模糊集相融合，提出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集及其相關(guān)系數(shù)，以通用的方式為模糊集及其擴(kuò)展模型構(gòu)建了新的相關(guān)系數(shù)。Ju等^［14］將區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集理論與粗糙集理論相融合，提出了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊粗糙集，為復(fù)雜模糊環(huán)境的數(shù)據(jù)建模和科學(xué)決策提供理論支撐。

眾所周知，自覆蓋粗糙集誕生以來(lái)，大量與覆蓋粗糙集及其廣義模型相關(guān)的文獻(xiàn)相繼出現(xiàn)，它放松了Pawlak粗糙集與覆蓋、模糊覆蓋、直覺模糊覆蓋等的等價(jià)關(guān)系。此外，Ma^［15-16］探討了有限近似空間下覆蓋的分類，并指出模糊覆蓋的定義在實(shí)際應(yīng)用中存在一些局限性，因此將模糊覆蓋推廣為模糊β覆蓋。在模糊β覆蓋背景下，Yang等^［17］在模糊β覆蓋近似空間下提出了三類新的模糊覆蓋粗糙集模型，Huang等^［18］定義了直覺模糊β覆蓋的直覺模糊β最小描述和四種直覺模糊β覆蓋粗糙集，Zhou等^［19］在猶豫模糊β覆蓋下提出了四種新的猶豫模糊β覆蓋粗糙集模型，有效的解決了各類數(shù)據(jù)在模糊覆蓋下的局限性。針對(duì)以上模型不能處理區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息的情形，本文利用覆蓋粗糙集應(yīng)用范圍的廣泛性和區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集的實(shí)用性將模糊覆蓋推廣到區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，提出了四種區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集，建立了覆蓋粗糙集和區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集之間橋梁。

在實(shí)際決策中，經(jīng)常需要處理具有一定程度不確定性和模糊性的雜合數(shù)據(jù)，往往會(huì)面臨信息不完備、不確定性和多目標(biāo)等諸多問題，而區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息是一種表達(dá)和描述此類復(fù)雜模糊信息的有效方式，它能夠表示出決策問題中不確定性和模糊性的近似程度，并給出可能的取值范圍。因此，利用區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息進(jìn)行決策分析，可以更全面地考慮決策問題的不確定性和模糊性，提高決策的可靠性和準(zhǔn)確性。同時(shí)，決策問題往往涉及到多個(gè)因素和多個(gè)目標(biāo)，利用區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息進(jìn)行決策分析，可以將多個(gè)因素和目標(biāo)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，得到更為客觀綜合的決策結(jié)果，從而避免了單一指標(biāo)評(píng)價(jià)的缺陷。通過(guò)區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息決策系統(tǒng)能夠更準(zhǔn)確地處理決策問題中存在的不確定性和模糊性，從而提高決策質(zhì)量和決策效果。因此，處理區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息決策問題對(duì)于現(xiàn)代決策數(shù)據(jù)建模與分析具有重要的意義。

本文提出的基于區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集模型的多屬性決策算法是一種能夠處理對(duì)偶猶豫模糊信息決策問題的有效方法，可以提高數(shù)據(jù)處理和分析的精度和效率，幫助人們更好地了解和掌握復(fù)雜數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律。該方法綜合多個(gè)屬性評(píng)估值考慮決策問題中存在的不確定性和模糊性，充分地依靠決策者的主觀意見對(duì)各個(gè)備選方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)得出最優(yōu)的決策方案，使決策結(jié)果更加符合決策者的實(shí)際需求和主觀偏好，幫助決策者做出明智、合理的決策。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

定義1^［20-21］ 設(shè)R為實(shí)數(shù)域，稱閉區(qū)間a=［a-，a+］為區(qū)間數(shù)，其中a-，a+∈R，a-≤a+，a-，a+分別為區(qū)間數(shù)a的下界和上界。當(dāng)a-=a+時(shí)，區(qū)間數(shù)退化為一個(gè)普通數(shù)值。

定義2^［21-22］ 設(shè)a=［a-，a+］和b=［b-，b+］為任意兩個(gè)區(qū)間數(shù)，則兩個(gè)區(qū)間數(shù)的序關(guān)系和基本運(yùn)算定義如下：

1）a+b=［a-+b-，a++b+］；

2）a-b=［a--b-，a+-b+］ ；

3）a·b=［a-·b-，a+·b+］；

4）a∨—b=［max（a-，b-），max（a+，b+）］；

5）a∧—b=［min（a-，b-），min（a+，b+）］；

6）ac=［1-a+，1-a-］；

7）a=ba-=b-，a+=b+；

8）a≤ba-≤b-，a+≤b+；

9）alt;ba-lt;b-，a+≤b+ 或a-≤b-，a+ lt;b+。

定義3^［23］ 設(shè)有n個(gè)區(qū)間數(shù)ai（i∈N），其中ai=［a-i，a+i］，為了對(duì)這些區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序，首先將每個(gè)區(qū)間數(shù)ai（i∈N）與所有區(qū)間數(shù)aj（j∈N）使用如下公式進(jìn)行計(jì)算：

p（ai≥aj）=max1-maxa+j-a-ilai+laj，0，0，其中，lai=a+i-a-i，laj=a+j-a-j。

為了方便闡述，設(shè)pij=p（ai≥aj），構(gòu)造一個(gè)互補(bǔ)矩陣如下：

P=p11p12…p1n

p21p22…p2n

pn1pn2…pnn

其中，pij≥0，pij+pji=1，pii=12，（i，j∈N）。

求矩陣每行中所有元素的和，即：pi=∑nj=1pij，i∈N，根據(jù)pi的值對(duì)n個(gè)區(qū)間數(shù)ai（i∈N）進(jìn)行升序排列，得到n個(gè)區(qū)間數(shù)ai的大小關(guān)系。

定義4^{［14，24-25］} 設(shè)U是非空論域，在U上一個(gè)區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集定義為={lt;x，f（x），g（x）gt;|x∈U}，其中，f（x）∶U→I［0，1］表示x∈U的所有可能的區(qū)間值隸屬度構(gòu)成的集合，I［0，1］表示區(qū)間［0，1］上所有閉子區(qū)間構(gòu)成的集合，f∶（x）={|∈f∶（x）}，=［α-，α+］是一個(gè)區(qū)間數(shù)，α-，α+分別為區(qū)間數(shù)α的下界和上界。g∶（x）∶U→I［0，1］表示x∈U的所有可能的區(qū)間值非隸屬度構(gòu)成的集合，g∶（x）={|∈g（x）}，=［η-，η+］是一個(gè)區(qū)間數(shù)，η-、η+分別為區(qū)間數(shù)η的下界和上界。且在論域U中對(duì)x∈U滿足0≤maxα++maxη+≤1，其中，maxα+=max{α+|α∈f（x）}，maxη+=max{η+| η∈g（x）}。

