基于諧響應(yīng)的三維場地地震動頻域研究

劉爽,閆少敏,裴旺

天津市交通科學(xué)研究院,天津 300300

0 引言

局部場地對地震動存在局部放大或減弱效應(yīng),地形地震動響應(yīng)分析需地震學(xué)、工程學(xué)和土木工程學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)輔助[1]。研究局部場地主要有實測法、有限元法、邊界元法等方法,其中有限元法的適用性和靈活性較好,應(yīng)用廣泛。

采用有限元法分析局部場地時,為消除人工截斷邊界上的波動反射效應(yīng),大大降低有限元分析的計算自由度,在模擬地基過程中對局部地基邊界面添加人工邊界。研究地形效應(yīng)可采用的人工邊界有Sommerfeld邊界、黏性邊界、疊加邊界、Clayton-Engquist邊界、Higdon邊界、雙漸近Higdon邊界、黏彈性人工邊界和透射人工邊界等,黏彈性人工邊界地震動分析方法應(yīng)用廣泛。盛志強(qiáng)等[2]采用黏彈性人工邊界的有限元法研究河谷坡角和坡高對河谷地震動響應(yīng)的影響規(guī)律。梁建文等[3]采用有限元軟件ANSYS,基于黏彈性人工邊界理論編寫時域SV波的計算程序,研究半橢球形和半球形凹陷河谷在平面SV波入射下的地震響應(yīng)。章小龍等[4]將顯示有限元法與黏彈性人工邊界結(jié)合,研究SV波底邊垂直入射作用下復(fù)雜三維地形的地震動響應(yīng)。趙瑞斌等[5]采用軟件ABAQUS開發(fā)黏彈性人工邊界計算程序,采用虛擬子空間法研究非對稱階梯地形地震動響應(yīng)。巨建民等[6]基于黏彈性人工邊界地震動輸入方法理論建立海底沉管隧道模型,分析P波入射下沉管隧道的地震動響應(yīng)。賀晨蕊等[7]采用有限元分析法,基于ANSYS分析密集建筑群與沉積谷地在地震荷載作用下的相互影響。Jiang等[8]在賀晨蕊等研究的基礎(chǔ)上引入黏彈性人工邊界,研究三維層狀橢球盆地與城市建筑結(jié)構(gòu)群相互作用的頻域與時域分析。Ramírez-Len等[9]采用黏彈性人工邊界研究深覆土土石壩動力響應(yīng)分析。Liu等[10]結(jié)合ABAQUS,基于黏彈性人工邊界和等效節(jié)點力方法研究3D沉積物的非線性地震響應(yīng)。Wang等[11]采用黏彈性人工邊界理論,對三維蜿蜒沉積谷底進(jìn)行頻域分析。

采用瞬態(tài)動力學(xué)分析模塊研究局部場地效應(yīng)時,瞬態(tài)分析模塊在計算場地地震荷載時有極大優(yōu)勢,但荷載步過多,對單元數(shù)量為百萬級甚至千萬級的三維場地模型的計算時間過長,不利于程序的糾錯及尋找一般性規(guī)律。文獻(xiàn)[12-15]認(rèn)為改進(jìn)黏彈性人工邊界的方法后,可提高計算精度,未解決計算效率低的問題?；陬l域分析理論[16],線性結(jié)構(gòu)體系中采用疊加理論,工程波動領(lǐng)域中時域結(jié)果與頻域結(jié)果完全等價,基于快速傅里葉變換法,求解頻域結(jié)果較容易[17]。時域中地震波波形復(fù)雜,荷載隨時間變化劇烈;在頻域分析過程中,所施加的荷載是隨時間變化的簡諧荷載。諧響應(yīng)分析可研究某一確定頻率簡諧荷載作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng),可采用諧響應(yīng)分析代替瞬態(tài)動力學(xué)計算分析線性體系結(jié)構(gòu)。在諧響應(yīng)分析過程中,計算過程只有1步,對隨時間變化的簡諧荷載,采用諧響應(yīng)分析求解模塊的計算時間遠(yuǎn)少于采用瞬態(tài)分析求解模塊。

