例談多面體截面的作法

在立體幾何的問(wèn)題解決中，經(jīng)常需要用一個(gè)平面去截多面體，然后借助所得到截面的形狀，求截面的周長(zhǎng)、面積等．由于高中數(shù)學(xué)教材沒(méi)有明確給出截面的定義，多數(shù)學(xué)生也就沒(méi)能很好地理解截面的概念．這就導(dǎo)致與截面相關(guān)的問(wèn)題幾乎多會(huì)成為學(xué)生心目中的難題．本文擬以一些具體的案例探討多面體截面的作法，亦能幫助學(xué)生掌握多面體截面的作法，從而為相關(guān)問(wèn)題的解決奠定基礎(chǔ)．

1 多面體的截面的定義

在立體幾何中，學(xué)生最初接觸的截面的相關(guān)知識(shí)是臺(tái)體的形成過(guò)程——用一個(gè)平行于底面的平面去截錐體，截面和底面之間的部分稱(chēng)為臺(tái)體．其次就是旋轉(zhuǎn)體的軸截面．這里面并沒(méi)有涉及到截面的定義．如果教師沒(méi)有進(jìn)行解釋?zhuān)瑢W(xué)生對(duì)截面的概念模糊不清．比如，圖1-1的正方體ABCDEFGH?，JI，為棱AE和EH的中點(diǎn)，求過(guò)GIJ，，三點(diǎn)的截面面積．此題學(xué)生往往求成是GIJΔ的面積，錯(cuò)誤的根本原因就是不理解截面的定義．

基于上述理解，本文借鑒相關(guān)文獻(xiàn)，給出截面的定義：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截得的平面圖形叫截面．

從上述定義可以看出，截面其實(shí)就是平面和幾何體表面的交線圍成的圖形．如果幾何體是多面體，平面和多面體的幾個(gè)面相交，就會(huì)有幾條交線，就叫幾邊形．比如，一個(gè)平面和多面體的四個(gè)面相交，就有四條交線，圍成的就是四邊形．

2 多面體截面的作法

由于交線是在幾何體的表面，所以，只要找到平面和幾何體表面的交線，就可以確定截面的形狀．基于這樣的理解，多面體被一個(gè)平面所截得的截面的常用作法有直接法、平行線法、延長(zhǎng)線法和投影相交法．

2.1 直接法

圖2-1中的正方體ABCDEFGH?，作過(guò)ACH，，三點(diǎn)的截面．由于不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，于是只要連接這三點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)三條連線均在正方體的表面，它們就剛好是平面與正方體的交線．顯然，平面ACH截正方體所得的截面圖形就是ACHΔ（圖2-2）．同理，圖2-3中過(guò)KLM，，三點(diǎn)的平面去截三棱錐所得的截面就是KLMΔ（圖2-4）．像這樣，所給點(diǎn)的連線均在幾何體的表面，直接連接這些點(diǎn)就可以得到所要的截面形狀．

上述作法表明：若給定的點(diǎn)的連線均在多面體的表面，直接連就得到截面的形狀．

2.2 平行線法

顯然，圖1-1中GIJΔ的邊GJ沒(méi)有在幾何體的表面，而是在幾何體的內(nèi)部．由于平面具有延展性，只要作出這個(gè)平面延展出來(lái)以后和正方體表面的交線，就可以得到截面的形狀．

由于平面//ADHE平面BCGF得到//IJ平面BCGF，再由線面平行的性質(zhì)定理可知//IJ交線，平面GIJ與平面BCGF有一個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)公理“兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則有且僅有一條公共直線過(guò)該點(diǎn)”可知，過(guò)G在平面BCGF內(nèi)作IJ的平行線，即兩平面的交線BG，如圖1-2．連接BJ，由公理“直線的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則整條直線在這個(gè)平面內(nèi)”，會(huì)發(fā)現(xiàn)BJ也是平面GIJ和幾何體的外表面的交線．所求截面即等腰梯形BGIJ，如圖1-3．

對(duì)于圖3-1三棱錐ABCD?，點(diǎn)EFG，，分別是棱AB，AC，CD的中點(diǎn)，過(guò)EFG，，三點(diǎn)做三棱錐的截面．可以看到圖3-2中EF和FG均在錐體的表面，但是EG在多面體的內(nèi)部，所以需要將平面進(jìn)行延展．

同樣根據(jù)上述過(guò)程，只要在平面BCD中作過(guò)G點(diǎn)與EF的平行線即可．取BD的中點(diǎn)H，連接GH和EH，就得到截面即平行四邊形EFGH，如圖3-3．