約定f（x）、g（x）中的區(qū)間數(shù)使用定義10的方法按降序排列，即滿足f^σ（i-1）（x）gt; f^σ（i）（x）（i=2，3，…，l（f（x））），g^σ（j-1）（x）gt;g^σ（j）（x），（j=2，3，…，l（gA（x）））其中，f^σ（i）（x）表示f（x）的第i個(gè)區(qū)間數(shù)，g^σ（j）（x）表示g（x）的第j個(gè)區(qū)間數(shù)，l（f（x）），l（g（x））分別表示f（x）和g（x）中區(qū)間數(shù)的個(gè)數(shù)，為方便表示，稱D～=lt;f（x），g（x）gt;為一個(gè)區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊元素（IVDHFE），論域U上所有的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集記為IVDHF（U）。

注：若D～=lt;f（x），g（x）gt;，D～=lt;f（x），g（x）gt;∈IVDHFE，在運(yùn)算時(shí)長(zhǎng)度不相等，即l（f（x））≠l（f（x））或l（g（x））≠l（g（x）），本文采用Torra在文［4］提出給元素較少的集合中加入元素使其長(zhǎng)度相等的方法，若l（f（x））≤l（f（x）），可通過(guò)定義11增加f（x）中最小的區(qū)間值給f（x）使得l（f（x））=l（f（x）），反之亦然；若l（g（x））≤l（g（x）），通過(guò)定義11增加g（x）中最小的區(qū)間值給g（x）使得l（g（x））=l（g（x）），反之亦然。

定義5^{［14，26］} 設(shè)U為論域，，∈IVDHF（U），則區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集的基本運(yùn)算定義如下：

1）c={lt;x，fc（x），gc（x）gt;|x∈U}=

{lt;x，g（x），f（x）gt;|x∈U}；

2）∪={〈x，f∪（x），g∪（x）〉|x∈U}=

{lt;x，max（f^σ（k）（x），f^σ（k）（x）），min（g^σ（k）（x），

g^σ（k）（x））gt;|x∈U} ；

3）∩={〈x，f∩（x），g∩（x）〉|x∈U}=

{lt;x，min（f^σ（k）（x），f^σ（k）（x）），max（g^σ（k）（x），

g^σ（k）（x））gt;|x∈U} ；

4）={lt;x，∪［f-，f+］∈{［f-（x），f+（x）］}，［f-，f+］∈{［f-（x），f+（x）］}［f-f-，f+f+］，

∪［g-，g+］∈{［g-（x），g+（x）］}，［g-，f+］∈{［g-（x），g+（x）］}［g-g-，g+g+］gt;|x∈U} ；

5）x∈U滿足f^σ（i）（x）≤ f^σ（i）（x），且g^σ（j）（x）≥g^σ（j）（x），i=1，2，…，max（l（f（x）），l（f（x））），j=1，2，…，max（l（g（x）），l（g（x）））；

6）=x∈U滿足f^σ（i）（x）=f^σ（i）（x），g^σ（j）（x）=g^σ（j）（x）i=1，2，…，max（l（f（x）），l（f（x））），j=1，2，…，max（l（g（x）），l（g（x）））。

定義6^［27-28］ 設(shè)=lt;f，ggt;∈IVDHFE，則的得分函數(shù)S（）定義為：S（）=121lf∑（f^σ（i）-+f^σ（i）+）-1lg∑（g^σ（i）-+g^σ（i）+），的精確函數(shù)A（）定義為：A（）=121lf∑（f^σ（i）-+f^σ（i）+）+1lg∑（g^σ（i）-+g^σ（i）+），其中l(wèi)f、lg表示f、g的區(qū)間數(shù)個(gè)數(shù)。

定義7^［28］ 設(shè)1，2∈IVDHFE，S（1），S（2）分別為它們的得分函數(shù)，A（1），A（2）分別為它們的偏差函數(shù)，則有：

1）若S（1）lt;S（2），則1lt;2，否則反之；

2）若S（1）=S（2）且A（1）lt;A（2），則1lt;2，否則反之；

3）若S（1）=S（2）且A（1）=A（2），則1=2。

2 區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集及相關(guān)性質(zhì)

在這部分中，首先由區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋誘導(dǎo)出兩類區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β鄰域系統(tǒng)，其次通過(guò)鄰域系統(tǒng)定義四種不同的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集（interval value dual hesitant fuzzy β coverage rough set，IVDHFβCRSs），并探討區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集的一些性質(zhì)，最后建立所提出的四種區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集模型之間及其與其他相關(guān)模型的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

2.1 四種區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集

定義8 設(shè)是非空有限論域U上的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集C構(gòu)成的集合，若∪C=∪{C|C∈}=U，則稱是區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋。

定義9 設(shè)U為論域，={C1，C2，…，Cm}是區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋，其中Ci∈IVDHF（U），（i=1，2，…，m），β∈IVDHFE，若對(duì)x∈U均滿足∪mi=1Ci（x）≥β，則稱為U上的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，（U，）稱為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間（IVDHFCAS）。

定義10 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}是區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)x∈U稱H^βx=∩{Cj∈|Cj（x）≥β，j=1，2…m}為x的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β鄰域，H～β={H^βx|x∈U}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋誘導(dǎo)的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β鄰域系統(tǒng)，其中，H^βx={lt;y，fβH^x（y），gβH^x（y）gt;|y∈U}。

定理1 設(shè)={C1，C2，…，Cm}是區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，則對(duì)x∈U有H^βx（x）≥β。

證明：對(duì)x∈U，H^βx（x）=∩{Ci∈|Ci（x）≥β}=∧—Ci（x）≥βCi（x）≥β。

定理2 設(shè)={C1，C2，…，Cm}是區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)x，y，z∈U，如果H^βx（y）≥β，H^βy（z）≥β，則H^βx（z）≥β。

證明：若H^βx（y）≥β則存在Ci滿足Ci（x）≥β和Ci（y）≥β，類似地，若H^βy（z）≥β則存在Ci滿足Ci（y）≥β和Ci（z）≥β，所以當(dāng)H^βx（y）≥β且H^βy（z）≥β時(shí)，則存在Ci滿足Ci（x）≥β，Ci（z）≥β，因此H^βx（z）≥β。

定理3 設(shè)={C1，C2，…，Cm}是區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，β1，β2∈IVDHFE，若β1≤β2≤β，則H^^β1xH^^β2x。

證明：由定義10可得。

定義11 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)∈IVDHF（U），在區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β鄰域系統(tǒng)H～β中的上、下近似H～β（A）和H～β（）分別定義如下：

