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    一堂高三試卷評(píng)講課的教學(xué)片段與反思

    2024-01-01 00:00:00吳加榮謝明鐸
    關(guān)鍵詞:反思高三

    [摘 要]高考數(shù)學(xué)注重核心素養(yǎng)的考查,尤其是在壓軸題的設(shè)置上,更能體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的考查。壓軸題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的好素材。怎樣結(jié)合壓軸題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),是每一個(gè)高三數(shù)學(xué)教師思考的問題。文章通過展示一堂高三試卷評(píng)講課“周考試卷評(píng)講課——如何突破壓軸題”的教學(xué)片段與反思,為高三數(shù)學(xué)教師利用壓軸題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供參考。

    [關(guān)鍵詞]高三;試卷評(píng)講課;教學(xué)片段;反思

    [中圖分類號(hào)]" " G633.6" " " " [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]" " A" " " " [文章編號(hào)]" " 1674-6058(2024)17-0021-04

    在“三新”背景下,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求越來越高。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。高考是國家為選拔優(yōu)秀人才而設(shè)置的考試,高考數(shù)學(xué)注重核心素養(yǎng)的考查,尤其是在壓軸題的設(shè)置上,更能體現(xiàn)出對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的考查。壓軸題是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的好素材。怎樣結(jié)合壓軸題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),是每一個(gè)高三數(shù)學(xué)教師應(yīng)深入思考的問題。

    筆者在觀摩了以“周考試卷評(píng)講課——如何突破壓軸題”為主題的高三試卷評(píng)講課后,深受啟發(fā),現(xiàn)對(duì)此課的教學(xué)片段進(jìn)行展示說明。

    [教學(xué)片段]

    一、試卷展示

    師:考試是與兩類人對(duì)話,一類是命題老師,另一類是閱卷老師。在審題時(shí),我們要揣摩命題老師的命題意圖;在答題時(shí),我們要“取悅”閱卷老師。那怎樣才能做到“取悅”閱卷老師呢?首先要解答正確,其次要卷面整潔、書寫規(guī)范。接下來,請(qǐng)同學(xué)們欣賞三類試卷。

    教師用PPT展示三類試卷:

    第一類試卷:書寫規(guī)范,卷面整潔,沒有一點(diǎn)涂改痕跡,得分高。

    第二類試卷:卷面糟糕,涂畫嚴(yán)重,書寫很亂,得分低。

    第三類:卷面比較整潔,但是個(gè)別書寫不注意。比如把4寫得像[φ];[2]中的根號(hào)不出頭;把[45,63]寫成[63,45]。

    師:對(duì)于上述三類試卷,你們有什么感受?

    生A:干凈整潔的試卷讓人賞心悅目,卷面糟糕的試卷,讓人很難受,以后我在答題時(shí)要嚴(yán)格要求自己,把卷面寫得規(guī)范整潔。

    師:很好。我們要向優(yōu)秀學(xué)習(xí),讓自己變得更加優(yōu)秀。

    二、試卷整體評(píng)價(jià)

    三、答題情況統(tǒng)計(jì)

    1.成績分析

    高分秘訣1:少犯錯(cuò)誤。

    高分秘訣2:基礎(chǔ)題、中檔題拿滿分,難題爭取步驟分。

    2.試卷情況分析(統(tǒng)計(jì)人數(shù)73人)

    [題號(hào) 出錯(cuò)人數(shù) 題號(hào) 出錯(cuò)人數(shù) 題號(hào) 出錯(cuò)人數(shù) 1 6 7 3 13 2 2 0 8 7 14 12 3 1 9 14 15 25 4 2 10 24 16 65 5 7 11 16 6 1 12 58 ]

    提示:基礎(chǔ)不牢,地動(dòng)山搖。

    3.錯(cuò)因分析

    審題之錯(cuò):由于審題出現(xiàn)失誤,看漏條件、看錯(cuò)條件或看錯(cuò)數(shù)字等而出錯(cuò)。如第16題銳角三角形這一條件沒看到,導(dǎo)致角的范圍沒取好。

    計(jì)算之錯(cuò):由于喜歡口算或心算,不愿意在草稿紙上一步一步地計(jì)算而出錯(cuò)。如第20題第(1)問求軌跡方程,結(jié)果出錯(cuò)。

    抄寫之錯(cuò):由于書寫不工整,上面寫的字,下面換行時(shí)抄錯(cuò);在草稿紙上寫對(duì)了,往試卷上謄抄時(shí)錯(cuò)了,甚至是選擇題涂答案時(shí)涂錯(cuò)了。

