大學(xué)先修的課堂軼事

張英伯

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

青島中學(xué)是北京十一學(xué)校的盟校，由十一學(xué)校校長李希貴擔(dān)任名譽校長，2016年前后負責(zé)學(xué)?；I建及校務(wù)工作的是秦建云校長.

記得有一天，北師大數(shù)學(xué)系的畢業(yè)生，十一學(xué)校的數(shù)學(xué)教師潘國雙接我們?nèi)W(xué)校，秦校長和王東剛老師一起鄭重地邀請我們到青島中學(xué)講授大學(xué)先修課程，我們愉快地接受了邀請．在 2017 年的秋季開學(xué)之前抵達青島，東剛老師開車到火車站迎接.

當(dāng)我們第一次踏進青島中學(xué)，看到莊重、美麗的教學(xué)大樓，看到綠草茵茵，綠樹成行，三面環(huán)海的校園，感到十分震驚．在我們訪問過的全國各個高校，甚至歐洲美國的學(xué)校，從來沒有見過這么漂亮的校園.

我們很快投入了工作．九年級的數(shù)學(xué)分析由王昆揚教授擔(dān)任，所用課本是在他自己編寫的北師大一年級《數(shù)學(xué)分析》教材的基礎(chǔ)上，考慮到中學(xué)生的實際水平，再三修訂而成的；高等代數(shù)由張英伯教授擔(dān)任，所用課本由張英伯、王愷順編寫的大學(xué)教材《高等代數(shù)》修訂而成．我們也曾經(jīng)考慮過是不是用物理、化學(xué)或工科的《高等數(shù)學(xué)》，經(jīng)過反復(fù)衡量，覺得還是用數(shù)學(xué)系的課本更加合適．因為數(shù)學(xué)日益成為現(xiàn)代科學(xué)不可或缺的基礎(chǔ)，英才教育需要培養(yǎng)通曉數(shù)學(xué)的科技人才.

我們教的第一個班由 2017 年秋季入學(xué)的九年級、當(dāng)年 15 歲的學(xué)生組成．第一堂課教室里坐滿了人，大約有三、四十名．然后陸續(xù)減員，到第一學(xué)年結(jié)束剩下七名，期末考試成績還算說得過去.

第二學(xué)年有兩個孩子去了北京十一學(xué)校，兩個孩子退出，剩下兩個女孩紀(jì)乃文和李逸然，一個男孩張博文仍然很努力地跟著.

選修數(shù)學(xué)分析課的學(xué)生多一些，除了他們?nèi)酥?，盛佳寧、宋玉倩等也都陸續(xù)跟了幾個月．兩年之后的 2019 年秋季開學(xué)，伍文浩同學(xué)一個人單獨跟著王老師學(xué)習(xí)了一年.

我的高等代數(shù)作業(yè)很多，課本上的習(xí)題全部留給學(xué)生做了，稍難一點的題目就在做完后進行課堂討論．難題大多由張博文講，至今記得張博文在白板上講題時，李逸然和紀(jì)乃文不錯眼珠地盯著他，全神貫注地看他板書，聽他講解.

在 2019 年夏季，學(xué)期結(jié)束之前，我們?yōu)槿齻€孩子參加中國教育學(xué)會組織的大學(xué)先修課程(CAP)全國統(tǒng)一考試做過準(zhǔn)備．當(dāng)時我給他們制定的高等代數(shù)考試目標(biāo)是：張博文 80 分，兩個女孩子 70 分．但是由于新冠疫情的干擾，那一年的 CAP 考試未能如期舉行．而張博文得到了一個赴美交流一年的機會，遠走他鄉(xiāng).

在 2020 年春季，大學(xué)先修課程全國統(tǒng)考之前，我們?yōu)榇T果僅存的兩個女孩子進行了考前輔導(dǎo)，仔細地回顧了全書重要的定義和定理．其中李逸然得到了全國第一名的好成績.