H～β（）={〈x，fH～β（）（x），gH～β（A）（x）〉|x∈U}（1）

H～β（）={〈x，fH～β（）（x），gH～β（）（x）〉|x∈U}（2）

其中，fH～β（）（x）=∨—y∈U{fH^βx（y）∧—f（y）}，

gH～β（）（x）=∧—y∈U{gH^βx（y）∨—g（y）}，

fH～β（）（x）=∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f（y）}，

gH～β（）（x）=∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g（y）}。

H～β（），H～β（）：IVDHF（U）→IVDHF（U）分別稱為鄰域系統(tǒng)H～β下的上、下近似算子，（H～β（），H～β（））稱為1型區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集（1-IVDHFβCRSs）。

定義12 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)于x∈U，稱K^βx={K^βx（y）|y∈U}為x的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊補(bǔ)β鄰域，其中K^βx（y）=H^βy（x） （y∈U），則由區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋誘導(dǎo)的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊補(bǔ)β鄰域系統(tǒng)定義為：K～β={K^βx|x∈U}，其中，K^βx={lt;y，fK^βx（y），gK^βx（y）gt;|y∈U}。

定義13 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)∈IVDHF（U），在區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊補(bǔ)β鄰域系統(tǒng)K～β中的上、下近似K～β（）和K～β（）分別定義如下：

K～β（）={〈x，fK～β（）（x），gK～β（）（x）〉|x∈U}（3）

K～β（）={〈x，fK～β（）（x），gK～β（）（x）〉|x∈U}（4）

其中，fK～β（）（x）=∨—y∈U{fK^βx（y）∧—f（y）}，

gK～β（）（x）=∧—y∈U{gK^βx（y）∨—g（y）}，

fK～β（）（x）=∧—y∈U{gK^βx（y）∨—f（y）}，

gK～β（）（x）=∨—y∈U{fK^βx（y）∧—g（y）}。

K～β（），K～β（）：IVDHF（U）→IVDHF（U）

分別稱為鄰域系統(tǒng)K～β下的上下近似算子，（K～β（），K～β（））稱為2型區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集（2-IVDHFβCRSs）。

通過(guò)1-IVDHFβCRSs和2-IVDHFβCRSs，下面將誘導(dǎo)另外兩種IVDHFβCRSs。

定義14 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)∈IVDHF（U），在鄰域系統(tǒng)H～β和K～β中的上、下近似T～β（）和T～β（）分別定義如下：

T～β（）={〈x，fT～β（）（x），gT～β（）（x）〉|x∈U}（5）

T～β（）={〈x，fT～β（）（x），gT～β（）（x）〉|x∈U}（6）

其中，

fT～β（）（x）=∨—y∈U{（fH^βx（y）∧—fK^βx（y））∧—f（y）}，

gT～β（）（x）=∧—y∈U{（gH^βx（y）∨—gK^βx（y））∨—g（y）}，

fT～β（）（x）=∧—y∈U{（gH^βx（y）∨—gK^βx（y））∨—fA（y）}，

gT～β（）（x）=∨—y∈U{（fH^βx（y）∧—fK^βx（y））∧—g（y）}。

T～β（），T～β（）：IVDHF（U）→IVDHF（U）分別稱為鄰域系統(tǒng)H～β和K～β下的上、下近似算子，（T～β（），T～β（））稱為3型區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集（3-IVDHFβCRSs）。

定義15 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)∈IVDHF（U），在鄰域系統(tǒng)H～β和K～β中的上、下近似Z～β（）和Z～β（）分別定義如下：

Z～β（）={〈x，fZ～β（）（x），gZ～β（）（x）〉|x∈U}（7）

Z～β（）={〈x，fZ～β（）（x），gZ～β（）（x）〉|x∈U}（8）

其中，fZ～β（）（x）=∨—y∈U{（fH^βx（y）∨—fK^βx（y））∧—f（y）}，

gZ～β（）（x）=∧—y∈U{（gH^βx（y）∧—gK^βx（y））∨—g（y）}，

fZ～β（）（x）=∧—y∈U{（gH^βx（y）∧—gK^βx（y））∨—fA（y）}，

gZ～β（）（x）=∨—y∈U{（fH^βx（y）∨—fK^βx（y））∧—g（y）}。

Z～β（），Z～β（）：IVDHF（U）→IVDHF（U）分別稱為鄰域系統(tǒng)H～β和K～β下的上、下近似算子，（Z～β（），Z～β（））稱為4型區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集（4-IVDHFβCRSs）。

2.2 區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集的性質(zhì)

定理4 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)，∈IVDHF（U），則：

1）H～β（c）=（H～β（））c，

H～β（c）=（H～β（））c；

2）H～β（∩）=H～β（）∩H～β（），

H～β（∪）=H～β（）∪H～β（）；

3）若，則H～β（）H～β（），H～β（）H～β（）；

4）H～β（）∪H～β（）H～β（∪）；H～β（∩）H～β（） ∩H～β（）。

證明：1）對(duì)x∈U有：

fH～β（c）（x）=∧—y∈U{gH^βx（y）∨—fc（y）}=∧—y∈U{gH^βx（y）∨—g（y）}〗=gH～β（）（x） ；

gH～β（）（x）=∨—y∈U{fH^βx（y）∧—gc（y）}=∨—y∈U{fH^βx（y）∧—f（y）}=fH～β（）（x） ；

所以，H～β（c）={〈x，gH～β（）（x），fH～β（）（x）〉|x∈U}=（H～β（））c成立；同理可證H～β（c）=（H～β（））c成立。

2）對(duì)x∈U有：

fH～β（∩）（x）=∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f∩（y）}=

∧—y∈U{gH^βx（y）∨—（f（y）∧—f（y））}=

（∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f（y）}）∧—（∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f（y）}）=

fH～β（）（x）∩fH～β（）（x） ；

gH～β（∩）（x）=∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g∩（y）}=

∨—y∈U{fH^βx（y）∧—（g（y）∨—g（y））}=

（∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g（y）}）∨—（∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g（y）}）=gH～β（）（x）∪gH～β（）（x） ；

