初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)設(shè)計(jì)策略的實(shí)踐探索*
——以“無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的底面積”為例

桂 楚

? 江蘇省高郵市城北中學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》指出,“綜合與實(shí)踐”的實(shí)施是以問(wèn)題解決為導(dǎo)向,使學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度來(lái)觀(guān)察和發(fā)現(xiàn)生活實(shí)踐及學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題,經(jīng)歷實(shí)踐操作、數(shù)學(xué)建模、分析探究、問(wèn)題解決的過(guò)程.綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)與方法,并讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)過(guò)程中的基礎(chǔ)作用,體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用價(jià)值,逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,最終形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

在教學(xué)過(guò)程中,綜合與實(shí)踐是以學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)為基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中反思,通過(guò)自主學(xué)習(xí)動(dòng)手“做”數(shù)學(xué),突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性,體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性、實(shí)踐性,以及問(wèn)題的開(kāi)放性.因此,“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)活動(dòng)的真實(shí)性、實(shí)踐性、思維性以及開(kāi)放性[2].

辯證唯物主義認(rèn)為,一切認(rèn)識(shí)都是由感性到理性,所有的理論都來(lái)源與實(shí)踐,理論反過(guò)來(lái)指導(dǎo)實(shí)踐.“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)設(shè)計(jì)還應(yīng)體現(xiàn)體現(xiàn)實(shí)踐—理論—實(shí)踐的過(guò)程.

1 實(shí)踐操作,動(dòng)中有思

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課程的教學(xué)應(yīng)以問(wèn)題為載體,讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐活動(dòng)的全過(guò)程,在實(shí)踐中產(chǎn)生疑問(wèn)進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的探究興趣,并在活動(dòng)的過(guò)程中尋找解決問(wèn)題的突破點(diǎn),進(jìn)而讓學(xué)生有問(wèn)題可提,有路徑可突破.

比如,在蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的底面積”這一節(jié)實(shí)踐活動(dòng)課程開(kāi)始之前,我們?cè)O(shè)計(jì)了這樣一個(gè)操作活動(dòng):“將一張長(zhǎng)40 cm、寬20 cm的長(zhǎng)方形紙板折成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒.”

學(xué)生在折無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生這樣幾個(gè)問(wèn)題:首先,怎樣剪四個(gè)正方形才能折出長(zhǎng)方體?學(xué)生在剪的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)所剪的四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)必須是相等的.其次,任意剪四個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形是不是一定能折出長(zhǎng)方體紙盒?通過(guò)這個(gè)問(wèn)題學(xué)生會(huì)在操作的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)所剪正方形的邊長(zhǎng)是有范圍的.再次,長(zhǎng)方體紙盒的底面積是怎么變化的?導(dǎo)致底面積變化的因素是什么?通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題,學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體紙盒底面積隨著小正方形邊長(zhǎng)的變化而變化,初步感知函數(shù)思想.最后,學(xué)生可能會(huì)在折的過(guò)程中進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),除了底面積在發(fā)生變化,實(shí)際上長(zhǎng)方體的體積也會(huì)隨著小正方形邊長(zhǎng)的變化而變化.這仍然是函數(shù)問(wèn)題,只不過(guò)是三次函數(shù),已經(jīng)超出了初中數(shù)學(xué)的知識(shí)范疇,但學(xué)生可以類(lèi)比二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)去探索,開(kāi)拓視野.

學(xué)生在經(jīng)歷了這樣一個(gè)開(kāi)放性的實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程后,可以有效提高操作能力、探究能力和思考能力.

2 思維探索,疑中有析

在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)中,實(shí)踐活動(dòng)不是目的,而是一種手段,旨在通過(guò)學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中不斷操作、觀(guān)察、探索并發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,引導(dǎo)他們?nèi)シ治鰡?wèn)題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,提高解決問(wèn)題的能力.因此,在設(shè)計(jì)思維活動(dòng)時(shí),應(yīng)著眼于學(xué)生實(shí)踐操作中產(chǎn)生的疑問(wèn),立足學(xué)生當(dāng)前具體的知識(shí)水平,有目的、有針對(duì)性地挖掘?qū)W生綜合應(yīng)用的潛質(zhì).

例如,在“無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的底面積”這一活動(dòng)課程當(dāng)中,我們?cè)O(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題:

將一張長(zhǎng)40 cm、寬20 cm的長(zhǎng)方形紙板折成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒,通過(guò)你的操作、觀(guān)察思考下面的兩個(gè)問(wèn)題:

(1)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的底面積與你裁掉的正方形邊長(zhǎng)之間有關(guān)系嗎?若有,請(qǐng)寫(xiě)出它們滿(mǎn)足的關(guān)系式;若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)無(wú)蓋長(zhǎng)方體的底面積能是100 cm2嗎?若能,請(qǐng)求出正方形的邊長(zhǎng),若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

這個(gè)問(wèn)題實(shí)際上是以學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)產(chǎn)生的疑問(wèn)為出發(fā)點(diǎn)而設(shè)計(jì)的一個(gè)思維活動(dòng)過(guò)程.第(1)問(wèn)根據(jù)學(xué)生在操作過(guò)程中感受到小正方形的邊長(zhǎng)變化會(huì)影響長(zhǎng)方體底面積的變化,引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建函數(shù)模型;第(2)問(wèn)已知面積求邊長(zhǎng),一是讓學(xué)生感受方程思想,二是讓學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中理解小正方形的邊長(zhǎng)是有范圍的.