    表達(dá)之錯(cuò):解答題在下結(jié)論時(shí)沒有嚴(yán)格按要求寫而出錯(cuò)。如求最小值,有些考生在求出范圍后不寫最小值;立體幾何中找點(diǎn)的位置,有的考生寫一個(gè)坐標(biāo),沒有指出具體位置。

    “不夠嚴(yán)謹(jǐn)”之錯(cuò):在對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論時(shí)不嚴(yán)密、不完整;忘記“解析幾何中直線方程斜率不存在”這一結(jié)論。如第21題第(1)問對(duì)[a]的討論不完整,忽略[a=0]。

    “不會(huì)做”之錯(cuò):由于存在知識(shí)漏洞或新定義理解不到位,而無從下手。

    4.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

    個(gè)人自救:2,3,4,5,6,13,14,18,19。

    小組互助:10,11,15。

    重點(diǎn)講解:12,16, 21。

    四、錯(cuò)題分析及糾正

    本套試卷的第12、16、21題分別為選擇題、填空題和解答題的壓軸題,學(xué)生得分非常低,尤其是第16題,全班幾乎“全軍覆沒”。這樣的壓軸題到底該怎么講?是讓學(xué)生再做一遍,還是教師直接講解?如果再給學(xué)生做,他們會(huì)不會(huì)還是做不出來,從而浪費(fèi)時(shí)間?如果教師直接講解,學(xué)生會(huì)不會(huì)被動(dòng)地聽,達(dá)不到預(yù)期的教學(xué)效果?“授人以魚,不如授人以漁?!苯處熆梢圆捎脝l(fā)式教學(xué),教學(xué)生如何入題、破題,從而達(dá)到解題的目的。

    A. [-π4,π4] B. [-π2,π4]

    C. [-π4,π2] D. [0,π4]

    師:題目中設(shè)計(jì)的[y=sin(ωx+φ)]與[y=cos(ωx+φ)]兩個(gè)函數(shù)的相位和初相是相同的,請(qǐng)問在三角函數(shù)變換的過程中[φ]和[ω]起什么作用?

    生B:[ω]影響函數(shù)的周期,與伸縮變換有關(guān),可控制圖象的形狀;[φ]與平移變換有關(guān),會(huì)影響圖象的位置。

    師:很好。既然[φ]只與平移變換有關(guān),不影響圖象的形狀,那么我們可以先看[y=sinωx]和[y=cosωx]的圖象。大家最熟悉的是[y=sinx]和[y=cosx],不妨先看它們的圖象。(畫[y=sinx]和[y=cosx]的圖象)

    師:以上交點(diǎn)的坐標(biāo)是多少?

    生C:[π4,22],[5π4,-22],[9π4,22] …

    師:將[y=sinx]和[y=cosx]改為[y=sinωx]和[y=cosωx],則圖象的交點(diǎn)是多少?結(jié)合題意,你還能觀察出什么?

    生D:交點(diǎn)為[π4ω,22],[5π4ω,-22],[9π4ω,22]…,這個(gè)三角形為等腰直角三角形,斜邊上的高為[2],即為斜邊的一半,所以斜邊是[22],即周期為[22]。

    師:非常好。算出了周期,再觀察一下圖形,那三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是多少?

    生E:周期是[22],所以[ω=π2],于是交點(diǎn)為[24,22],[524,-22],[924,22]。

    師:現(xiàn)在可以開始平移了,此時(shí) [y=sin(ωx+φ)=sinπ2x+2πφ],請(qǐng)問根據(jù)題意,向左或向右最多能平移幾個(gè)單位?

    生F:向左或向右最多能平移[24]個(gè)單位。

    師:為什么?

    生F:因?yàn)閇-π2lt;φlt;π2],所以[-22lt;2πφlt;22],為了保證在[x∈0,522]內(nèi)有三個(gè)點(diǎn),向左或向右最多能平移[24]個(gè)單位。

    師:很好?,F(xiàn)在[φ]所滿足的關(guān)系式是什么?

