新工科背景下常微分方程課程教學(xué)改革舉措

康霞霞 賀 艷 劉艷梅 石曉玲

①呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系 ②常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)系

根據(jù)呂梁地方應(yīng)用型本科院校的實(shí)際情況，結(jié)合新工科背景下以O(shè)BE為導(dǎo)向的高校人才培養(yǎng)需求特點(diǎn)，以常微分方程這門課教學(xué)改革為例，提出實(shí)踐性教學(xué)改革的具體舉措.以進(jìn)一步強(qiáng)化地方應(yīng)用型本科院校的人才培養(yǎng)工作，助推培養(yǎng)創(chuàng)新型多元化人才，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo).

早在2018年，《關(guān)于加快建設(shè)發(fā)展新工科實(shí)施卓越工程師教育培養(yǎng)計(jì)劃2.0的意見》中就已提出，要推進(jìn)教學(xué)創(chuàng)新和綜合改革，培養(yǎng)復(fù)合型的“新工科”人才.隨后，教育部高教司司長吳巖，于2019年在上海關(guān)于“以新工科建設(shè)領(lǐng)跑中國高等教育變革”的講話，再次明確指出要落實(shí)課程改革創(chuàng)新舉措，提出“兩性一度”課程建設(shè)標(biāo)準(zhǔn).與此同時，教育部在《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見》中也明確指出，課程要體現(xiàn)跨專業(yè)能力融合、多學(xué)科思維融合、產(chǎn)業(yè)技術(shù)與學(xué)科理論融合.作為各地高校數(shù)學(xué)系本科生的專業(yè)必修課，常微分方程，在新工科背景下努力探索這門課教學(xué)改革的實(shí)踐性舉措勢在必行.下面將從課程目標(biāo)和教學(xué)改革的實(shí)踐性舉措這兩個方面介紹常微分方程這門課的教學(xué)改革.

一、課程目標(biāo)

新工科背景下基于OBE理念結(jié)合呂梁學(xué)院人才培養(yǎng)目標(biāo)，數(shù)學(xué)系常微分方程課程組設(shè)定課程目標(biāo)為：知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、實(shí)踐目標(biāo)與人文素質(zhì)目標(biāo).知識目標(biāo)指通過該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解常微分方程的基本理論，掌握一些常微分方程的基本求解方法，并能夠運(yùn)用相關(guān)的理論知識結(jié)合實(shí)際問題構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型.能力目標(biāo)是指課程教學(xué)中有意識地引導(dǎo)并培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、嚴(yán)密推理和創(chuàng)新思維意識，進(jìn)而培養(yǎng)大學(xué)生自學(xué)能力、邏輯推導(dǎo)能力、抽象思維能力和創(chuàng)新能力等.此外，呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)生在常微分方程這門課開課之前，已經(jīng)通過一些實(shí)踐性課堂對matlab、mathematics、maple等軟件的使用有了初步的掌握.因此，這里的實(shí)踐目標(biāo)是指要求學(xué)生會在掌握理論知識的基礎(chǔ)上，熟練利用這些軟件編寫相應(yīng)代碼，最后借用數(shù)學(xué)軟件分析有關(guān)常微分方程問題的能力.此外，常微分方程這門課也是與諸多領(lǐng)域的實(shí)際問題聯(lián)系緊密的應(yīng)用型課程，在教學(xué)中融入思政教育，不僅可以豐富課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也能更好地實(shí)現(xiàn)知識傳授與價值引領(lǐng)的有機(jī)結(jié)合.因此，所謂的人文素質(zhì)目標(biāo)一方面是指教師充分挖掘數(shù)學(xué)資源在課堂中滲透一些數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)；另一方面是指教師充分挖掘思政元素，在常微分方程課堂教學(xué)中滲透思政教育，使得學(xué)生子在學(xué)習(xí)理論知識的同時，提升自己的思想政治素質(zhì).

二、新工科背景下教學(xué)改革的具體舉措

新工科背景下的OBE理念重點(diǎn)關(guān)注想讓學(xué)生取得什么學(xué)習(xí)成果，為什么讓學(xué)生取得這些成果，如何幫助學(xué)生取得這些學(xué)習(xí)成果以及怎么知道學(xué)生取得了這些成果.因此，常微分方程這門課教學(xué)改革的實(shí)踐性舉措也將圍繞這四個問題采取有效的改革措施.