王東剛是李逸然班上數(shù)學(xué)課的任課教師，歲數(shù)不大卻有多年的教學(xué)經(jīng)驗，特別認(rèn)真負責(zé)．學(xué)生的成績是東剛從網(wǎng)上查出來的，查到分?jǐn)?shù)的那天上午十點來鐘，我和王昆揚離開辦公室打算去操場走走，隔壁辦公室的東剛見到后，立刻跟出來說，咱們一塊走吧.

他向我們宣布了關(guān)于李逸然的好消息，王昆揚和我都感到相當(dāng)意外．記得當(dāng)時我們?nèi)齻€人特別興奮，沿著操場上赭紅色的四百米跑道走了兩圈，跑道內(nèi)是綠草茵茵的足球場．東剛始終不停地說著，為了保險起見，他請我們再向高等教育委員會核實一下.

回到辦公室，我立即給負責(zé) CAP 考試安排的李楊映雪發(fā)微信詢問，她是中國大學(xué)先修課程試點項目數(shù)學(xué)專家委員會的召集人．記得我特別詢問了這個第一是青島市、山東省、 還是全國．李楊非常負責(zé)任地查閱了考試記錄，回信說是全國第一．但全國參加考試的學(xué)生不多，只有四十余人.

李逸然的絕對分?jǐn)?shù)并不很高，只有 71 分，但這是與北京、上海、江蘇、浙江、廣東等名校林立的發(fā)達地區(qū)相比，在全國的高手之間能夠排在第一名也算相當(dāng)不容易了．學(xué)校的走廊里很快掛出了李逸然的大幅照片，學(xué)校向全體教師和同學(xué)宣布了好消息.

在整個過程中，表現(xiàn)最淡定的是李逸然本人．記得學(xué)校的攝影師在課堂上找到她，叫她到我們的辦公室來，給她、王昆揚和我拍了一張三人合影．剛一拍完，她馬上很有禮貌地對我們說：“老師，對不起，我還有課，先走了．”說完便站起來沖回了上課的教室.

事過兩年之后，我在學(xué)生食堂見到她正跟同學(xué)們坐在一起進餐，她也看到了我，馬上站起來打招呼．兩年前我可以拍拍她的頭頂，現(xiàn)在她已經(jīng)比我高出小半個頭，成了亭亭玉立的大姑娘，我們只能擁抱一下了.

李逸然是一個美麗善良、文靜謙和的女孩子，學(xué)習(xí)非常踏實、特別刻苦．記得在他們九年級第一學(xué)期結(jié)束之前，我布置寒假作業(yè)，除了做題之外，還請同學(xué)們寫一份高等代數(shù)的學(xué)期總結(jié)．因為心里對學(xué)生寫總結(jié)沒抱什么希望，第二學(xué)期開學(xué)我都快把這件事情忘了．沒想到李逸然交給我一份學(xué)習(xí)總結(jié)，寫得整整齊齊，清清楚楚．說心里話我當(dāng)時相當(dāng)感動，感嘆著竟然還有這么聽話的乖孩子．我讓她將總結(jié)當(dāng)中關(guān)于“矩陣秩”的一段摘錄出來投給《數(shù)學(xué)通報》雜志，經(jīng)過兩位專家審查后刊登了.

一年后張博文從美國回來，馬上找到王老師復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析，每周兩次，每次一、二個學(xué)時．他覺得這門課程理論性很強，自己掌握得不夠理想．他不斷地提問題與老師討論，每個問題不徹底弄明白不會罷休，是個準(zhǔn)備上大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)專業(yè)的樣子.

從 2020 年 9 月開始，我們?yōu)樾乱粚玫木拍昙墝W(xué)生講授數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，為期兩年，每科歷時一年，課時安排為每周四學(xué)時．因為在新冠流行的隔離階段教過這屆學(xué)生讀八年級時的網(wǎng)課，我們彼此之間非常熟悉.