本文基于工程波動理論,推導(dǎo)平面P波、SV波、SH波垂直入射時的等效節(jié)點力計算公式,采用頻域分析相關(guān)理論與快速傅里葉算法提高頻域計算的計算效率,將時域等效節(jié)點力公式轉(zhuǎn)換為頻域計算公式,通過自由場地、沉積場地、凹陷場地驗證頻域研究方法的準(zhǔn)確性,以期提高三維場地地震動響應(yīng)的頻域計算效率。

1 黏彈性人工邊界與地震動輸入方法

圖1 三維黏彈性人工邊界示意圖

黏彈性人工邊界是在人工節(jié)段邊界節(jié)點上施加彈簧器與阻尼器的模擬計算裝置[18],阻尼器吸收波傳播到邊界處的能量,模擬波在無限域中的傳播;彈簧器吸收人工邊界的反射波,實現(xiàn)波動在邊界上的透射過程。

三維黏彈性人工邊界構(gòu)造如圖1所示,剛度和阻尼系數(shù)的計算公式為:

KBN=αnGAb/R,CBN=ρcpAb,

(1)

KBT=αtGAb/R,CBT=ρcsAb,

(2)

式中:KBN為人工邊界法向彈簧剛度,KBT為人工邊界切向彈簧剛度,CBN為人工邊界法向阻尼系數(shù),CBT為人工邊界切向阻尼系數(shù),αn、αt分別為法向、切向彈簧的修正系數(shù),G為介質(zhì)的剪切模量,R為散射波源到人工邊界結(jié)點的距離,Ab為邊界結(jié)點的影響面積,ρ為介質(zhì)密度,cp為介質(zhì)的P波波速,cs為介質(zhì)的S波波速。

采用黏彈性人工邊界分析局部場地效應(yīng)時,計算各節(jié)點的等效節(jié)點力,實現(xiàn)地震動輸入。通過理論推導(dǎo)二維模型的等效節(jié)點力公式[19]。若人工邊界結(jié)點處有自由場位移向量

(3)

式中u、v、w分別為自由場空間沿x、y、z軸方向的位移。

自由場速度向量為

(4)

自由場應(yīng)力張量為

(5)

式中:σxx、σyy、σzz分別為自由場沿x、y、z軸方向的正應(yīng)力,τxy、τyx為自由場沿xOy平面剪應(yīng)力,τxz、τzx為自由場沿xOz平面剪應(yīng)力,τyz、τzy為自由場沿zOy平面剪應(yīng)力。

基于波動理論,人工邊界結(jié)點上的等效結(jié)點力

(6)

式中:Kb為人工邊界的彈簧剛度,Cb為阻尼系數(shù),n為邊界外法線方向余弦向量。

實際計算時通常已知地表加速度,采用傅里葉計算法求解加速度對應(yīng)的速度和位移,基于一維波理論確定所有自由場的速度和位移。

地震波從模型底面垂直入射自由場的應(yīng)變公式為:

(7)

式中:εxx、εyy、εzz分別為自由場沿x、y、z軸的應(yīng)變,εyz、εzx、εxy分別為自由場沿yOz、xOz、xOy的平面應(yīng)變。

將式(4)代入線彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,可得自由場應(yīng)力

(8)

式中λ為材料梅拉常數(shù)。

由式(1)～(8)可計算黏彈性人工邊界節(jié)點處等效節(jié)點力。因篇幅原因,考慮模型對稱性,僅推導(dǎo)底邊與其他2組側(cè)面等效節(jié)點力公式,其他側(cè)面計算方法類似。

2 時域頻域等效節(jié)點力公式

2.1 P波時域等效節(jié)點力公式

平面P波從底面垂直入射時,在底面邊界上有u=0,v=0,w=w(t),根據(jù)一維波動理論有:

w=w0(t-hd/cp)+w0[t-(2H-hd)/cp],

(9)

(10)

(11)

式中:H為地基底面至地基表面距離,hd為人工邊界各節(jié)點到地基底面距離,t為任意時刻。地基底面邊界上hd=0,n=(0 0 -1)T。

將式(9)～(11)代入式(8),可知底面邊界上自由場應(yīng)力

(12)

