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    Sprott-D不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步

    2024-01-01 00:00:00毛北行李德奎王東曉王建軍
    關(guān)鍵詞:同步滑模

    摘要:基于非線性混沌系統(tǒng)滑模方法,根據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論和同步控制方法研究Sprott-D不確定分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑??刂婆c同步,并用MATLAB仿真程序?qū)Y(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.結(jié)果表明,在一定的假設(shè)下,Sprott-D不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的主從系統(tǒng)可取得自適應(yīng)滑模同步.關(guān)鍵詞:分?jǐn)?shù)階;Sprott-D系統(tǒng);滑模;同步

    中圖分類號(hào):O482.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A文章編號(hào):1671-5489(2024)05-1235-06

    Adaptive Sliding Mode Synchronization of Sprott-D Uncertain Fractional-Order Chaotic Systems

    MAO Beixing',LI Dekui2,WANG Dongxiao,WANG Jianjun

    (1.School of Mathematics,Zhengzhou University of Aeronautics,Zhengzhou 450046,China;2.School of Public Health,Gansu University of Chinese Medicine,Lanzhou 730000,China)

    Abstract:Based on the sliding mode method of nonlinear chaotic systems,the sliding mode control and synchronization of Sprott-D uncertain fractional-order systems were studied according to the fractional-order stability theory and synchronous control method,and the results were verified by using MATLAB simulation program.The results show that the Sprott-D uncertain fractional-order chaotic systems corresponding to the master-slave systems can achieve adaptive sliding mode synchronization under certain assumptions.

    Keywords:fractional-order;Sprott-Dsystem;slidingmode;synchronization

    目前,混沌同步已引起人們廣泛關(guān)注[.由于滑模控制具有良好的魯棒性能,因此其響應(yīng)速度較快、動(dòng)態(tài)性能較好[3~],隨著分?jǐn)?shù)階微分建模方法的發(fā)展,分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑??刂蒲芯恳讶〉昧溯^多成果[5-16]:如文獻(xiàn)[10]研究了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步,設(shè)計(jì)了自適應(yīng)律和控制輸入,使主從系統(tǒng)取得滑模同步;文獻(xiàn)[11]研究了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)滑模同步,設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階滑模函數(shù)和控制器,獲得驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)滑模同步的充分條件;文獻(xiàn)[12]通過(guò)滑動(dòng)模態(tài)控制方法研究了分?jǐn)?shù)階混沌Duffling系統(tǒng)的終端滑模同步;文獻(xiàn)[13-14]分別基于自適應(yīng)規(guī)則的設(shè)計(jì)研究了分?jǐn)?shù)階混沌及多混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步;文獻(xiàn)[15-16]分別研究了分?jǐn)?shù)階不確定時(shí)滯金融混沌系統(tǒng)的滑模同步及分?jǐn)?shù)階Bao超混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步.由于Sprott混沌系統(tǒng)代表一大類非線性控制系統(tǒng)且應(yīng)用廣泛,因此已引起人們廣泛關(guān)注:文獻(xiàn)[17]研究了Sprott-I混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析;文獻(xiàn)[18]研究了Sprott混沌系統(tǒng)的分析和控制;文獻(xiàn)[19]研究了Sprott-O系統(tǒng)的延遲反饋控制;文獻(xiàn)[20]研究了Sprott-D混沌系統(tǒng)的非線性H控制;文獻(xiàn)[21]研究了非線性Sprott分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步.此外,系統(tǒng)的不確定性以及存在外部擾動(dòng),使系統(tǒng)的穩(wěn)定性受損,且利用自適應(yīng)滑模研究方法處理分?jǐn)?shù)階Sprott-D不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問(wèn)題目前文獻(xiàn)報(bào)道較少.基于此,本文根據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論研究Sprott-D不確定分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑??刂婆c同步,得到主從系統(tǒng)取得滑模同步的充分條件,并用MATLAB數(shù)值仿真對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證.

    1主要結(jié)果

    定義1[22]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

    分?jǐn)?shù)階Sprott-D混沌系統(tǒng)[21]為

    當(dāng)a=1.1,b=3,q=0.995,系統(tǒng)初始值(x1(0),x2(0),x3(0))=(-2,0.2,0.5),(y1(0),y2(0),y3(0)=(1,1,1)時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)吸引子,如圖1所示.

    以式(1)為主系統(tǒng),設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

    其中△f((t)為不確定項(xiàng),(t)=(y1,y2,y3)T,d(t)為系統(tǒng)外部擾動(dòng),u(t)為控制輸入,定義e1=y1-x1(i=1,2,3),得

    假設(shè)1“△f(φ(t)”≤g,“d(t)”≤h,其中未知參數(shù)g,hgt;0.