這屆學(xué)生以男生為主，共有五名：李中元、蘇徹、黃冠翔、宛卓遠、曲浩洋，還有一位女生邢文，依然聰慧美麗．當(dāng)然男孩子好像更有優(yōu)勢，他們的邏輯思維能力似乎要強一些．王昆揚曾在上課時談到他們的學(xué)姐李逸然在 CAP 考試中得到全國第一名的好成績，孩子們在課堂上情不自禁地鼓掌歡呼，也許這是對他們莫大的鼓勵吧.

我們過去在北師大給本科生上基礎(chǔ)課時，課堂是大階梯教室，坐著三個班級的120 名學(xué)生．除了老師講課的聲音，學(xué)生們都在安靜地記筆記聽講，一聲不出．但是中學(xué)生上大學(xué)先修課時特別活躍.

李中元是一個非常聰明的孩子，接受能力和理解能力皆為一流．王昆揚曾經(jīng)在課堂上講過一個定理：“實直線上的單調(diào)函數(shù)最多只有可數(shù)多個間斷點．” 在弄清楚一個間斷點對應(yīng)于一個開區(qū)間，不同的間斷點對應(yīng)于不同的開區(qū)間之后，李中元立即想到互不相交的開區(qū)間最多只有可數(shù)多個，這是因為分?jǐn)?shù)的集合是可數(shù)的，從每個開區(qū)間中取出一個分?jǐn)?shù)，最多只能取可數(shù)多個．他把手高高地舉過頭頂，大聲闡明了上述想法．得到老師的肯定后，他興奮地倒在黑板前的地上打了個滾兒，站起來拍著桌子為自己歡呼．王昆揚問坐在最邊上的女孩子邢文聽懂了沒有，邢文嚴(yán)肅地點點頭說“懂了”．不久以后，曲浩洋和邢文去了北京十一學(xué)校，宛卓遠退出了.

王昆揚講授數(shù)學(xué)分析時，經(jīng)常對學(xué)生進行測試，李中元每次的分?jǐn)?shù)都在 95 以上．以王昆揚一貫的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)和高標(biāo)準(zhǔn)要求，能得到這種分?jǐn)?shù)的學(xué)生并不多見． 李中元是提前一年從青島中學(xué)畢業(yè)的，他修完了學(xué)校的全部課程，每門課都得到了幾乎滿分的成績．與此同時，他還參加了英國劍橋大學(xué)的入學(xué)考試，并被順利錄?。衲昵锛鹃_學(xué)，他便要遠渡重洋奔赴英倫，成為劍橋大學(xué)的學(xué)生了.

青島中學(xué)愛樂樂團團長，薩克斯管演奏員黃冠翔上半個學(xué)期沒有跟大家一起上課，學(xué)期中間才來到班上，王昆揚給他一本數(shù)學(xué)分析教材，讓他自己讀書．在沒聽過老師講課的情況下，黃冠翔竟然也在黑板上把習(xí)題做出來了．一般學(xué)生在老師的指導(dǎo)下理解數(shù)學(xué)分析的理論尚且不易，他能夠自學(xué)理解，學(xué)習(xí)能力可以說相當(dāng)強了.

有一天上高代課習(xí)題課，下課鈴聲剛響，李中原和黃冠翔就一溜煙地跑出教室不見了蹤影，過了五分鐘，兩人又氣喘吁吁地跑回來了，一副勝利者的模樣．我問他們干什么去了，他們說把剛剛講過的高代題目拿去考他們的數(shù)學(xué)老師了，老師不會做，我聽了真是哭笑不得．后來黃冠翔每次參加數(shù)學(xué)競賽，總會給我?guī)硪坏栏傎愵}，我不會做，他就很高興地給我講一遍.

高等代數(shù)課本也用的是北師大數(shù)學(xué)系本科教材．這本書的習(xí)題有相當(dāng)?shù)碾y度，是由現(xiàn)任北師大數(shù)學(xué)學(xué)院院長，當(dāng)年和我同時講課的王愷順教授搜集整理的.

