關(guān)于J.Warburton方法的鋼絲交叉磨痕體積計算及誤差分析

張 武，劉怡杉，吳景亮，韓飛燕

（西安科技大學機械工程學院，陜西 西安 710054）

1 引言

鋼絲繩是一種柔性的三維環(huán)繞結(jié)構(gòu)鋼制品，作為最重要的撓性構(gòu)件之一，由于其具有抗拉強度和抗疲勞強度高等許多優(yōu)點，在礦井提升、索道纜車、交通運輸?shù)阮I(lǐng)域得到廣泛應用。鋼絲繩的損傷情況和承載能力，時刻關(guān)系到設(shè)備和人身安全［1］。文獻［2］提出了垂直相交和不同角度相交時圓柱在特定磨損條件下的磨損體積計算。文獻［3］提出了鋼絲繩不均勻磨損量的計算方法和范圍，并且可以通過預測鋼絲繩的磨損情況來確保安全。文獻［4-5］進行了不同微動條件下不同交叉角度的鋼絲磨損試驗，用表面輪廓儀分析了磨痕體積，基于Archard系數(shù)引入平均摩擦系數(shù)，得到磨損體積數(shù)學計算公式。文獻［6］討論了不同微動參數(shù)下鋼絲的微動磨損行為，對鋼絲間磨損體積提出多種數(shù)學積分方法，結(jié)果表明在理想情況下磨損量是可以用數(shù)學公式表達的。文獻［7］對不同條件下的細鋼絲進行了不同的微動試驗，測定了試樣的體積磨損。文獻［8］通過大量磨損試驗，得出了不同磨損時間條件下，上鋼絲磨痕形狀近似為圓形，下鋼絲磨損形狀近似為橢圓，這與文獻［4-5］的實驗結(jié)果吻合。文獻［9］提出了一種有限元方法來模擬圓柱與平面接觸時的微動磨損及磨損量。文獻［10］對圓柱在平面上往復接觸狀態(tài)下進行了磨損預測與仿真，并將模擬結(jié)果與實驗結(jié)果建立了良好的相關(guān)性。所采用的方法與Podra的有限元仿真方法類似［11］。

文獻［12］對旋轉(zhuǎn)鋼絲繩的疲勞失效進行了研究，結(jié)果顯示鋼絲失效主要發(fā)生在相鄰鋼絲繩之間的磨損部位，單根鋼絲的主要失效機理被認為是磨損部位接觸應力的函數(shù)。文獻［13-15］對鋼絲的微動損傷過程進行了試驗，考察了接觸載荷和微動時間對磨損深度的影響，研究顯示磨損深度隨著接觸載荷和微動頻率的增加而呈增長趨勢。文獻［16-18］通過建立微動磨損演化模型，分析了鋼絲繩在不同使用壽命階段的受力狀態(tài)和鋼絲間位移，并對鋼絲微動的疲勞壽命進行了估算。文獻［19］的研究顯示隨著接觸表面間接觸應力的增大，磨痕的深度和寬度也隨之增大。并且以摩擦系數(shù)和磨損深度作為評定微動磨損的參數(shù)，考察了不同載荷下摩擦系數(shù)的變化規(guī)律以及載荷、循環(huán)次數(shù)的變化對鋼絲試樣磨損深度的影響。文獻［20］研究了單根鋼絲的微動磨損和微動疲勞，得出由微動引起的變形、磨損和裂紋是導致鋼絲失效的主要原因［20］。文獻［21］以（6×19）熱鍍鋅鋼絲繩為研究對象，對不同載荷、滑移速度、沖擊速度下鋼絲繩滑動摩擦磨損規(guī)律及接觸區(qū)域與溫度變化之間的規(guī)律進行試驗探究。文獻［22］提出了一種包含摩擦和Archard磨損定律的彈性接觸算法，分析了微動過程中的接觸壓力演化，指出在顯式磨損計算中數(shù)值存在不穩(wěn)定性，并給出了一種穩(wěn)定判據(jù)［22］。