    生F:[-24lt;2πφlt;24]。

    師:很好。答案就是A。

    總結(jié)與反思:解答這類壓軸題,我們要挖掘變量的本質(zhì),一步一步地“退”,退到不能再“退”,這樣變量的本質(zhì)就出來了。三角函數(shù)的圖象與變量的關(guān)系要清楚;要橫看周期,豎看振幅,特殊點(diǎn)看初相。

    師:給大家兩分鐘將此題整理一下,同時(shí)再做一下下面的補(bǔ)漏練習(xí)。

    補(bǔ)漏練習(xí):已知[ωgt;0],順次連接函數(shù)[y=sinωx]與[y=cosωx]的任意三個(gè)相鄰的交點(diǎn)都構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,則[ω=]( )。

    A. [π] B. [6π2] C. [4π3] D. [3π]

    師:答案是多少?

    生G:B。

    [案例2](第五次周考第16題)銳角[△ABC]中,[a、b、c]為角[A、B、C]所對(duì)的邊,點(diǎn)[G]為[△ABC]的重心,若[AG⊥BG],則[cosC]的取值范圍為" " " " " " "。

    師:題目中的哪幾個(gè)條件比較關(guān)鍵?

    生H:銳角、重心和垂直。

    師:很好。怎么解讀這三個(gè)條件?

    生H:看到銳角,我會(huì)想到三個(gè)內(nèi)角都是銳角,或三條邊中任何兩邊的平方和大于第三邊。看到重心,我會(huì)想到重心的性質(zhì):(1)重心是三條中線的交點(diǎn),并把中線分成2比1;(2)重心的坐標(biāo)是三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)和的三分之一;(3)向量[GA]、[GB]、[GC]的和為零向量。看到垂直,我會(huì)想到勾股定理。

    師:非常好。根據(jù)生H的分析,大家再看看能否解答該題?

    生H:延長[AG]、[BG]分別交[BC]、[AC]于[E]、[D](如圖3),設(shè)[GE=x],[DG=y],則[c2=4x2+4y2],[b24=4x2+y2],[a24=x2+4y2],所以[5c2=a2+b2],又[cosC=a2+b2-c22ab=25ba+ab],又[c2+a2gt;b2],[c2+b2gt;a2],所以[23lt;b2a2lt;32],由雙勾函數(shù)的圖象可知[cosC∈45,63]。

    師:很好。按照剛才的條件轉(zhuǎn)化,很快就可以解決問題。

    生I:連接[CG]并延長[CG]交[AB]于點(diǎn)[F],在找三邊關(guān)系式時(shí),根據(jù)題意可知[CF=32c],在△[AFC]中[b2=c24+9c24-2×c2×c4cos∠AFC],在△[BFC]中[a2=c24+9c24-2×c2×c4cos(π-∠AFC)],兩式相加得[5c2=a2+b2],下面的同上。

    師:能發(fā)現(xiàn)[CF=32c],再利用兩次余弦定理,非常好。

    生J:對(duì)[CF=12]([CA+CB])兩邊平方,再用一次余弦定理,就可以得到[5c2=a2+b2]。

    生H:平行四邊形的對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和,或者根據(jù)中線長定理,很容易得到[5c2=a2+b2]。

    學(xué)生踴躍發(fā)言,但都是圍繞[5c2=a2+b2]進(jìn)行討論,難道就沒有別的辦法了嗎?垂直就不能轉(zhuǎn)化成別的了嗎?這時(shí),學(xué)習(xí)委員(生K)站起來發(fā)言了。

    生K:我的方法跟他們都不一樣。因?yàn)閇AG⊥BG],所以我想到的是點(diǎn)[G]的軌跡是以[AB]為直徑的圓。取[AB]的中點(diǎn)為[O],則[OC=3OG=32AB],所以點(diǎn)[C]在以[O]為圓心,[32AB]為半徑的圓上。為了保證△[ABC]為銳角三角形,則點(diǎn)[C]只能在[DE]上或?qū)ΨQ的下方(如圖4),由對(duì)稱性可知,當(dāng)點(diǎn)[C]在[D]或[E]時(shí),角[C]最??;當(dāng)點(diǎn)[C]在[F]時(shí),角[C]最大。根據(jù)等量關(guān)系可以求出[cosC∈45,63]。

    師:非常好。生K跳出了三角形,借助圓得到了答案,為他點(diǎn)贊。你能證明你所求的取值范圍的正確性嗎?