（一）借助數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)。

隨著互聯(lián)網(wǎng)時代的飛速發(fā)展，常微分方程的教學(xué)也由傳統(tǒng)的72個理論課時，改革為48個理論課和16個實(shí)驗(yàn)課相結(jié)合.但是傳統(tǒng)教學(xué)模式下實(shí)驗(yàn)課和理論課是相分離、并未互相支撐.為了克服這一弊端，課程團(tuán)隊(duì)在平時教學(xué)也采用matlab、maple等軟件求解常微分方程，也提倡學(xué)生在平時學(xué)習(xí)中結(jié)合自己熟悉的數(shù)學(xué)軟件輔助學(xué)習(xí)這門課程.這些數(shù)學(xué)軟件的使用，不僅避免了傳統(tǒng)教學(xué)重?cái)?shù)學(xué)推導(dǎo)輕數(shù)值求解的問題，而且也使數(shù)學(xué)由傳統(tǒng)的紙和筆的大篇幅抽象推導(dǎo)變的更加直觀現(xiàn)實(shí).選擇數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識和創(chuàng)新意識[1].

（二）采用應(yīng)用問題驅(qū)動下的案例教學(xué)。

問題驅(qū)動下的案例教學(xué)是常微分方程教學(xué)過程中重要的組成部分.常微分方程這門課理論知識量大，邏輯性很強(qiáng)，應(yīng)用面也非常廣.傳統(tǒng)的教學(xué)模式將依賴于教材注重理論推導(dǎo)和計(jì)算，使得課堂僅僅停留在告知學(xué)生怎么做，不能激發(fā)學(xué)生對這門課的興趣，也未能實(shí)現(xiàn)四維課程目標(biāo)[2].而應(yīng)用問題驅(qū)動下的案例教學(xué)以提問的方式將理論知識轉(zhuǎn)化為具體的實(shí)際問題，并在解決問題的過程中將理論知識滲透給學(xué)生.換言之，教師設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵問題，準(zhǔn)確捕捉數(shù)學(xué)信息，從而找到解決問題的線索.

下面將結(jié)合具體實(shí)例詳細(xì)介紹應(yīng)用問題驅(qū)動下的案例教學(xué)模式.

例如，在講解完伯努利微分方程的求解方法時，可以嘗試讓學(xué)生解決如下實(shí)際問題，以檢驗(yàn)學(xué)生的掌握情況以及提升對所學(xué)知識的應(yīng)用能力.

假設(shè)在某偏僻小島上居住有800人，某一天發(fā)現(xiàn)有居民感染某種傳染病，在隨后12小時又相繼發(fā)現(xiàn)有3位居民感染，但是該傳染病早期沒有任何癥狀，島上醫(yī)療條件缺乏，居住條件有限.因此，這些染病者并未能及時隔離，假設(shè)能有效預(yù)防該傳染病的疫苗能在60～72小時左右送達(dá)島嶼，試問在什么時候該傳染病達(dá)到高峰期？

引導(dǎo)學(xué)生嘗試通過構(gòu)建關(guān)于染病者的數(shù)學(xué)模型解決該問題.

分析問題：傳染病傳播不同階段，傳播速率大不相同.這里將重點(diǎn)分析傳播中期，染病者和未染病者人數(shù)都比較多的情形.此時，染病者人數(shù)的增加必然與未染病者和染病者的有效接觸密切相關(guān).

提出假設(shè)：基于上述分析，假設(shè)傳染率與未染病者和染病者呈正相關(guān).

構(gòu)建模型：設(shè)t時刻染病者人數(shù)為I(t)則基于上述假設(shè)可構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：

解決問題：結(jié)合理論分析結(jié)果可知，該島嶼上的疫情預(yù)計(jì)將在72.8小時左右達(dá)到高潮，且感染的最大規(guī)模預(yù)計(jì)為400人.

這一應(yīng)用問題驅(qū)動下案例教學(xué)，不僅滲透了數(shù)學(xué)建模的思想，也讓學(xué)生親自體會到常微分這門課和實(shí)際生活的密切聯(lián)系[3-4].這種案例教學(xué)方式的生動性、直觀性和趣味性特點(diǎn)也將有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣[4].而主講教師在《常微分方程》備課中則需圍繞以下問題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).這節(jié)課需要解決什么問題？這個問題是如何建立起來的？需要用什么思想方法去解決該問題？如何引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識循序漸進(jìn)地去解決該問題？在課堂上抓住這些關(guān)鍵問題開展教學(xué)，可以有效調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高教學(xué)質(zhì)量.這也是每位高校教師必備的學(xué)科素養(yǎng).