將式(9)～(12)帶入式(6)并簡化后可得邊界荷載為:

式中:等效節(jié)點力的上標(biāo)為人工邊界節(jié)點所在面的外法線方向,與坐標(biāo)軸方向一致時為正,與坐標(biāo)軸方向相反時為負(fù);等效節(jié)點力的下標(biāo)為其在x、y、z軸3個方向上的分量。

同理,可求得其他邊界的等效荷載為:

2.2 SV波時域等效節(jié)點力公式

平面SV波從底面垂直入射時,在底面邊界上有:u=u0(t),v=0,ω=0,根據(jù)一維波動理論可知自由場在任意位置h任意時刻t滿足

(13)

式中:cs為土層剪切波速,h為黏彈性人工邊界節(jié)點到地基底邊界的距離。

對式(13)求導(dǎo)可得

(14)

底面邊界上h=0,n=(0 0 -1)T,帶入式(14)可得底面邊界自由場應(yīng)力為:

(15)

將式(15)代入求解,得底邊節(jié)點等效節(jié)點力

可得

同理,可求得其他表面邊界上的等效荷載:

2.3 SH波時域等效節(jié)點力公式

平面SH波從基巖底面垂直入射時,在底面邊界上有u=0,v=0,v=v0(t),w=0,據(jù)一維波動理論有:

底面邊界上h=0,n=(0 0 -1)T,可得底部表面邊界自由場應(yīng)力:

(16)

由式(16)可得底面人工邊界結(jié)點的等效節(jié)點力為:

可得:

同理,可求得其他邊界的等效節(jié)點力荷載:

2.4 頻域等效節(jié)點力公式

在頻域分析中,假設(shè)入射波為正弦波,依據(jù)波動理論與頻域計算相關(guān)理論變換后[16],入射波、反射波的位移分別為:

u1=ei(ωt+kz′),u2=ei(ωt-kz′),

式中:ω為入射波圓頻率,k為波數(shù),z′為節(jié)點深度。

代入相應(yīng)的時域公式,計算可得頻域中P波、SV波、SH波各邊界上的等效荷載。

2.5 頻域公式

P波底面邊界上的等效荷載為:

其他邊界上的等效荷載為:

SV波底面邊界上的等效荷載為:

其他邊界上的等效荷載為:

SH波底面邊界上的等效荷載為:

其他邊界上的等效荷載為:

采用軟件ANSYS編寫頻域分析的核心程序部分[19]。以P波為例,采用ANSYS諧響應(yīng)分析方法分析場地效應(yīng)的加載與求解,編制頻域分析程序,SV波、SH波的頻域分析程序與P波類似。

3 方法驗證

3.1 自由場地驗證

自由場地驗證計算模型為300 m×300 m×300 m,自由場中心半徑R=75 m。采用軟件Solid45高階實體單元模擬土體。為體現(xiàn)黏彈性人工邊界良好的適用性,取較高頻率進(jìn)行自由場地驗證。計算參數(shù)為:無量綱頻率η=2,剪切波速vs=1 km/s,土層密度ρ=2 100 kg/m3,場地阻尼比ζ=0.03,泊松比為1/3。采用簡諧SV波從底部垂直入射,入射波幅值為1.0。x、y軸上的地表節(jié)點在x方向的位移均約為2.0 m。計算結(jié)果如圖2、3所示。

a)x軸(y=0,z=0) b)y軸(x=0,z=0) 圖2 x、 y軸上地表節(jié)點x方向位移

a)x軸 b) y軸 圖3 x、y軸誤差分析

根據(jù)經(jīng)典波動理論,自由場地表理論位移為2.0 m。由圖2可知:x軸上地表節(jié)點的最大位移為2.01 m,最小為1.92 m,與理論位移最大誤差為4.2%;y軸上地表節(jié)點的最大位移為2.01 m,最小為1.93 m,與理論位移最大誤差為3.7%。由圖3可知,自由場地中各項地表位移與理論位移的誤差小于4.5%。采用諧響應(yīng)分析施加人工邊界的三維場地模型可行,且模型預(yù)測位移的準(zhǔn)確度較高。