以文獻［2］的研究為基礎(chǔ)，主要進行理想磨痕狀態(tài)下，直線型鋼絲接觸、直線型鋼絲與圓弧型鋼絲接觸時的磨痕體積計算和誤差分析。

2 直線型鋼絲交叉時磨痕體積解析計算

兩個直線型鋼絲交叉磨痕體積計算按照交叉角度的不同分為兩種：一種是交叉角度等于90°（θ=90°），另一種是交叉角度不等于90°（θ≠90°）。這主要是因為在進行體積計算過程中，當θ≠90°時需要引入三角函數(shù)參與計算。磨痕的幾何形狀是兩個直線型鋼絲交叉重疊的部分，其主要是由兩個非完整的圓柱面形成，因此在計算過程中主要采用解析幾何和積分的方法。該方法與J.Warburton的研究相似，都是將磨痕的形狀當成幾何問題研究。鋼絲選用相同的線性彈性材料制成，不考慮任何摩擦學效應和影響磨痕形狀的因素。

2.1 θ=90°時的J.Warburton磨痕體積計算

無論θ=90°還是θ≠90°，兩個鋼絲磨痕均呈現(xiàn)出橢圓形輪廓，同時輪廓在任意深度h處為可近似為平行四邊形，如圖1所示。如果最大磨痕寬度為C，任意深度h處的寬度為c；最大磨痕長度為C?，任意深度h處的長度為c'，則矩形面積為cc?。

圖1 直線型鋼絲磨痕示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Straight Wire Wear Scar

在微動磨損過程中，用最大磨損深度表征微動磨損。則最大磨損深度與最大磨損寬度的關(guān)系為：

如圖可以得出磨痕體積計算公式：

將式（4）從式（3）中省略，則磨痕體積V為：

式中：V—磨痕體積；H—兩個接觸鋼絲的總磨痕深度；r1、r2—兩個接觸鋼絲的半徑。

2.2 θ≠90°時的J.Warburton磨痕體積計算

當鋼絲交叉角度θ≠90°時，磨痕輪廓同樣可近似為平行四邊形，其面積可由cc'×cscθ來表達。因此，鋼絲交叉角度θ≠90°時的磨痕體積V可表示為：

3 直線型鋼絲與圓弧型鋼絲交叉磨痕體積解析計算

兩個半徑相同的直線型鋼絲，將其中一個直線型鋼絲進行彎曲得到半徑為r3的圓弧形鋼絲，此時直線型鋼絲與圓弧形鋼絲接觸磨損，如圖2所示。其磨痕體積由A、B兩部分組成。

圖2 直線型鋼絲與圓弧型磨痕示意圖Fig.2 Schematic Diagram of Straight Steel Wire and Arc-Shaped Wear Scar

根據(jù)直線型鋼絲和圓弧形鋼絲的接觸幾何關(guān)系，相關(guān)參數(shù)表達如下：

式中：H1—直線型鋼絲上的磨痕深度；H2—圓弧形鋼絲上的磨痕深度,—磨痕曲線的曲率半徑;—B磨痕區(qū)域上的一個有效半徑。

則直線型鋼絲與圓弧形鋼絲交叉總磨痕體積為：

最終得到VA和VB部分體積公式：

4 直線型鋼絲交叉時磨痕體積數(shù)值計算及誤差分析

4.1 誤差定義

根據(jù)以上內(nèi)容，可以明顯地看出由于I的省略導致鋼絲磨痕體積與真實體積之間存在誤差。因此，我們將主要用數(shù)值方法和J.Warburton方法對鋼絲磨痕體積進行計算和對比（其中數(shù)值計算結(jié)果為真值），同時根據(jù)絕對誤差和相對誤差來判斷省略I所帶來的鋼絲磨痕體積誤差數(shù)值及規(guī)律。采用數(shù)值方法時，使用三維軟件進行實體繪圖，根據(jù)剪切材料的方法得出規(guī)則的磨痕，如圖3所示。數(shù)值方法的體積可被定義為：

圖3 三維實體模型Fig.3 The 3-Dimensional Solid Models

絕對誤差Vae和相對誤差Vre的定義如下：

4.2 θ=90°時的直線型鋼絲磨痕體積數(shù)值計算及誤差分析

θ=90°時的直線型鋼絲磨痕演化規(guī)律，如圖4所示。圖4（a）為磨痕表面輪廓線，圖4（b）為磨痕深度輪廓線。當θ=90°時，不同的磨損深度會產(chǎn)生不同的磨痕輪廓。圖4（a）為磨痕表面輪廓線演化規(guī)律，磨痕間距隨著磨損深度的增加而減小，這主要是由兩個鋼絲接觸面積逐漸增大而導致，其磨痕表面形狀也由近圓形向四邊形發(fā)展。圖4（b）為磨痕深度輪廓線演化規(guī)律，其磨痕形狀始終保持圓形。