王愷順是一個特別嚴(yán)肅認(rèn)真的人，他搜集了所有紙質(zhì)版的、網(wǎng)絡(luò)上的中、外課本和習(xí)題集，從中提煉出適合課程內(nèi)容的題目，編寫成目前每節(jié)書后的習(xí)題.

全書的題目全部作為作業(yè)留給孩子們了．黃冠翔把他的同學(xué)兼朋友周潤禾拉過來一起上課，周潤禾高高瘦瘦，長得非常漂亮，如果不是事先知道這是一個男孩子，很容易讓人以為遇到了一位小姑娘.

黃冠翔、周潤禾學(xué)習(xí)非?？炭?，做完了高等代數(shù)書中的全部習(xí)題．這些題目數(shù)量眾多，覆蓋面廣泛，其中部分題目有相當(dāng)?shù)碾y度.

在高等代數(shù)講完之后，我和兩個孩子合作，編寫了全書的習(xí)題解答．他們非常認(rèn)真，我寫完初稿后，他們仔細檢查，從數(shù)學(xué)內(nèi)容到行文編排，提出了許多寶貴的意見.

其中有一道解三元一次方程組的題目，周潤禾指出我的計算錯誤，并給出了正確答案.

還有一道非常困難的題目，黃冠翔在黑板上演算了兩次，都沒有得到正確答案．第二次演算錯誤之后，我決定給他一定壓力了，對黃冠翔說，明天上課你必須給出正確解答，這是你最后的機會，如果再做錯，就……

第二天他在黑板前侃侃而談，果然十分嚴(yán)謹(jǐn)，挑不出一點毛?。倚闹邪蛋蹈吲d，想想早年間老先生們做法還是挺管用的.

最為難能可貴的是，黃冠翔不僅學(xué)習(xí)出色，而且為人善良，樂于奉獻．大先課與縫紉、木工等等選課一樣，將上課時間排在晚飯以后．在 2021 年嚴(yán)冬，一個風(fēng)雪交加的傍晚，我走進教室準(zhǔn)備上課，發(fā)現(xiàn)里面只有周潤禾與蘇徹．我問黃冠翔呢？兩人都不知道．正在這時，黃冠翔氣喘吁吁地跑了過來，見面就檢討“老師對不起，我沒聽到鈴聲，遲到了．” 他頭上冒汗，雙手凍得通紅．我問“你干什么去了？”他不好意思地笑笑：“我在操場上撿冰塊．”我很驚訝：“為什么撿冰塊啊？”他回答：“周一早晨全校同學(xué)在操場集合，舉行升國旗的儀式．我怕有人滑倒．”我聽后心中十分感動，讓他趕快進教室暖和暖和．那天上的是習(xí)題課，三個孩子馬上熱火朝天地討論起來.

有一個星期天，黃冠翔來學(xué)校向王昆揚請教一些問題，問題討論完畢已經(jīng)到了午飯時間．我們對他說一起到學(xué)校附近的小飯店去吃點東西吧．王昆揚走在前頭，很快從學(xué)校西門出去過了馬路．我們在后面，出了西校門后我也準(zhǔn)備和黃冠翔一起過馬路，不料黃冠翔說，按照交通規(guī)則，這個馬路不能直接過，應(yīng)該從學(xué)校北門的立交橋繞行．我說：“現(xiàn)在馬路上一輛車都沒有呀，不至于吧！”但他堅持交通規(guī)則是應(yīng)該遵守的．我心里這份氣??！繞過去得有一里多地.

他告訴我有一次他和父親去大商場買東西，也是要穿過一條馬路，父親直接過去了，他不干，非要繞立交橋，繞是繞了，但是出來就被他父親打了一頓．我心想打得好，我也想打你一頓，只是作為教師不能下手罷了．我們頂著大太陽走了一里地，渾身被汗水濕透．王昆揚早已點好了飯菜等候多時，驚訝地問我們?nèi)ツ睦锪?，怎么才?