所以，H～β（∩）=H～β（）∩H～β（）成立；同理可證H～β（∪）=H～β（）∪H～β（）成立。

3）由可知f（x）≤f（x）且g（x）≥g（x），那么對(duì)x∈U有：

fH～β（）（x）=∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f（y）}≤∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f（y）}=fH～β（）（x） ；

gH～β（）（x）=∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g（y）}≥∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g（y）}=gH～β（）（x） ；

fH～β（）（x）=∨—y∈U{fH^βx（y）∧—f（y）}≤∨—y∈U{fH^βx（y）∧—f（y）}=fH～β（）（x） ；

gH～β（）（x）=∧—y∈U{gH^βx（y）∨—g（y）}≥∧—y∈U{gH^βx（y）∨—g（y）}=gH～β（）（x）；

所以，當(dāng)時(shí)，H～β（）H～β（），H～β（）H～β（）成立；

4）對(duì)x∈U有：

fH～β（∪）（x）=∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f（∪）（y）}=

∧—y∈U{gH^βx（y）∨—（f（y）∨—f（y））}≥

（∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f（y）}）∨—（∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f（y）}）=fH～β（）（x）∨—fH～β（）（x）；

gH～β（∪）（x）=∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g（∪）（y）}=

∨—y∈U{fH^βx（y）∧—（g（y）∧—g（y））}≤

（∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g（y）}）∧—（∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g（y）}）=

gH～β（）（x）∧—gH～β（）（x） ；

所以H～β（）∪H～β（）H～β（∪）成立；同理可證，H～β（∩）H～β（）∩H～β（）成立。

定理5 設(shè)U為論域，和綅為區(qū)間值猶豫模糊β覆蓋，β∈IVDHFE，其中={C1，C2，…，Cm}，綅={Q1，Q2，…，Qn}，和綅誘導(dǎo)的兩個(gè)區(qū)間值猶豫模糊β鄰域系統(tǒng)分別為H～β={（H^1）βx|x∈U}和H～β綅={（H^2）βx|x∈U}，對(duì)∈IVDHF（U），若（H^1）βx（H^2）βx（x∈U），則：

1）H～β綅（）H～β（）；

2）H～β（）H～β綅（）。

證明：1）定義10、定義11可知：

fH～β（）（x）=∧—y∈U{g（H1）^βx（y）∨—f（y）}≥

∧—y∈U{g（H2）^βx（y）∨—f（y）}=fH～β綅（）（x） ；

gH～β（）（x）=∨—y∈U{f（H1）^βx（y）∧—g（y）}≤

∨—y∈U{f（H2）^βx（y）∧—g（y）}=gH～β綅（）（x） ；

H～β綅（）={〈x，fH～β綅（）（x），gH～β綅（）（x）〉|x∈U}

{lt;x，fH～β（）（x），gH～β（）（x）gt;|x∈U}=H～β（） ；

所以H～β綅（）H～β（）成立；

2）證明類似于1）；

定理6 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)，∈IVDHF（U），則：

1）K～β（c）=（K～β（））c，

K～β（c）=（K～β（））c；

2）K～β（∩）=K～β（）∩K～β（），

K～β（∪）=K～β（）∪K～β（）；

3）若，則K～β（）K～β（）， K～β（）K～β（）；

4）K～β（）∪K～β（）K～β（∪），

K～β（∩）K～β（）∩K～β（）。

證明：類似于定理4的證明。

定理7 設(shè)U為論域，和綅為區(qū)間值猶豫模糊β覆蓋，β∈IVDHFE，其中={C1，C2，…，Cm}，綅={Q1，Q2，…，Qn}，和綅誘導(dǎo)的兩個(gè)區(qū)間值猶豫模糊補(bǔ)β鄰域系統(tǒng)分別為K～β={（K^1）βx|x∈U}和K～β綅={（K^2）βx|x∈U}，對(duì)∈IVDHF（U），若（K^1）βx（K^2）βx，則：

1）K～β綅（）K～β（）；

2）K～β（）K～β綅（）。

證明：類似于定理5的證明。

定理8 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)，∈IVDHF（U），則：

1）Z～β（）H～β（）T～β（），

Z～β（）K～β（）T～β（）；

2）T～β（）H～β（）Z～β（），

T～β（）K～β（）Z～β（）；

3）T～β（）=H～β（）∪K～β（），

T～β（）=H～β（）∩K～β（）；

4）Z～β（）=H～β（）∩K～β（），

Z～β（）=H～β（）∪K～β（）。

證明：1）-2）由定義11，13，14，15可得。

3）對(duì)x∈U有：

fT～β（）（x）=∧—y∈U{（gH^βx（y）∨—gK^βx（y））∨—f（y）}=

∧—y∈U{gH^βx（y）∨—f（y）}∨—∧—y∈U{gK^βx（y）∨—f（y）}=

fH～β（）（x）∨—fK～β（）（x） ；

gT～β（（x）=∨—y∈U{（fH^βx（y）∧—fK^βx（y））∧—g（y）}=

（∨—y∈U{fH^βx（y）∧—g（y）}）∧—（∨—y∈U{fK^βx（y）∧—g（y）}）=

gH～β（）（x）∧—gK～β（）（x） ；

T～β（）={〈x，fT～β（）（x），gT～β（）（x）〉|x∈U}=

{〈x，fH～β（）（x）∨—fK～β（）（x），gH～β（）（x）∧—

gK～β（）（x）〉|x∈U}=H～β（）∪K～β（）；

fT～β（）（x）=∨—y∈U{（fH^βx（y）∧—fK^βx（y））∧—f（y）}=

（∨—y∈U{fH^βx（y）∧—f（y）}）∧—（∨—y∈U{fK^βx（y）∧—f（y）}）=

fH～β（）（x）∧—fK～β（）（x）；

gT～β（）（x）=∧—y∈U{（gH^βx（y）∨—gK^βx（y））∨g（y）}=

（∧—y∈U{gH^βx（y）∨—g（y）}）∨—（∧—y∈U{gK^βx（y）∨—

g（y）}）=gH～β（）（x）∨—gK～β（）（x）；

T～β（）={〈x，fT～β（）（x），gT～β（）（x）〉|x∈U}=

{〈x，fH～β（）（x）∧—fK～β（）（x），gH～β（）（x）∨—

gK～β（）（x）〉|x∈U}=H～β（）∩K～β（）。

4）證明類似于3）。

定理9 設(shè)（U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)，∈IVDHF（U），則：

1）T～β（c）=（T～β（））c，

T～β（c）=（T～β（））c；

2）T～β（∩）=T～β（）∩T～β（），

T～β（∪）=T～β（）∪T～β（）；

3）若，則T～β（）T～β（），T～β（）T～β（）；

4）T～β（）∪T～β（）T～β（∪），

T～β（∩）T～β（）∩T～β（）。

證明：類似于定理4。

定理10 設(shè) （U，）為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊覆蓋近似空間，β∈IVDHFE，={C1，C2，…，Cm}為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋，對(duì)，∈IVDHF（U），則：

1）Z～β（c）=（Z～β（））c，

Z～β（c）=（Z～β（））c；

2）Z～β（∩）=Z～β（）∩Z～β（），

Z～β（∪）=Z～β（）∪Z～β（）；

3）若，則Z～β（）Z～β（），Z～β（）Z～β（）；

4）Z～β（）∪Z～β（）Z～β（∪），

Z～β（∩）Z～β（）∩Z～β（）。

證明：類似于定理4。

2.3 區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集與其它已有模型的關(guān)系

在定理8中構(gòu)建了所提出四種模型之間的關(guān)系，這節(jié)將探索所提出的四種IVDHFβCRSs和其它已有模型之間的關(guān)系。

定理11 若區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊關(guān)系R為H～β，即R（x，y）=H^βx（y）（x，y∈U），則1-IVDHFβCRSs將退化為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊粗糙集。