圖4 直線型鋼絲交叉磨痕的演變（θ=90°）Fig.4 Evolution of Wear Scar in Crossed Linear Steel Wires（θ=90°）

選取r1=r2=5mm，Hmax=5mm 時，由數(shù)值方法和J.Warburton 方法分別計算得到的體積數(shù)值，以及絕對誤差和相對誤差，相關(guān)數(shù)值，如表1所示。

表1 體積計算和誤差值（θ=90°）Tab.1 Calculated Volume and Error Values（θ=90°）

表2 主要符號表Tab.2 Main Symbols Table

根據(jù)所得數(shù)據(jù)，得到的磨痕體積和誤差變化規(guī)律，如圖5所示。

圖5 磨痕體積和誤差（θ=90°）Fig.5 Wear Scar Volume and Error Versus Depth（θ=90°）

圖5（a）中當磨痕深度增大時，兩種方法所得的磨痕體積也相應增大。J.Warburton方法所得到的磨痕體積始終大于數(shù)值方法得到的磨痕體積，通過分析認為，J.Warburton方法所省略的I項是一個負值，因此，J.Warburton方法對磨痕體積的計算是把體積放大了。圖5（b）和圖5（c）顯示隨著磨痕深度的增大，絕對誤差和相對誤差均增加。當磨痕深度達到2.5mm時，J.Warburton方法省略I項所帶來的誤差僅為0.27%，之后則隨著磨痕深度的增大誤差則極具增大，當磨痕深度達到5mm時，J.Warburton方法省略I項所帶來的誤差為1.43%。因此，當磨痕深度超過鋼絲半徑的一半時，J.Warburton方法所帶來的體積誤差將必須予以考慮。

4.3 鋼絲間交角θ≠90°誤差分析

θ=60°、θ=45°、θ=15°時磨痕體積和誤差變化規(guī)律，如圖6～圖8所示。由圖可以看出類似的誤差變化規(guī)律同樣發(fā)生在θ≠90°時。由于絕對誤差的增長速度較慢，同時Vn增長幅度較大，最后導致相對誤差的減小，所以磨痕深度為1mm的相對誤差小于磨痕深度為0.5mm的相對誤差，如圖7所示。無論θ如何變化，由于省略了I項的原因，J.Warburton方法所得的磨痕體積大于數(shù)值方法。當磨痕深度超過2.5mm時，絕對誤差和相對誤差極具增大，最大誤差為1.43%。因此，當磨痕深度超過鋼絲半徑的一半時，J.Warburton方法所帶來的體積誤差將必須予以考慮。

圖6 磨痕體積和誤差（θ=60°）Fig.6 Wear Scar Volume and Error Versus Depth（θ=60°）

圖7 磨痕體積和誤差（θ=45°）Fig.7 Wear Scar Volume and Error Versus Depth（θ=45°）

圖8 磨痕體積和誤差（θ=15°）Fig.8 Wear Scar Volume and Error Versus Depth（θ=15°）

5 直線型鋼絲與圓弧型鋼絲磨痕體積數(shù)值計算及誤差分析

A部分體積可以由式（12）準確的計算，如圖2所示。結(jié)合式（11）、式（13）可得直線型鋼絲與圓弧型鋼絲磨痕體積及誤差。此處暫不考慮省略I項帶來的誤差。

為了更加清晰的表現(xiàn)誤差造成的影響，在此部分選用r1=100mm的規(guī)格進行計算。r3=nr1（n＞2）時，直線型鋼絲與圓弧型鋼絲交叉磨痕體積和絕對誤差的變化規(guī)律，如圖9所示。由圖可以看出，對于某個固定的倍數(shù)，絕對誤差隨著磨痕深度的增大而增大。由圖10可以看出，相對誤差隨著磨痕深度的增大而增大，隨著n的增加而減小，當n=2.01時，相對誤差最大，數(shù)值為10.25%；當n=10時，相對誤差數(shù)值為1.73%。分析認為，r3*參與計算的VB不能真實的反映B磨痕的體積，導致J.Warburton方法計算結(jié)果與數(shù)值方法相差甚遠。因此，J.Warburton對B磨痕的體積用式（13）來表達持懷疑態(tài)度是正確的。