    生K:可采用坐標(biāo)法,以[O]為原點(diǎn),[AB]所在直線為[x]軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)[AB=2],則[C]的軌跡為 [x2+y2=9(-1lt;xlt;1)],[cosC=CA·CB2CACB=425-x2∈45,63]。

    生A:以[GA]、[GB]分別為[x]軸和[y]軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)[A(m,0)][,B(0,n)],則[C]為(-m,-n),[cosC=CA·CB2CACB]可以表示成[m]、[n]的函數(shù)。再利用三個(gè)內(nèi)角都是銳角,等價(jià)于向量的數(shù)量積大于0,求出[m]、[n]滿足的不等式,進(jìn)而求出范圍。

    師:很棒!建立直角坐標(biāo)系遵循對(duì)稱和垂直的原則,生A做得非常好,希望大家再動(dòng)手算算。

    總結(jié)與反思:該類壓軸題條件繁多,要逐個(gè)擊破,任何一個(gè)單一的條件大家都理解,但是放在一起也要能整合信息,達(dá)到解題的目的。三角形與向量是一個(gè)很好的結(jié)合點(diǎn),能夠很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

    師:請(qǐng)用兩分鐘的時(shí)間整理,并解答下面的題目。

    題目:如圖5,已知[O]為[△ABC]的重心,[∠BOC=90°],若[4BC2=AB·AC],則[A]的大小為" " " " " " " " "。

    生B:[π3]。

    師:這套試卷的兩道壓軸題恰好都是考查三角,下面我們看看高考重點(diǎn)考查三角的哪些知識(shí)和題型。

    五、鏈接高考

    三角的考查每年都不一樣,題目有易有難,主要考查三角函數(shù)公式的熟練運(yùn)用、平移、圖象性質(zhì)、化簡求值、解三角形等問題(含應(yīng)用題)。2024年九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題中考查了兩道三角題,即第7題和第9題,第7題考查恒等變換,第9題考查三角函數(shù)性質(zhì)。下面給出近三年高考及聯(lián)考中的部分三角小題。

    [年份 " "題目 2024年九省聯(lián)考 7.已知[θ∈3π4,π,tan2θ=-4tanθ+π4],則[1+sin2θ2cos2θ+sin2θ=]( )。

    A. [14] B. [34] C. 1 D. [32]

    9.已知函數(shù)[f (x)=sin2x+3π4+cos2x+3π4],則( )。

    A. 函數(shù)[fx-π4]為偶函數(shù)

    B. 曲線[y=f(x)]的對(duì)稱軸為[x=kπ,k∈Z]

    C. [f(x)]在區(qū)間[π3,π2]單調(diào)遞增

    D. [f(x)]的最小值為-2 2023年高考全國甲卷 10. 已知[f(x)]為函數(shù)[y=cos2x+π6]向左平移[π6]個(gè)單位所得函數(shù),則[y=f(x)]與[y=12x-12]的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )。

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2023年高考全國乙卷 6.已知函數(shù)[f(x)=sin(ωx+φ)]在區(qū)間[π6,2π3]單調(diào)遞增,直線[x=π6]和[x=2π3]為函數(shù)[y=f(x)]的圖象的兩條對(duì)稱軸,則[f-5π12=]( )。

    A. [-32] B. [-12] C. [12] D. [32] 2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷 8.已知[sin(α-β)=13,cosαsinβ=16],則[cos(2α+2β)=]( )。

    A. [79] B. [19] C. [-19] D. [-79] 2022年新高考Ⅰ卷 6.記函數(shù)[f(x)=sinωx+π4+b(ωgt;0)]的最小正周期為[T]。若[2π3lt;Tlt;π],且[y=f(x)]的圖象關(guān)于點(diǎn)[3π2,2]中心對(duì)稱,則[fπ2=]( )。

    A. 1 B. [32] C. [52] D. 3 ]

    師:這節(jié)課只講這兩道壓軸題,解答題的壓軸題第21題下次再講。由于高考是選拔性考試,每年的高考數(shù)學(xué)都設(shè)有2到3道壓軸題用來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在高考的備考中,我們要學(xué)會(huì)突破壓軸題。通過平時(shí)的練習(xí),我們應(yīng)讓自己能夠靜心,淡定地去分析、計(jì)算。

    [教學(xué)反思]

    這節(jié)課是試卷評(píng)講課,就題目評(píng)講而言,知識(shí)和方法都講清楚了,師生互動(dòng)較好,體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體。通過兩個(gè)案例的教學(xué)實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo),能夠引導(dǎo)學(xué)生有效突破壓軸題。通過一題多解,學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通,體會(huì)知識(shí)的聯(lián)系。不足之處是兩個(gè)補(bǔ)漏練習(xí)的難度小于例題,可以作為解答例題的引例。補(bǔ)漏練習(xí)還可以再找一些相近的或難度較大的題目。

    (責(zé)任編輯" " 黃春香)

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