證明：由定義11可得。

定理12 若區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊關(guān)系R為K～β，即R（x，y）=K^βx（y）（x，y∈U），則2-IVDHFβCRSs將退化為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊粗糙集。

證明：由定義13可得。

定理13 若區(qū)間值退化為一個(gè)普通數(shù)值，則本文提出的四種區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集將退化為對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集。

證明：由定義1、11、13、14、15可得。

3 區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集在多屬性決策中的應(yīng)用

在這部分中，通過(guò)區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息的決策問題描述、決策方法、多屬性決策算法和應(yīng)用實(shí)例，表明區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集在多屬性決策問題中的適用性及有效性。

3.1 區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息決策問題描述

設(shè)U={x1，x2，…，xn}為n個(gè)備選對(duì)象的集合，={C1，C2，…，Cm}是集合U的屬性集，多個(gè)決策者根據(jù)專業(yè)知識(shí)給出備選對(duì)象xi（i=1，2，…，n）關(guān)于屬性Cj（j=1，2，…，m）的評(píng)價(jià)值，記為Cj（xi）=lt;fij ，gijgt;，其中，fij表示xi滿足Cj屬性的區(qū)間值集合，gij表示xi不滿足Cj屬性的區(qū)間值集合，由此可建立區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣。

在區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣中，如何確定最佳備選對(duì)象或?qū)λ械膫溥x方案進(jìn)行排序是一個(gè)重要的決策問題，本文使用一種基于粗糙集理論的經(jīng)典決策方法對(duì)該類問題進(jìn)行建模，并引入?yún)^(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集模型來(lái)解決該類問題。

3.2 區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息的決策方法

針對(duì)區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息系統(tǒng)中的多屬性決策問題，此小節(jié)將詳細(xì)給出解決該類問題的決策方法。

首先，通過(guò)定義6的得分函數(shù)構(gòu)造區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣中的最佳理想解如下：

={Cj，max{S（Cj（xi））|i=1，2，…，n;j=1，2，…，m}。

其次，在區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣中使用精確參數(shù)β，通過(guò)定義10、12計(jì)算區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β鄰域系統(tǒng)和區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊補(bǔ)β鄰域系統(tǒng)，然后通過(guò)定義11、13、14、15計(jì)算區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集的上、下近似Δ～β（），Δ～β（），其中Δ=Η，Κ，Τ，Ζ。從多屬性決策的角度看，使用的精確參數(shù)β可以理解為一致性共識(shí)閾值。

最后，通過(guò)定義12計(jì)算Δ～β（）與Δ～β（）的環(huán)和，其中，Δ=Η，Κ，Τ，Ζ，然后根據(jù)定義6計(jì)算環(huán)和中每個(gè)備選對(duì)象xi（i=1，2，…，n）的得分函數(shù)，利用得分函數(shù)值確定備選對(duì)象之間的序關(guān)系。

3.3 區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息的多屬性決策算法

設(shè)U={x1，x2，…，xn}為論域，在論域U上有m個(gè)區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集構(gòu)成區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣，本節(jié)基于區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集模型提出區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息的多屬性決策算法。

輸入：1）區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣；2）一致性共識(shí)閾值β。

輸出：備選對(duì)象之間的序關(guān)系。

Step 1：構(gòu)建最佳理想解。

Step 2：計(jì)算鄰域系統(tǒng)H～β和K～β 。

Step 3：在鄰域系統(tǒng)下計(jì)算的上、下近似Δ～β（），Δ～β（），其中，Δ=Η，Κ，Τ，Ζ。

Step 4：計(jì)算環(huán)和Δ～β（）Δ～β（），其中，Δ=Η，Κ，Τ，Ζ。

Step 5：計(jì)算得分函數(shù)S（Δ～β（）Δ～β（）），并根據(jù)函數(shù)值大小排序，其中，Δ=Η，Κ，Τ，Ζ。

3.4 實(shí)例說(shuō)明

假設(shè)某公司針對(duì)某個(gè)崗位的空缺想在若干候選人中擇優(yōu)招聘一個(gè)員工。設(shè)U={x1，x2，…，xn}是應(yīng)聘該職位的五個(gè)候選人，={C1，C2，…，C5}為招聘該崗位的所要滿足的崗位要求，分別表示專業(yè)能力、教育程度、外語(yǔ)水平、計(jì)算機(jī)水平、工作經(jīng)驗(yàn)。公司的人力資源管理師們根據(jù)自己的專業(yè)知識(shí)給出每個(gè)候選人xi滿足崗位要求Cj的評(píng)估值，記為Cj（xi）=lt;fij ，gijgt;。其中，fij表示xi滿足崗位要求Cj的區(qū)間值集合，gij表示xi不滿足崗位要求Cj的區(qū)間值集合，由此建立了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣如表1所示。

下面將通過(guò)本章3.3節(jié)提出的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息的多屬性決策算法來(lái)詳細(xì)介紹決策過(guò)程。該算法可以有效地解決具有不確定性和猶豫性的多屬性決策問題。

Step 1：構(gòu)建最佳理想解。

通過(guò)得分函數(shù)定義6構(gòu)造區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣中的最佳理想解如下：

A={x1，lt;{［0.5，0.7］}，{［0.2，0.3］}gt;}，{x2，lt;{［0.6，0.8］}，{［0.1，0.2］}gt;}，{x3，lt;{［0.5，0.7］，［0.5，0.6］，［0.4，0.6］}，{［0.2，0.3］，［0.1，0.2］}gt;}，{x4，lt;{［0.5，0.8］，［0.5，0.6］}，{［0.1，0.2］}gt;}，{x5，lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］，［0.1，0.2］}gt;}

Step 2：計(jì)算鄰域系統(tǒng)H～β和K～β。

設(shè)一致性共識(shí)閾值β =lt; {［0.4， 0.6］，［0.3， 0.5］， ［0.3，0.4］}，{［0.3，0.4］，［0.2，0.3］}gt;，xi的鄰域可由定義10可計(jì)算如下：H^βx1=C1∩C2∩C4，H^βx2=C1∩C4∩C5，H^βx3=C1∩C2∩C3∩C5，H^βx4=C2∩C3∩C4，H^βx5=C2∩C4∩C5，由此所計(jì)算得到的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β鄰域系統(tǒng)H～β如表2所示，進(jìn)一步通過(guò)定義12可計(jì)算得到區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊補(bǔ)β鄰域系統(tǒng)K～β系統(tǒng)如表3所示。

Step 3：在鄰域系統(tǒng)H～β和K～β下計(jì)算的四種區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集的上、下近似Δ～β（）和Δ～β（），其中，Δ=Η，Κ，Τ，Ζ，分別代表前文提出的四種粗糙集模型。

