基于已知知識的高效課堂教學(xué)研究

［摘 要］傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往將知識劃分為孤立的單元來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，這種孤立、碎片化的學(xué)習(xí)限制了學(xué)生對知識的綜合理解及應(yīng)用。教師應(yīng)實施基于已知知識的課堂教學(xué)，讓學(xué)生將新知識與已有知識建立聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力，促進學(xué)生深入理解和有效應(yīng)用新知識，從而打造高效課堂。

［關(guān)鍵詞］已知知識；高效；課堂教學(xué)

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標(biāo)識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0010-03

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，遵循學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的一般規(guī)律，搭建已知知識到未知知識的橋梁，是學(xué)生理解知識、提升能力的關(guān)鍵。筆者在平時的作業(yè)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于如何解決二次函數(shù)中的線段、面積最值問題存在一定疑惑?；诖耍P者根據(jù)學(xué)生學(xué)情，以已知知識為基礎(chǔ)，以構(gòu)建高效課堂為目標(biāo)，在同一個函數(shù)背景下設(shè)計了一節(jié)關(guān)于二次函數(shù)中的線段、面積最值問題的專題課。本節(jié)課氣氛活躍，學(xué)生參與度高，取得了良好的教學(xué)效果，現(xiàn)與讀者進行分享。

一、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一 基礎(chǔ)熱身

引問1：若點[A（2，4）]，[B（2，1）]，求線段AB的長度。

引問2：若[A（x，yA）]，[B（x，yB）]，求線段AB的長度。

對于引問1，學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，基本上能夠馬上解答。在引問1的基礎(chǔ)上，筆者將問題一般化，繼續(xù)提出引問2，學(xué)生在稍作思考后能得到當(dāng)點[A]與點[B]的上下位置關(guān)系不確定時，[AB=yB-yA]，筆者引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得到用坐標(biāo)表示鉛垂線段長的一般方法，即當(dāng)[AB]∥[y]軸時，[AB=yB-yA]。

緊接著，筆者將引問中的問題置于二次函數(shù)背景下，提出下面的開放性問題。

問題1：如圖1，拋物線[y=-x2+2x+3]與[x]軸交于點[D]、[E]，與[y]軸交于點[C]，在[CE]上方的拋物線上有一動點[A]。若[xA=2]，過點[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，你能求出圖中的哪些量？

學(xué)生在思考后踴躍發(fā)言。

學(xué)生1：將[xA=2]代入拋物線的解析式，可以求出點[A]的坐標(biāo)是（2，3）。

學(xué)生2：點[D]、[E]在[x]軸上，令[y=0]，得到方程[-x2+2x+3=0]，解得[xD=-1]，[xE=3]，從而得到[D（-1，0）]，[E（3，0）]。

學(xué)生3：知道點[C]和點[E]的坐標(biāo)后，可以求出直線[CE]的解析式是[y=-x+3]。

學(xué)生4：因為[AB]∥[y]軸，所以[xB=xA=2]，代入直線[CE]的解析式可以求出點[B]的坐標(biāo)是（2，1）。

教師：很好！剛才同學(xué)們得到了點的坐標(biāo)，有了點的坐標(biāo)，我們就可以求出直線的解析式，除此之外還可以求什么？

學(xué)生5：還可以求出線段的長，比如[OC=OE=3]，[OD=1]，[AB=2]。

學(xué)生6：因為[OC=OE]，所以[△OCE]是一個等腰直角三角形，[∠OCE=∠OEC=45°]，又因為[AB]∥[y]軸，[∠ABC=∠OCE=45°]。

筆者在問題1的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將其中的線段問題一般化，給出變式1。

變式1：若[xA=m]，過[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，求線段[AB]的長（用含[m]的式子表示）。

筆者要求學(xué)生寫出完整的解題過程，并請一名學(xué)生敘述自己的解題過程，然后再進行板書。有了前面問題的鋪墊，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，要求鉛垂線段[AB]的長度，只需要將點[A]、[B]的縱坐標(biāo)表示出來即可，將[xA=m]代入拋物線的解析式可以得到[yA=-m2+2m+3]，將[xB=m]代入直線[CE]的解析式可以得到[yB=-m+3]，進而得到[AB=-m2+3m]。

設(shè)計意圖：點是構(gòu)成幾何圖形最基本的元素，能夠用點的坐標(biāo)表示線段的長是本節(jié)課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。引問從學(xué)生較為熟悉的知識入手，堅持“低起點”，從最基本的求線段長度出發(fā)，既為后面的線段最值問題的求解鋪墊，又符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生能“跳一跳，摘到桃子”。問題1是一個開放性問題，其中所求解的元素在后面的問題中都可以用到，既為后面的問題解決節(jié)省時間，又調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維。變式1的提出是從特殊到一般的轉(zhuǎn)化?！盎A(chǔ)熱身”環(huán)節(jié)給出的幾個基本問題，為后續(xù)問題的提出和解決埋下了伏筆。