3.2 沉積場地驗證

為驗證諧響應(yīng)分析求解沉積場地地震動響應(yīng)的適用性,以文獻(xiàn)[20]中的半球沉積盆地理論結(jié)論為例,采用半球形沉積盆地作為驗證對象,建立整體模型,在5個表面加上黏彈性人工邊界進(jìn)行數(shù)值模擬求解。沉積盆地模型的參數(shù)為:沉積盆地半徑R=200 m,沉積盆地內(nèi)剪切波速vsl=500 m/s,壓縮波速vpl=1 km/s,密度ρ=2 100 kg/m3。半空間場地剪切波速vs2=1 km/s,密度ρ2=2 100 kg/m3,沉積場地、半空間自由場泊松比均為1/3,無量綱頻率分別為0.50、0.75。平面P波、SV波、SH波沿模型底部垂直入射,入射波幅值為1.0。對比有限元模擬法的計算結(jié)果與半球沉積盆地理論結(jié)果,如圖4所示。ux、uy、uz分別為x、y、z方向位移。

a)P波 b) SV波 c) SH波 圖4 不同波型入射沉積場地地表位移

由圖4可知:有限元模擬法的計算結(jié)果與半球沉積盆地理論結(jié)果誤差小于3.0%,準(zhǔn)確度較高,說明諧響應(yīng)分析適用于求解沉積盆地地震動響應(yīng)問題;沉積盆地對地震波的放大作用更明顯,越靠近盆地中心,放大效果越顯著,沉積盆地對入射波的聚焦效應(yīng)十分顯著[21-22]。

3.3 凹陷場地驗證

為驗證諧響應(yīng)分析求解凹陷場地地震動響應(yīng)頻域結(jié)果的適用性,以文獻(xiàn)[20]中的半球凹陷場地理論結(jié)論為例,以半球形凹陷場地為驗證對象,凹陷模型的參數(shù)為:凹陷半徑R=200 m,半空間凹陷場地剪切波速vs=1 km/s,密度ρ=2 100 kg/m3,泊松比為1/3,無量綱頻率η=1.0。平面P波、SV波、SH波沿模型底部平面垂直入射,幅值為1.0。對比諧響應(yīng)分析計算結(jié)果與半球凹陷場地理論結(jié)果,結(jié)果如圖5所示。

a)P波 b) SV波 c) SH波 圖5 不同波型入射凹陷場地地表位移

由圖5可知:諧響應(yīng)分析計算結(jié)果與半球凹陷場地理論結(jié)果誤差小于3.2%,準(zhǔn)確度較高,說明諧響應(yīng)分析法適用于求解凹陷地地震動響應(yīng)問題;平面S波凹陷部分地表的位移低于周圍自由場,平面P波則相反,表明半球形凹陷地形放大或縮小了地表的響應(yīng)。

4 結(jié)束語

基于三維黏彈性人工邊界的局部場地地震動輸入方法,根據(jù)波動理論,分別推導(dǎo)平面P波、SV波、SH波垂直入射時的等效節(jié)點力計算公式。為顯著提高有限元法的計算效率,采用快速傅里葉變換法將平面SV波、P波、SH波時域中的等效節(jié)點力荷載轉(zhuǎn)換為頻域中的等效節(jié)點荷載,推導(dǎo)平面SV波、P波、SH波垂直入射時頻域分析中的等效節(jié)點力計算公式,并編制ANSYS諧響應(yīng)分析的核心命令流程序。為驗證頻域研究方法的準(zhǔn)確性,與自由場地三維沉積場地和三維凹陷場地的結(jié)果進(jìn)行驗證對比。結(jié)果表明,采用頻域等效節(jié)點力公式求解頻域結(jié)果的準(zhǔn)確度較高。

本文僅對三維垂直入射的正弦波動響應(yīng)分析給出頻域計算公式與相應(yīng)程序,該研究方法與程序適用于二維場地分析。對其他彈性波(如Rayleigh波、Ricker波等)需進(jìn)一步依據(jù)相關(guān)理論轉(zhuǎn)換,同時斜波入射的頻域分析仍需進(jìn)一步研究,提高場地效應(yīng)頻域分析的計算效率。