1-IVDHFβCRSs的上、下近似H～β（）和H～β（）可通過(guò)定義11中的式（1）和（2）計(jì)算如下：

H～β（）={lt;{［0.4， 0.7］， ［0.3， 0.5］}，{［0.2， 0.3］，［0.1， 0.3］}gt;/x1，lt;{［0.4， 0.6］， ［0.3， 0.5］}，{［0.2，0.3］，［0.1，0.2］} /x2，lt;{［0.4，0.6］， ［0.4，0.5］，［0.3，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x3， lt;{［0.5，0.7］，［0.5，0.6］，［0.4，0.6］}，{［0.2，0.3］，［0.1，0.2］}gt;/x4，lt;{［0.4， 0.6］， ［0.3， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x5}。

H～β（）={lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x1，lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x2，lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x3，lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x4，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x5}。

2-IVDHFβCRSs的上、下近似K～β（）和K～β（）可定義13中的公式（3）和（4）計(jì)算如下：

K～β（）={lt;{［0.4，0.7］，［0.3，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x1 ，lt;{［0.4，0.6］，［0.3，0.5］}，{［0.2，0.4］，［0.1，0.2］}gt;/x2，lt;{［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］，［0.3， 0.5］}，{［0.2， 0.4］，［0.2， 0.3］}gt;/x3， lt;{［0.5， 0.7］， ［0.5， 0.6］， ［0.4， 0.6］}，{［0.1， 0.3］，［0.1， 0.2］}gt;/x4，lt;{ ［0.4， 0.6］， ［0.3， 0.5］}，{［0.3， 0.4］}gt;/x5}。

K～β（）={lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x1，lt;{［0.5，0.7］， ［0.4， 0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x2，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x3，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x4，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x5}。

3-IVDHFβCRSs上、下近似 T～β（）和T～β（）可通過(guò)定義14中的公式（5）和（6）計(jì)算如下：

T～β（）={lt;{［0.4，0.7］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x1，lt;{［0.4，0.6］，［0.3，0.5］}，{［0.2，0.3］，［0.1，0.2］}gt;/x2，lt;{ ［0.4， 0.6］， ［0.3，0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x3，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.5，0.6］，［0.4，0.6］}，{［0.2，0.3］，［0.1，0.2］}gt;/x4，lt;{ ［0.4， 0.6］， ［0.3， 0.5］}，{［0.3， 0.4］}gt;/x5}。

T～β（）={lt;{［0.5，0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x1，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x2，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x3，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x4，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x5}。

4-IVDHFβCRSs上、下近似Z～β（）和Z～β（）可通過(guò)定義15中的公式（7）和（8）計(jì)算如下：

Z～β（）={lt;{［0.4，0.7］，［0.3，0.5］}，{［0.2，0.3］，［0.1，0.3］}gt;/x1，lt;{［0.4，0.6］，［0.3，0.5］}，{［0.2，0.3］，［0.1，0.2］}gt;/x2，lt;{［0.4，0.6］，［0.4，0.5］，［0.3，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x3，lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.1，0.3］，［0.1，0.2］}gt;/x4，lt;{［0.4， 0.6］， ［0.3， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x5}；

Z～β（）={lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x1，lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x2，lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x3，lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x4，lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］， ［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x5}。

Step 4：計(jì)算區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集上、下近似的環(huán)和Δ～β（）Δ～β（），其中，Δ=Η，Κ，Τ，Ζ。

1-IVDHFβCRS上、下近似的環(huán)和H～β（）H～β（）可根據(jù)定義5中的環(huán)和公式（4）計(jì)算如下：

H～β（）H～β（）={lt;{［0.7， 0.91］， ［0.64， 0.88］， ［0.64， 0.85］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.09］， ［0.02， 0.09］}gt;/x1，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.09］， ［0.02， 0.06］}gt;/x2，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.7， 0.85］， ［0.64， 0.8］， ［0.64， 0.75］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.09］}gt;/x3，lt;{［0.75， 0.91］， ［0.7， 0.88］， ［0.7， 0.85］， ［0.75， 0.88］， ［0.7， 0.84］， ［0.7， 0.8］， ［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］，［0.64，0.8］}，{［0.04，0.09］，［0.02，0.06］}gt;/x4，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.09］}gt;/x5}；

2-IVDHFβCRS上、下近似的環(huán)和K～β（）K～β（）可根據(jù)定義5中的環(huán)和式（4）計(jì)算如下：

K～β（）K～β（）={lt;{［0.7， 0.91］， ［0.64， 0.88］， ［0.64，0.85］，［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58，0.75］}，{［0.04， 0.09］}gt;/x1，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.12］， ［0.02， 0.06］}gt;/x2，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.7， 0.85］， ［0.64， 0.8］， ［0.64， 0.75］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.12］， ［0.04， 0.09］}gt;/x3，lt;{［0.75， 0.91］， ［0.7， 0.88］， ［0.7， 0.85］， ［0.75， 0.88］， ［0.7，0.84］， ［0.7， 0.8］， ［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］，［0.64，0.8］}，{［0.02，0.09］，［0.02，0.06］}gt;/x4，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.06， 0.12］}gt;/x5}；

3-IVDHFβCRS上、下近似的環(huán)和T～β（）T～β（）可根據(jù)定義5中的環(huán)和式（4）計(jì)算如下：

T～β（）T～β（）={lt;{［0.7， 0.91］， ［0.64， 0.88］， ［0.64， 0.85］，［0.65，0.85］，［0.58，0.8］，［0.58，0.75］}，{［0.04，0.09］}gt;/x1，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［［0.04， 0.09］， ［0.02， 0.06］］}gt;/x2，lt;{［0.7，0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.7， 0.85］， ［0.64， 0.8］， ［0.64， 0.75］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.09］}gt;/x3，lt;{［0.75， 0.91］， ［0.7， 0.88］， ［0.7， 0.85］， ［0.75， 0.88］， ［0.7， 0.84］， ［0.7， 0.8］， ［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］}，{［0.04， 0.09］， ［0.02， 0.06］}gt;/x4，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.06， 0.12］}gt;/x5}；

4-IVDHFβCRS上、下近似的環(huán)和Z～β（）Z～β（）可根據(jù)定義5中的環(huán)和式（4）計(jì)算如下：

Z～β（）Z～β（）={lt;{［0.7， 0.91］， ［0.64， 0.88］， ［0.64， 0.85］， ［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.09］， ［0.02， 0.09］}gt;/x1，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.65，0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.09］， ［0.02， 0.06］}gt;/x2，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］， ［0.7， 0.85］， ［0.64， 0.8］， ［0.64， 0.75］， ［0.65， 0.85］，［0.58，0.8］，［0.58，0.75］}，{［0.04，0.09］}gt;/x3，lt;{［0.75， 0.91］， ［0.7， 0.88］， ［0.7， 0.85］， ［0.75， 0.88］， ［0.7， 0.84］，［0.7，0.8］，［0.7，0.88］，［0.64，0.84］，［0.64， 0.8］}，{［0.02， 0.09］， ［0.02， 0.06］}gt;/x4，lt;{［0.7， 0.88］， ［0.64， 0.84］， ［0.64， 0.8］，［0.65， 0.85］， ［0.58， 0.8］， ［0.58， 0.75］}，{［0.04， 0.09］}gt;/x5}。