環(huán)節(jié)二 拾級而上

在用未知數(shù)表示出線段[AB]的長度后，筆者提出以下鉛垂線段的最值問題。

變式2：過[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，求線段[AB]的最大值。

學(xué)生思考后給出答案。

學(xué)生7：對變式1中的結(jié)果[AB=-m2+3m]進行配方，得到[AB=-m-322+94]，因為平方具有非負性，所以[-m-322≤0]，所以[AB≤94]，即[AB]的最大值是[94]。

教師：當(dāng)[m]取何值時，[AB]取到最大值[94]？

學(xué)生8：當(dāng)[m=32]時，[AB]取到最大值[94]。

教師：[m]能取到[32]嗎？你能求出[m]的取值范圍嗎？

學(xué)生9：可以取到，因為點[A]是[CE]上方拋物線上的動點，所以[0lt;mlt;3]。

教師：很好！對于式子[AB=-m2+3m]，我們可以看成[AB]是關(guān)于[m]的二次函數(shù)，當(dāng)我們利用配方法求二次函數(shù)的最值時，需要考慮自變量的取值范圍，只有當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)，才可以在頂點處取得最值，這是很多同學(xué)會忽略的一點。

接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生對求鉛垂線段最值的一般思路進行總結(jié)，并趁熱打鐵，在變式2的基礎(chǔ)上提出變式3。

變式3：如圖2，過點[A]作[AH⊥CE]于[H]，求線段[AH]的最大值。

教師：剛才我們求的是一條鉛垂線段的最值，現(xiàn)在我們稍微改變一下，過點[A]作[AH⊥CE]于[H]，由圖可知，線段[AH]相對于坐標(biāo)軸是傾斜的，我們把這樣的線段叫作“斜線段”，它的長度的最大值如何求呢？

在學(xué)生思考后，筆者請學(xué)生到講臺進行展示。

學(xué)生10：可以借鑒變式2的方法，過點[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]（如圖3），所以[∠ABC=∠OCE=45°]，[△ABH]是等腰直角三角形，[AH=AB·sin45°=22AB]，在變式2中求出了[AB]的最大值是[94]，代入得[AH]的最大值是[928]。

教師：真棒！這里除了利用三角函數(shù)得到[AH]與[AB]的數(shù)量關(guān)系，還可以用什么方法？

學(xué)生11：利用[△ABH]∽[△ECO]也可以得到[AH=22AB]。

教師：剛才我們已經(jīng)求出了斜線段[AH]的最大值，那么接下來我們還能求誰的最值呢？

學(xué)生12：還能求三角形面積的最值。

教師順勢給出變式4。

變式4：如圖4，連接[AC]、[AE]，求[△ACE]面積的最大值。

有了前面問題的鋪墊，學(xué)生在思考后積極發(fā)言。

學(xué)生13： 如圖5，過點[A]作[AH⊥CE]，因為[S△ACE=12CE·AH]，[CE]是定值[32]，要求[△ACE]面積的最大值，只需求[AH]的最值，過點[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，由變式3可以得到[AH=22AB]，所以[S△ACE=322AH=322×22AB=32AB]，線段[AB]的最大值在變式2中已經(jīng)求出，代入上式就可以得到[S△ACE]的最大值是[278]。

學(xué)生14： 我們也可以只作一條輔助線，過點[A]作[AB]∥[y]軸交[CE]于點[B]，則[S△ACE=S△ABC+S△ABE=12AB（xA-xC）+12AB（xE-xA）=12AB（xE-xC）=32AB]，所以只要求[AB]的最值就可以了。

教師：在這里，我們由鉛垂線段[AB]的最值得到了“斜線段”（高）[AH]的最值，最后求出了[△ACE]面積的最值。反過來，我們也可以利用割補法直接得到關(guān)系式[S△ACE=12AB（xE-xC）=32AB]，進而由[AB]的最值得到[△ACE]面積的最值，再由[S△ACE=12CE·AH]求出斜線段[AH]的最值，這為變式3的解決提供了新的思路。

緊接著，筆者將變式2至變式4中的三個圖形整合在一起，讓學(xué)生觀察三個圖中點[A]的位置有什么共同點。經(jīng)過仔細分析，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)點[A]在直線[CE]的上方。

筆者繼續(xù)追問：如果點[A]在直線[CE]的下方，還能求出變式2至變式4中的最值嗎？從而讓學(xué)生體會編題的嚴(yán)謹(jǐn)性，為后續(xù)引出問題2埋下伏筆。