    假設(shè)2y1lt;0.

    引理1若x()為連紋可微函數(shù),則有x()xD)Va0

    引理2設(shè)V()=(()+2().若存在常數(shù)kgt;0.使得DV(D≤-k(D).則2()≤2V()(-2k).即lim1(t)=0

    定理1在假設(shè)1,2條件下,構(gòu)造滑模面s(t)=e2-e1,控制量為

    自適應(yīng)律為

    其中g(shù),h分別為g,h的估計(jì)值,6gt;0,則主從系統(tǒng)(1)和(2)自適應(yīng)滑模同步.

    證明:當(dāng)在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足s=0,可得e1=e2,由式(3)第1個(gè)方程De1=-e2,得De2=-e2→e2→0.由De1=-e1→e1→0,根據(jù)式(3)第3個(gè)方程,得

    由于by3bx3=b(y2+x2)e2,且混沌系統(tǒng)執(zhí)跡有界,因此(by3-bx3)→0.式(6)可改寫為

    因e1→0,故式(7)變?yōu)镈e3=y1e3,由假設(shè)2,可得e3→0.

    當(dāng)不在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)構(gòu)造V=+(g-+)根據(jù)引理1求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

    根據(jù)引理2可知,|s(t)12≤2V(0)E(-2k),從而s(t)→0.

    整數(shù)階Sprott-D混沌系統(tǒng)[20]為

    以式(8)為主系統(tǒng),設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

    其中△f(φ(t)為不確定項(xiàng),φ(t)=(y1,y2,y3)T,d(t)為系統(tǒng)外部擾動(dòng),u(t)為控制輸入,定義e1=y1-x1(i=1,2,3),得

    引理3若函數(shù)()0)上一致連紋并且存在廣義分「。則有

    定理2在假設(shè)1,2條件下,構(gòu)造滑模面s(t)=e2-e1,控制量為式(4).自適應(yīng)律為

    其中g(shù),h分別為g,h的估計(jì)值,δgt;0,則主從系統(tǒng)(8)和(9)自適應(yīng)滑模同步.

    證明:當(dāng)在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足s=0,可得e1=e2,由式(10)第1個(gè)方程e1=-e2,得

    根據(jù)式(10)第3個(gè)方程,得

    由于by3-bx2=b(y2+x2)e2,且混沌系統(tǒng)跡有界,因此(y3-bx2)→0.式(12)可改寫為

    因e1→0,故式(13)變?yōu)閑3=y1e3,由假設(shè)2,可得e3→0.

    當(dāng)不在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)計(jì)V=+g-g+)求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

    2MATLAB仿真

    利用MATLAB仿真程序?qū)ι鲜鰞蓚€(gè)定理中的系統(tǒng)誤差進(jìn)行數(shù)值仿真,選取系統(tǒng)參數(shù)a=1.1,b=3,q=0.995,8=2,(m(0),n(0)=(2,1.5).分?jǐn)?shù)階Sprott-D混沌系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的主從系統(tǒng)的狀態(tài)初始值為

    不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)為△f(φ(t)+d(t)=-0.1(cost)y2+0.1cost.

    由定理1和定理2構(gòu)造s(t)=e2-e1,控制量為式(4),定理1的自應(yīng)律為式(5),定理2的自話應(yīng)律為式(11).定理1和定理2中的系統(tǒng)誤差分別如圖2和圖3所示.

    由圖2和圖3可見(jiàn),誤差隨時(shí)間推移逐漸趨于一致并收斂到原點(diǎn).定理1比定理2達(dá)到同步所需的時(shí)間更短,定理1中系統(tǒng)誤差約在0.224s后快速趨于坐標(biāo)原點(diǎn),定理2中系統(tǒng)誤差約在0.276s后逐漸趨于坐標(biāo)原點(diǎn).這是由于兩個(gè)定理中雖然所設(shè)計(jì)的控制器和滑模函數(shù)相同,但定理1中采用了分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)控制律,從而優(yōu)于整數(shù)階自適應(yīng)律.與傳統(tǒng)滑模面相比,本文設(shè)計(jì)的滑模函數(shù)和控制器形式更簡(jiǎn)潔,因而控制代價(jià)小且更易實(shí)現(xiàn).

    針對(duì)分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)一般均采用滑模魯棒控制方法,本文借助分?jǐn)?shù)階微分性質(zhì)和分?jǐn)?shù)階控制理論研究了Sprott-D分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的滑模同步,通過(guò)構(gòu)造合適的滑模函數(shù)、控制輸入和自適應(yīng)律得到了分?jǐn)?shù)階Sprott-D混沌系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)滑模同步的充分條件.

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    (責(zé)任編輯:王?。?/p>

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