Step 5：根據(jù)區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集上、下近似的環(huán)和結(jié)果，計(jì)算ζΔ（xi）=S（Δ～β（）Δ～β（）（xi））如下，其中，Δ=Η，Κ，Τ，Ζ。

ζΗ（xi）=S（（H～β（）H～β（））（xi））={0.675 9/x1， 0.673 4/x2， 0.662 2/x3， 0.723/x4， 0.660 8/x5}；

ζΚ（xi）=S（K～β（）K～β（））（xi））={0.670 8/x1，0.665 9/x2， 0.654 7/x3， 0.728/x4，0.635 9/x5}；

ζΤ（xi）=S（T～β（）T～β（））（xi））={0.670 8/x1， 0.673 4/x2， 0.662 2/x3， 0.723/x4， 0.635 9/x5}；

ζΖ（xi）=S（Z～β（）Z～β（））（xi））={0.675 9/x1， 0.673 4/x2， 0.662 2/x3， 0.728/x4， 0.660 8/x5}。

為了確定最佳備選對(duì)象，根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果通過(guò)簇狀柱形圖的方式對(duì)5個(gè)候選人的得分值進(jìn)行可視化如圖1所示。經(jīng)過(guò)分析，我們發(fā)現(xiàn)在四種IVDHFβCRSs模型參與決策的情況下，備選對(duì)象x4的得分函數(shù)值均最高。因此，我們得出結(jié)論，x4是最佳備選對(duì)象。

（）Δ～β

在以上決策過(guò)程中充分利用區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣中的信息，決策者可直接利用專家評(píng)估信息做出相關(guān)決策，使得決策結(jié)果更加可信，無(wú)需再尋求其他復(fù)雜信息，使決策過(guò)程更加便捷。為進(jìn)一步論證本文提出決策方法的可用性和有效性，接下來(lái)將與其他文獻(xiàn)的決策方法進(jìn)行對(duì)比。

Yang在文［28］中，提出利用集合上、下近似的評(píng)價(jià)函數(shù)（evaluation）和弱評(píng)價(jià)函數(shù)（weak_evaluation）進(jìn)行決策的方法，在本文中為模糊關(guān)系，由此可計(jì)算—（）和—（）如下：

—（）= {lt;{［0.6， 0.8］，}，{［0.2， 0.3］}gt;/x1，lt;{［0.6， 0.7］， ［0.6， 0.8］}，{［0.2， 0.3］}gt; /x2，lt;{［0.6， 0.7］， ［0.6， 0.8］}，{［0.2，0.3］}gt;/x3，lt;{［0.7，0.8］}，{［0.2，0.3］}gt;/x4，lt;{［0.5，0.7］， ［0.5，0.6］} ，{［0.2， 0.3］}gt;/x5}。

—（）={lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x1，lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x2， lt;{［0.5，0.7］，［0.4，0.6］，［0.4，0.5］}，{［0.2，0.3］}gt;/x3，lt;{［0.5，0.7］， ［0.4，0.6］，［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x4， lt;{［0.5， 0.7］， ［0.4， 0.6］，［0.4， 0.5］}，{［0.2， 0.3］}gt;/x5}。

根據(jù)以上—（）和—（）的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算評(píng)價(jià)函數(shù)E（—（），—（））值和弱評(píng)價(jià)函數(shù)W（—（），—（））值如表4所示。

根據(jù)表4的數(shù)據(jù)結(jié)果，使用折線圖的方式展現(xiàn)了評(píng)價(jià)函數(shù)E（—（），—（））和弱評(píng)價(jià)函數(shù)W（—（），—（））的值如圖2所示，以便直觀地確定最佳備選對(duì)象。經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，備選對(duì)象x4在兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)上的得分值均最高。因此，可得出結(jié)論x4是最佳備選對(duì)象。

Zhang在文［29］中提出利用四種不同函數(shù)決策求交的方法進(jìn)行最佳對(duì)象的選擇，通過(guò)計(jì)算—（）和—（）中每個(gè)備選對(duì)象xi得分函數(shù)值如表5所示。在本文中為模糊關(guān)系，集合與（xi，Cj）的相關(guān)系數(shù)ρ（，（xi，Cj））計(jì)算結(jié)果如表6所示。

根據(jù)表5和表6的數(shù)據(jù)，T1、T2、T3、T4函數(shù)的決策結(jié)果如下：

T1={k|maxx∈U，Ck∈{ρ（，（x，Ck））}}={4}

T2={i|max{s（—（）（xi））}}={4}

T3={j|max{s（—（）（xj））}}={1，2，3，4，5}

T4={l|max{s（—（）（xl））+s（—（）（xl））}}={4}

通過(guò)以上計(jì)算易得T1∩T2∩T3∩T4={4}，故最佳候選人是x4。

本文所提出的決策方法經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的理論推導(dǎo)和實(shí)例應(yīng)用，并通過(guò)與文［28］和［29］提出的兩種決策方法對(duì)比，證明其在實(shí)際應(yīng)用中具有顯著的優(yōu)勢(shì)和可行性。本文的決策方法具有更高的靈活性和適應(yīng)性，可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，以適用于不同的決策場(chǎng)景和應(yīng)用領(lǐng)域。

4 結(jié) 論

為了有效地處理現(xiàn)實(shí)世界中的不確定性和不完備性問題，選擇合適的模型可以更好地適應(yīng)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，提高模型的準(zhǔn)確性和可靠性。本文結(jié)合區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集和β覆蓋粗糙集提出了四種不同類型的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集，該類模型通過(guò)評(píng)價(jià)值以隸屬度區(qū)間集合和非隸屬度區(qū)間集合描述對(duì)象對(duì)于集合的隸屬程度，旨在處理更為復(fù)雜的區(qū)間值猶豫模糊信息的推理與決策問題。深入研究了四種區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集上、下粗糙近似算子的相關(guān)代數(shù)結(jié)構(gòu)，并建立了本文所提出的四種粗糙集模型之間及其與其它關(guān)聯(lián)模型之間的關(guān)系。同時(shí)，在區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣中構(gòu)建出了最優(yōu)的區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊集，能夠充分利用區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣中的信息，使決策者直接利用評(píng)估信息做出相關(guān)決策，而無(wú)需再尋求其它復(fù)雜信息，從而使得決策過(guò)程更加便捷。通過(guò)設(shè)計(jì)多屬性決策算法的實(shí)例應(yīng)用有效驗(yàn)證了區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊β覆蓋粗糙集模型在解決實(shí)際問題中的可行性與有效性。以上研究為區(qū)間值對(duì)偶猶豫模糊信息系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模奠定了理論基礎(chǔ)。本文下一步主要研究所提出的四類IVDHFβCRSs模型與各類機(jī)器學(xué)習(xí)算法相融合，進(jìn)行復(fù)雜問題智能決策方法及其應(yīng)用研究。

參 考 文 獻(xiàn)：

［1］ PAWLAK Z. Rough Sets［J］. International Journal of Computer and Information Sciences，1982，11（5）：341.