圖9 不同圓弧線彎曲半徑下兩種方法的磨痕體積和絕對誤差Fig.9 The Wear Scar Volumes and Absolute Errors at Different Wear Scar Depths and at Different Radii of Curvature of the Circular Arc-Wire

圖10 不同圓弧線彎曲半徑下的相對誤差Fig.10 Relative Error at Different Radii of Curvature of the Circular Arc-Wire

對B部分的體積進行反驗證，以此來說明式（13）不能準確表達B磨痕的體積。因為A部分的面積可以準確的計算出，同時結(jié)合式（11），根據(jù)數(shù)值方法可得出B部分的體積，進而可以得出一個綜合半徑，定義為r*，r*和r3*在n取不同值時的變化規(guī)律，如圖11、圖12所示。由圖11、圖12可以看出，當n=2.01時，相對誤差為42.21%；當n=10時，相對誤差為6.98%。由圖12可以看出，無論n取多少，隨著磨痕深度的增大，固定倍數(shù)下的相對誤差都是不斷增大。對于相同的磨損深度，n越大，相對誤差越小。但是，無論n如何變化，隨著磨損深度的增加，r*不斷減小，r3*不斷增大，兩者呈現(xiàn)出截然相反的規(guī)律。通過式（10）確實可以計算出r3*，但是r3*參與計算的VB不能反映B磨痕的真實體積。因此，1986年，J.Warburton對B磨痕的體積用式（13）來表達持懷疑態(tài)度是正確的。

圖11 r*和r3*的變化規(guī)律Fig.11 The Variation ofr* andr3* withWear Scar Depth

圖12 r*相對誤差變化規(guī)律Fig.12 The Relative Error of r* Versus Wear Scar Depth

J.Warburton認為，當r1=r2時，并且h＜r1時=2r3。不斷增大將不斷減小和呈現(xiàn)相反的發(fā)展規(guī)律，如圖13所示。因此，我們認為引入?yún)⑴cB磨痕的體積計算有所不妥。

圖13 r3*、和r3的變化趨勢Fig.13 Trends in r3* and r3 Versus Wear Scar Depth

6 結(jié)論

以J.Warburton的研究為基礎(chǔ)，主要進行理想磨痕狀態(tài)下，直線型鋼絲接觸、直線型鋼絲與圓弧型鋼絲接觸時的磨痕體積計算和誤差分析。

直線型鋼絲交叉時，無論交叉角度是多少，隨著磨痕深度的增大，J.Warburton方法和數(shù)值方法所得的磨痕體積均相應增大。J.Warburton方法所得到的磨痕體積始終大于數(shù)值方法得到的磨痕體積，是因為J.Warburton 方法所省略的I 項是一個負值。因此，J.Warburton方法關(guān)于磨痕體積的計算是把體積放大了。隨著磨痕深度的增大，絕對誤差和相對誤差均增加。當磨痕深度達到2.5mm時，J.Warburton方法帶來的誤差為0.27%，之后則隨著磨痕深度的增大而極具增大，當磨痕深度達到5mm時，J.Warburton方法省略I項所帶來的誤差為1.43%。因此，當磨痕深度超過鋼絲半徑的一半時，J.Warburton方法所帶來的體積誤差將必須予以考慮。

直線型鋼絲與圓弧型鋼絲接觸時，磨痕體積被分為VA和VB兩部分，VA可以準確的計算。當拿式（13）來表達VB的體積時，J.Warburton方法總體積計算結(jié)果與數(shù)值分析相差甚遠，最大誤差超過10%，同時，反驗證得出r*和r3*呈現(xiàn)出截然相反的變化規(guī)律，所以r3*參與計算的VB不能反映B磨痕的真實體積。因此，J.Warburton對B磨痕的體積用式（13）來表達持懷疑態(tài)度是正確的。分析顯示為和呈現(xiàn)相反的發(fā)展規(guī)律。因此，我們認為引入?yún)⑴cB磨痕的體積計算有所不妥。

本研究為使用J.Warburton方法計算直線型鋼絲接觸、直線型鋼絲與圓弧型鋼絲接觸時的磨痕體積計算和誤差分析提供參考依據(jù)。