上述作法表明：若兩點(diǎn)連線平行于另一點(diǎn)所在平面，可以過(guò)該點(diǎn)在此平面內(nèi)作連線的平行線構(gòu)造截面．

2.3 延長(zhǎng)線法

圖4-1的正方體ABCDABCD′′′′?中，EF，是棱AD′′和棱CD′′的三等分點(diǎn)，求過(guò)BEF，，三點(diǎn)的截面形狀．

如圖4-2過(guò)這三點(diǎn)的連線只有EF在正方體的表面，其余兩條都在正方體的內(nèi)部，要得到截面的完整形狀，需要延展平面，如何延展呢？作平行線可行嗎？

由公理“兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，則有且僅有一條公共直線過(guò)該點(diǎn)”知道B為平面BEF與平面ABCD的公共點(diǎn)，則B一定在兩個(gè)平面的交線上．

假設(shè)交線為m，因?yàn)?/EFAC，所以//EF平面ABCD，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，//EFm．過(guò)B點(diǎn)作EF的平行線m，平面BEF和底面ABCD的交線出來(lái)了．雖然m不在正方體的表面上．但不難發(fā)現(xiàn)m會(huì)與底面ABCD的棱DA和DC相交，不妨設(shè)交點(diǎn)為GH，，如圖4-3．由于EG，都在平面ADDA′′和平面ABCD上，根據(jù)公理，連接EG，EG就是兩個(gè)平面的交線．EG與棱AA′交于一點(diǎn)，設(shè)為P，連接BP，則BP就是平面ABBA′′與平面BEF的交線，如圖4-4．同理連接FH，F(xiàn)H與棱CC′交于點(diǎn)Q，連接BQ，就把平面BEF和正方體外表面的交線全部做出來(lái)了，截面是五邊形BPEFQ，如圖4-5．

像上面這種構(gòu)造截面，既需要平行線，也需要延長(zhǎng)線．

當(dāng)然，也可以只做延長(zhǎng)線也能作出截面．首先，延長(zhǎng)EF交棱BA′′于點(diǎn)M，交BC′′于點(diǎn)N，即圖5-1；連接BM和BN，分別交AA′和CC′于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，即圖5-2；連接EP和FQ，即可得到截面BPEFQ，即圖5-3．

圖6-1，6-2，6-3，6-4四種情況，即點(diǎn)S在棱BC、棱CC′、面ABCD、面ABBA′′上時(shí)，均可按照以上方法做出截面．

圖7-1的五棱錐ABCDEF?中，OGH，，分別是棱ACAFAE，，上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：AOOC=，AG= 2GF，2HEAH=，求過(guò)OGH，，三點(diǎn)的截面形狀．

容易發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)CB和CD與直線EF分別交于PQ，兩點(diǎn)．連接APAQ，，如圖7-2；作直線GH，交PQ和AQ于MN，兩點(diǎn)，如圖7-3；再連接NO交AD于R，延長(zhǎng)NO交CQ于點(diǎn)U，連MU交BF于S點(diǎn)，交BC于點(diǎn)T，如圖7-4；即可得到截面為六邊形ORHGST，如圖7-5．

2.4 投影相交法

圖8-1的正方體ABCDABCD′′′′?中，EFG，，分別為棱ADABCC′′′，，的中點(diǎn)，求過(guò)EFG，，的截面． 發(fā)現(xiàn)題中EFG，，三點(diǎn)的連線均在正方體內(nèi)部，都不在正方體表面，如何作截面呢？如果能找出三條線中的一條EG（為了直觀）與另一點(diǎn)F所在平面的交點(diǎn)，就可以構(gòu)造截面了．接著，兩條相交直線交于一點(diǎn)，不妨作EG在平面ABCD上的投影EC′（E′為棱AD的中點(diǎn)），則EG和EC′交于點(diǎn)H，H在平面ABCD內(nèi)，連接FH，交棱DCBCDA，，的延長(zhǎng)線分別于MNQ，，，如圖8-2；連接GM并延長(zhǎng)交DC′′于點(diǎn)S，連接EQ交棱AA′于點(diǎn)P，如圖8-3；則作出截面正六邊形EPFNGS，即圖8-4．

我們也可以改變EFG，，三點(diǎn)的位置，不一定都在棱上，也可以在面上，同樣用此法也能做出來(lái)．

3 結(jié)束語(yǔ)

從作圖過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)，作過(guò)三點(diǎn)的平面和截幾何體的截面，不僅需要理解截面的定義、特征，還需要應(yīng)用公理化思想和線面位置關(guān)系的性質(zhì)定理等，這不僅僅是簡(jiǎn)單的作圖，還是對(duì)立體幾何內(nèi)容的融會(huì)貫通和實(shí)際應(yīng)用．

本文探討、總結(jié)了過(guò)三點(diǎn)作截面的四種方法：直接法、平行線法、延長(zhǎng)線法、投影相交法．這四種方法對(duì)應(yīng)截面和幾何體表面相交的交線數(shù)量從多到少的過(guò)程，截面的作法難度也是層層加碼．