設(shè)計意圖：變式2至變式4由淺入深，螺旋式上升，將鉛垂線段、斜線段、三角形的面積最值問題在同一個函數(shù)背景下連成線，在變式1的基礎(chǔ)上解決變式2中鉛垂線段的最值問題，在變式2的基礎(chǔ)上解決變式3中斜線段的最值問題，進而實現(xiàn)變式4中面積最值問題向線段最值問題的轉(zhuǎn)化。縱觀這三個變式可以發(fā)現(xiàn)，解決問題的方法可以歸根為研究鉛垂線段的最值問題。此環(huán)節(jié)題目不多，但內(nèi)容豐富，層層遞進，既節(jié)省了課堂時間，避免了課堂重復(fù)，又讓學(xué)生深刻理解了點、線、面之間的聯(lián)系，能夠幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知體系，培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，提高學(xué)生的解決問題能力。

環(huán)節(jié)三 拓展生成

問題2：如圖6，已知拋物線[y=12x2-x-4]，點[P]是拋物線上的一個動點，請根據(jù)這節(jié)課所學(xué)的知識添加適當(dāng)?shù)臈l件，編一道與線段或面積有關(guān)的最值題，并求解。

在給出問題2后，筆者強調(diào)設(shè)計的題目應(yīng)具備合理性與嚴(yán)謹(jǐn)性，并讓學(xué)生進行小組討論。整個過程學(xué)生興趣高漲，積極思考，大部分學(xué)生能夠在變式2至變式4的基礎(chǔ)上編制常規(guī)的線段、面積最值題，并進行求解，也有部分學(xué)生自主創(chuàng)新，編制出了較為新穎的題目。

學(xué)生15：如圖7，已知拋物線[y=12x2-x-4]，點[P]是第四象限拋物線上的一個動點，連接[AC]、[BP]、[CP]，求四邊形[ACPB]面積的最大值。我們可以利用割補法求解，連接[BC]，[S四邊形ACPB=S△ABC+S△PBC ]，[S△ABC]是定值，所以只要求[△PBC]面積的最大值即可，[△PBC]面積的最大值的求解方法和變式4一樣。

學(xué)生16：如圖8，已知拋物線[y=12x2-x-4]，點[P]是第四象限拋物線上的一個動點，點[Q]是平面內(nèi)的一個動點，且四邊形[BQCP]是平行四邊形，當(dāng)平行四邊形[BQCP]的面積最大時，求點[Q]的坐標(biāo)。

教師：這道題目的綜合性較強，如何求解？

學(xué)生17：連接[BC]，[S?BQCP=2S△PBC]，當(dāng)[?BQCP]的面積最大時，[△PBC]的面積也最大，利用變式4的方法可以求出點[P]的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用平移法或中點法即可求出點[Q]的坐標(biāo)。

經(jīng)過一系列的生成與問題解決，學(xué)生的思維不斷碰撞。教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解決這類問題的一般方法，體會“萬變不離其宗”的意境。

設(shè)計意圖：問題2是一個開放性問題，鼓勵學(xué)生在深刻掌握變式問題的基礎(chǔ)上進行編題，可使學(xué)生從教師的角度理解所學(xué)知識，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效手段。雖然此處讓學(xué)生自己探索編題的過程明顯比教師直接給出題目讓學(xué)生做耗時更長，但學(xué)生興趣更加濃厚，思考更加主動，生成更加自然。學(xué)生合作探究，可以優(yōu)化思維過程；學(xué)生主動創(chuàng)造，可以提升思維能力，真正成為學(xué)習(xí)的主人。

二、教學(xué)反思

本次教學(xué)結(jié)合二次函數(shù)中的典型問題——線段、面積最值問題，通過問題串的形式將教學(xué)內(nèi)容串成一線，從已知知識層次逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰μ嵘?、思維創(chuàng)新層次，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進，不同問題間的過渡自然，有利于學(xué)生理解。在問題設(shè)計上，以同一個函數(shù)為背景，在已知方法的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生尋找不同問題的解決方法的共性，建立聯(lián)系點，壓縮學(xué)生機械演算的過程，增加學(xué)生思維的時間，有效地助推了高效課堂的構(gòu)建，提高了學(xué)生的思維能力。

綜上可知，教師的教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已知知識的基礎(chǔ)上。教學(xué)中，教師應(yīng)著眼于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，創(chuàng)設(shè)問題情境引發(fā)學(xué)生思考，將“未知”與“已知”進行整合串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)展的過程，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維進行演算與推理，進而真正實現(xiàn)高效教學(xué)。

（責(zé)任編輯 黃春香）