高等代數(shù)講完以后，我對黃冠翔和周潤禾進行了一次測試，用的是教育部組織北大和北師大共同擬定的 CAP2007 年 B 卷．也許流年不利，考試的那天晚上黃冠翔感冒了，周潤禾肚子疼．我跟他們商量要不要推遲兩天，他倆說不用，能夠堅持．黃冠翔一直在咳嗽，周潤禾則一直捂著肚子．我見狀下樓到醫(yī)務(wù)室，跟校醫(yī)要了感冒藥和止疼片，回來給他們一人打了一杯溫開水服藥．好在他們年輕，竟然暫時把癥狀壓下去了．我以為這次肯定要考砸了，沒想到按照試卷的判分標(biāo)準(zhǔn)，黃冠翔得到 92 分，周潤禾 89 分．我當(dāng)時都呆住了，反復(fù)檢查幾次，確定自己沒有判錯．這可是大學(xué)先修課程從未有過的高分！

劍橋大學(xué)是黃冠翔一直以來的理想學(xué)校．目前他經(jīng)過近一年的努力，順利地通過了劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)各類課程的幾十門考試，拿到青中的推薦之后，預(yù)計明年就可以到英國去學(xué)習(xí)了.

周潤禾也通過了五花八門的英語測試，準(zhǔn)備申請美國的學(xué)校了．考慮到這孩子身體較弱，我聯(lián)系到過去的北師大數(shù)學(xué)系畢業(yè)生，現(xiàn)在美國華盛頓為政府維護電腦系統(tǒng)安全的張強．張強是個熱心人，凡是北師大赴美留學(xué)的同學(xué)，只要找到他，都會得到熱情的接待．我跟張強詳細地談了周潤禾的情況，請他幫忙，他一口答應(yīng)下來，盡可能地給這孩子提供生活上的照顧.

前幾天我和王昆揚在食堂吃過午飯，在回辦公室的路上迎面碰到孫嘉欣．孫嘉欣是一位端莊美麗，聰慧優(yōu)雅的女孩子，曾經(jīng)和黃冠翔等人一起跟隨我們學(xué)習(xí)過大學(xué)先修課程．她滿面笑容地對我們說，她已經(jīng)被美國的學(xué)校錄取，很快就要去那里讀書了．我雙手握住她的手，衷心地祝愿她學(xué)習(xí)順利.

現(xiàn)在我們又開始教新一輪的大學(xué)先修課程，這次已經(jīng)不再是數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，而是王昆揚的實變函數(shù)和我的近世代數(shù)，大學(xué)數(shù)學(xué)系大二、大三的課程．王昆揚那里有兩名學(xué)生，耿子翔和牟俊毓，我這里有一位楊儒辰.

由于只有一名學(xué)生，課堂教學(xué)幾乎都是他講我聽，遇到重點和難點時予以點撥．同時，我和楊儒辰開始編寫近世代數(shù)習(xí)題解答，他已經(jīng)做完了書中的大部分習(xí)題，并逐題跟我進行過討論.

我們準(zhǔn)備下學(xué)期開學(xué)講授高等代數(shù)的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型和近世代數(shù)的伽羅瓦理論．這是代數(shù)學(xué)的兩大重點和難點.

孩子們自發(fā)地、非常強烈地要求學(xué)習(xí)，甚至主動要求老師講深一點、多一點，完全不發(fā)憷ε-δ語言之類嚴(yán)格的邏輯訓(xùn)練.

青島中學(xué)的現(xiàn)任主管校長汪正貴先生是一位博學(xué)睿智的實干家．他非常支持大學(xué)先修課程的開設(shè)，經(jīng)常與我們交流、溝通：關(guān)心學(xué)生的學(xué)習(xí)情況；談?wù)劯髯詫逃虒W(xué)，國內(nèi)外教育形勢的看法；詢問我們在青島的生活；甚至還在周末邀請我們?nèi)デ鄭u市內(nèi)走走、聊聊.

在青島中學(xué)講授大學(xué)先修課程，成為我們晚年的生活樂趣與精神寄托.