（三）增加課外教學(xué)。

能夠激發(fā)一個人自主學(xué)習(xí)的基本動力是理想和興趣，常微分方程這門課程也一樣.因此，教學(xué)改革的首要任務(wù)是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主動性.因此，常微分方程新大綱中為綜合實(shí)現(xiàn)四維課程目標(biāo)，考核環(huán)節(jié)增設(shè)有大作業(yè)，即讓學(xué)生開展課題研究.

課題開展的具體過程：首先，讓學(xué)生自己找合作伙伴，每3～5人形成課外學(xué)習(xí)小組，開展課外學(xué)習(xí).其次，結(jié)合教師引導(dǎo)，課外學(xué)習(xí)小組自己選取和常微分方程有關(guān)的案例作為研究課題.進(jìn)一步，小組通過討論，網(wǎng)上查找資料結(jié)合自己課堂中學(xué)到的相關(guān)理論知識，開展自主研究探索.最后，在課程結(jié)束時，各小組整理一份前期研究成果并以PPT形式匯報該課題的完整開展過程以及取得的成果.

課外學(xué)習(xí)小組開展合作式學(xué)習(xí)，在課題研究過程中培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和科研能力，激發(fā)了探索精神，增進(jìn)了師生溝通，鍛煉了學(xué)生的綜合素質(zhì)，達(dá)到了課程目標(biāo)的要求.這種教學(xué)方式引導(dǎo)學(xué)生自主探索，初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，綜合分析，解決實(shí)際問題，使得學(xué)生自己深刻體會到課堂中學(xué)到的數(shù)學(xué)知識和實(shí)際生活的密切聯(lián)系.它也能有效提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神[5].這種課外教學(xué)方式也是創(chuàng)新教學(xué)改革的一部分，它也完全符合新工科背景下以產(chǎn)出為導(dǎo)向的教育理念.

（四）融入課程思政。

全國高校思想政治工作會議上，習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)要思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)[6].《常微分方程》這門課不僅可以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)理論知識解決實(shí)際問題的能力，還可以激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，增強(qiáng)民族自信.例如，求常微分方程的通解和特解，實(shí)際上是處理一般問題和特殊問題.就如在14億兄弟姐妹組成的大家庭中，每個人都有著獨(dú)特的個性，大家也有一個最大的共性，那就是同為中華兒女.這樣巧妙將課程思政融入枯燥的理論教學(xué)中，不僅能發(fā)揮課程的育人功能，將而且能實(shí)現(xiàn)這門課程顯性教育功能和隱性教育功能的有機(jī)結(jié)合.

（五）改革考試方式。

呂梁學(xué)院常微分方程這門課程舊大綱中的考核由40%平時成績和60%的期末考試成績組成.這種考核方式只能考核學(xué)生對理論知識的掌握，未能考核學(xué)生實(shí)踐能力.因此，基于四維課程目標(biāo)，在新大綱將考核方式改革為課后作業(yè)、單元小結(jié)、大作業(yè)、期中考試、期末考試五部分組成.課程總成績中各部分所占比例及其與課程目標(biāo)對應(yīng)關(guān)系如表1所示.增加單元小節(jié)以及課外教學(xué)的考核環(huán)節(jié)，可以督促學(xué)生及時回頭復(fù)習(xí)歸納，也可以避免學(xué)生考前搞臨時突擊的現(xiàn)象.這種綜合性考核方式更突出實(shí)踐的重要性，使學(xué)生學(xué)以致用，也調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.

三、結(jié)束語

本文結(jié)合新工科背景下的四維課程教學(xué)目標(biāo)提出，借助數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)，采取應(yīng)用問題驅(qū)動的案例教學(xué)、增加課外教學(xué)，融入課程思政以及改革考試方式等五大教學(xué)改革的具體舉措.此外，基于這五個方面教學(xué)改革實(shí)踐，常微分課程團(tuán)隊(duì)在超星爾雅平臺上建立了豐富的教學(xué)資源庫.教學(xué)資源庫分為三部分：第一部分是關(guān)于常微分方程的教學(xué)案例庫，第二部分是應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件對各類典型例題求解方法建立的代碼庫，第三部分是收集整理學(xué)生完成的研究報告庫.相信如果學(xué)生充分利用這些教學(xué)資源庫，教師把這些教學(xué)改革舉措落到實(shí)處，必將會大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和學(xué)習(xí)效果，也將有利于學(xué)生綜合能力的可持續(xù)發(fā)展.