學(xué)生在經(jīng)歷了這樣一個(gè)思維活動(dòng)后,將實(shí)踐活動(dòng)中的感性認(rèn)識(shí)進(jìn)一步上升到理性認(rèn)識(shí),用數(shù)學(xué)中的函數(shù)及方程模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

3 合作交流,析中有辨

合作探究是“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課的一個(gè)重要環(huán)節(jié),也是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究與團(tuán)隊(duì)意識(shí)的一種重要手段.學(xué)生通過(guò)交流可以開(kāi)闊眼界,拓展思維,豐富知識(shí),體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值.在實(shí)際教學(xué)中,教師根據(jù)課前的準(zhǔn)備情況,充分發(fā)揮教師引導(dǎo)作用,運(yùn)用豐富的課堂教學(xué)資源,精心設(shè)計(jì)有效的小組活動(dòng),發(fā)揮每個(gè)成員的作用,集思廣益.在設(shè)計(jì)合作學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí),問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)具有生活性、層次性、主線(xiàn)明晰等特點(diǎn).

例如,在“無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的底面積”這一活動(dòng)課程當(dāng)中,我們?cè)O(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問(wèn)題:“小明家進(jìn)行房屋改造,需增加一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體形狀的水槽,承接廠(chǎng)家計(jì)劃用一塊長(zhǎng)為2 m、寬為0.8 m的矩形鐵皮將四角裁掉一個(gè)正方形(厚度不計(jì))進(jìn)行制作．水槽的外表面需要進(jìn)行防銹處理,其中側(cè)面的處理成本為50元/m2,底面的成本為200元/m2,根據(jù)實(shí)際需求水槽的底面寬不低于0.3 m且不超過(guò)0.5 m,要使得處理的成本最低,應(yīng)如何裁剪這張矩形鐵皮?最低費(fèi)用為多少元?”

設(shè)計(jì)意圖：(1)設(shè)置生活中常見(jiàn)的費(fèi)用問(wèn)題,易于學(xué)生接受和理解;(2)引導(dǎo)學(xué)生將費(fèi)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題,與課題“無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的底面積”緊密結(jié)合;(3)問(wèn)題設(shè)置緊扣“二次函數(shù)最值問(wèn)題”這條主線(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

4 思維升華,評(píng)中有延

通過(guò)初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課程的開(kāi)展,學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中進(jìn)行反思,通過(guò)學(xué)生自評(píng)、互評(píng)及教師點(diǎn)評(píng)等過(guò)程性評(píng)價(jià)方式,逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀(guān),提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析并解決實(shí)際問(wèn)題的能力.學(xué)生在解決當(dāng)前問(wèn)題后,教者可適當(dāng)設(shè)置問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生用剛剛所掌握的方法、知識(shí)解決新問(wèn)題,這既是學(xué)生學(xué)習(xí)成果的反饋,又是對(duì)前一問(wèn)題的延伸學(xué)習(xí).根據(jù)新問(wèn)題的反饋?zhàn)鞒鲇行гu(píng)價(jià),使得學(xué)生在被評(píng)價(jià)和評(píng)價(jià)中找到了自己在學(xué)習(xí)中的優(yōu)點(diǎn)和不足,形成有效經(jīng)驗(yàn),以促進(jìn)后續(xù)學(xué)習(xí)的開(kāi)展[3].因此,教師要充分發(fā)揮引導(dǎo)作用,設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題,以幫助學(xué)生在總結(jié)的基礎(chǔ)上提升,促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展.

如,在“無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒底面積”這一活動(dòng)課中,我們?cè)O(shè)置了這樣的一個(gè)問(wèn)題:“將一張邊長(zhǎng)為20 cm的正方形紙板制作成無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒,思考并回答下列問(wèn)題:

(1)長(zhǎng)方體的體積與被裁掉的小正方形的邊長(zhǎng)之間有怎樣的關(guān)系?

(2)你能制作出一個(gè)體積最大的長(zhǎng)方體紙盒嗎?說(shuō)一說(shuō)你的想法.”

這一問(wèn)題的設(shè)置,實(shí)際上是“紙盒底面積”的延伸,由“二次函數(shù)最值問(wèn)題”延伸到“三次函數(shù)最值問(wèn)題”,但又是一脈相承的,用前面探索二次函數(shù)最值問(wèn)題的方法解決簡(jiǎn)單的三次函數(shù)問(wèn)題,如“圖象法”“逼近”思想等.同時(shí),通過(guò)學(xué)生對(duì)該問(wèn)題解決情況的反饋,作出有效評(píng)價(jià),以幫助教師了解學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的掌握情況.

學(xué)生活動(dòng)有效性評(píng)價(jià)是數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課中不可或缺的一環(huán),它具有激勵(lì)性和導(dǎo)向性,能夠有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在初中數(shù)學(xué)活動(dòng)課評(píng)價(jià)中,教師通常從過(guò)程性評(píng)價(jià)和表現(xiàn)性評(píng)價(jià)兩個(gè)角度進(jìn)行綜合評(píng)價(jià).例如,在“無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的底面積”教學(xué)之前,我們?cè)O(shè)置了一系列的設(shè)計(jì)任務(wù)清單引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)方體紙盒的折疊活動(dòng),進(jìn)而有效評(píng)價(jià)學(xué)生在課堂中的接受情況.在評(píng)價(jià)過(guò)程中,應(yīng)注重學(xué)生是否能用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題,對(duì)于相應(yīng)的知識(shí)等學(xué)習(xí)目標(biāo)是否真正達(dá)成,有沒(méi)有完成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).有效的評(píng)價(jià)結(jié)果應(yīng)由學(xué)生和教師共同參與,由教師進(jìn)行綜合概括,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐課中更好地開(kāi)展,全面提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4].

總之,綜合實(shí)踐課程的開(kāi)展要充分突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性,使學(xué)生經(jīng)歷“動(dòng)”“思”“說(shuō)”“評(píng)”的過(guò)程,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).