［2］ ZADEH L. Fuzzy Sets［J］. Information amp; Control， 1965， 8（3）：338.

［3］ DUBOIS D，PRADE H. Rough Fuzzy Sets and Fuzzy Rough Sets［J］. International Journal of General Systems， 1990， 17（2）：191.

［4］ TORRA V. Hesitant Fuzzy Sets［J］. International Journal of Intelligent Systems， 2010， 25（6）：529.

［5］ YANG X，SONG X，QI Y. Constructive and Axiomatic Approaches to Hesitant Fuzzy Rough Set［J］. Soft Computing， 2014，18（6）：1067.

［6］ XUE R Z，BAO Q H. Fuzzy and Interval Valued Fuzzy Decision Theoretic Rough Set Approaches Based on Fuzzy Probability Measure［J］. Information Sciences， 2015， 298： 534.

［7］ BUSTINCE H，GALAR M，Bedregal B. A New Approach to Interval Valued Choquet Integrals and the Problem of Ordering in Interval Valued Fuzzy Set Applications［J］. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2013， 21（6）： 1150.

［8］ VAN N P，LONG T N. Interval-valued Fuzzy Set Approach to Fuzzy Co-clustering for Data Classification［J］. Knowledge Based Systems， 2016， 107：1.

［9］ GONG Z，SUN B，CHEN D. Rough Set Theory for the Interval-valued Fuzzy Information Systems［J］. Computer Engineering amp; Applications， 2011， 178（8）：2794.

［10］NA C，XU Z，XIA M. Interval-valued Hesitant Preference Relations and Their Applications to Group Decision Making［J］. Knowledge-Based Systems，2013，37（JAN）：528.

［11］ZHANG H，SHU L，LIAO S. On Interval-valued Hesitant Fuzzy Rough Approximation Operators［J］. Soft Computing， 2016，20（1）： 1.

［12］ZHANG H，SHU L，LIAO S. Topological Structures of Interval Valued Hesitant Fuzzy Rough Set and Its Application［J］. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems， 2016，30（2）： 1029.

［13］FARHADINIA B. Correlation for Dual Hesitant Fuzzy Sets and Dual Interval-valued Hesitant Fuzzy Sets［J］. International Journal of Intelligent Systems， 2014， 29（2）： 184.

［14］JU Y， LIU X， YANG S. Interval-valued Dual Hesitant Fuzzy Aggregation Operators and Their Applications to Multiple Attribute Decision Making［J］. Journal of Intelligent amp; Fuzzy Systems， 2014， 27（3）： 1203.

［15］MA L W. Classification of Coverings in the Finite Approximation Spaces［J］. Information Sciences，2014，276： 31.

［16］MA L W. Two Fuzzy Covering Rough Set Models and Their Generalizations Over Fuzzy Lattices［J］. Fuzzy Sets amp; Systems，2016， 294（jul.1）：1.

［17］YANG B， HU B Q. On Some Types of Fuzzy Coveringbased Rough Sets［J］. Fuzzy Sets and Systems， 2016， 312 （APR.1）：36.

［18］HUANG B， LI H， Feng G. Intuitionistic Fuzzy Covering-based Rough Sets［J］. Artificial Intelligence Review， 2020， 53（4）： 2841.

［19］ZHOU J J，LI X Y. Hesitant Fuzzy Covering Rough Sets and Applications in Multi-attribute Decision Making［J］. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems，2021（3/4）：1.

［20］張春玲. 區(qū)間值模糊覆蓋粗糙集研究［D］. 西安：陜西師范大學(xué)，2018.

ZHANG C L. Research on Interval-valued Fuzzy Covering Rough Sets［D］. Xi′an： Shaanxi Normal University， 2018.

［21］張博侃. 模糊數(shù)學(xué)［M］. 北京：北京大學(xué)出版社，2021.

ZHANG B K. Fuzzy Mathematics［M］. Beijing： Peking University Press，2021.

［22］ZHENG W，ZHOU L，ZHANG M. Interval-Valued Pythagorea Hesitant Fuzzy Set and Its Application to Multiattri-bute Group Decision-Making［J］. Complexity， 2020， 12： 1.

［23］LI B，XIAO J，WANG X. Interval-valued Dual Hesitant Fuzzy Rough Set Over Two Universes and Its Application［J］. Journal of Intelligent and Fuzzy Systems，2018，35：1.

［24］WAN S P，YN J，ZOU W C. Generalized Shapley Choquet Integral Operator Based Method for Interactive Interval- Valued Hesitant Fuzzy Uncertain Linguistic Multi-Criteria Group Decision Making［J］. IEEE Access， 2020， 8：202194.

［25］ALI J， BASHIR Z， RASHID T. Weighted Interval-valued Dual-hesitant Fuzzy Sets and Its Application in Teaching Quality Assessment［J］. Soft Computing， 2021， 25： 3503.

［26］王月， 趙輝， 烏倫華. q-積三角模上的Fuzzy概率積分及其應(yīng)用模型［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2023， 28（2）： 145.

WANG Y， ZHAO H， WU L H. Fuzzy Probability Integral on Q-product Trigonometric Module and Its Application Model［J］. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2023， 28（2）： 145.

［27］劉歡，李昊.基于改進(jìn)記分函數(shù)和累積前景理論的直覺模糊TOPSIS法［J］.哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2022， 27（4）： 133.

LIU H， LI H. Intuitive Fuzzy TOPSIS Method Based on Improved Score Function and Cumulative Prospect Theory［J］. Journal of Harbin University of Technology， 2022， 27（4）： 133.

［28］YANG K， SHU L.Constructive Method for Dual Interval Valued Hesitant Fuzzy Rough Sets［C］.2019 IEEE 14th International Conference on Intelligent Systems andKnowledge Engineering （ISKE）. IEEE， 2019.

［29］ZHANG H， SHU L. LIAO S. Hesitant Fuzzy Rough Set Over Two Universes and Its Application in Decision Making. Soft Computing，2017， 21， 1803.

（編輯：溫澤宇）