等腰三角形中不確定性問題的解決

朱小成

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由于等腰三角形的邊、角都有不同的類型,因此一些題目中的條件在設(shè)計(jì)之初就存在不確定性[1].但是,由于學(xué)生的思維定勢比較嚴(yán)重,他們?cè)诜治鰡栴}時(shí)往往表現(xiàn)得比較片面,進(jìn)而會(huì)出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤[2].想要解決等腰三角形中的不確定性因素問題,需要學(xué)生突破思維定勢,從多個(gè)角度分析問題存在幾種可能性,然后逐一擊破,這就是分類討論思想.基于此,本文中將結(jié)合例題探究分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用,尤其是在解決不確定性因素時(shí)的用法.

1 例析常見的不確定性問題

等腰三角形中的不確定因素主要表現(xiàn)在邊和角兩個(gè)方面,但根據(jù)實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看,不能排除三角形形狀不確定的可能.因?yàn)榈妊切蔚捻斀怯兄苯?、銳角和鈍角之分,而頂角的不同也會(huì)導(dǎo)致其形狀有所不同.下面將從三個(gè)方面例析等腰三角形中常見的不確定性問題.

1.1 角的不確定

例1已知△ABC是等腰三角形,∠A=80°,求它的頂角度數(shù).

分析：雖然已知三角形的形狀是等腰三角形,且∠A=80°,但由于等腰三角形中的角有頂角與底角之分,而題中并未告知∠A為何種角,所以應(yīng)分情況討論.

解：根據(jù)題意,應(yīng)分兩種情況.

(1)當(dāng)∠A為頂角時(shí),△ABC的頂角度數(shù)就是80°.

(2)當(dāng)∠A為底角時(shí),△ABC的頂角度數(shù)就是180°-80°×2=20°.

綜上所述,△ABC的頂角度數(shù)為80°或20°.

反思：等腰三角形中的角有頂角和底角之分,在審題時(shí)切勿因思維定勢貿(mào)然認(rèn)為題中所給的角是頂角或底角,如此必然會(huì)導(dǎo)致漏解.

1.2 邊的不確定

例2若一根長為28 m的鋼絲可以圍成一個(gè)邊長為6 m的等腰三角形支架(忽略交接處鋼絲的長度),那么該等腰三角形支架的腰長為______m.

分析：盡管已知支架的形狀為等腰三角形,但并未明確長為6 m的邊是其腰還是底邊,所以本題也應(yīng)分兩種情況討論.

解：根據(jù)題意,應(yīng)分兩種情況.

(1)當(dāng)6 m長的邊是等腰三角形的腰時(shí),該等腰三角形支架的腰長為6 m.

(2)當(dāng)6 m長的邊是等腰三角形的底邊時(shí),該等腰三角形支架的腰長就是(28-6)÷2=11(m).

綜上,等腰三角形支架的腰長是6 m或11 m.

反思：等腰三角形的邊不只有腰這一種,還有底邊.所以在分析問題時(shí),應(yīng)區(qū)分清楚等腰三角形邊的情況,然后結(jié)合分類討論思想解決問題.當(dāng)然,如果求得的腰或底邊不足以構(gòu)成三角形,則另需說明并排除.

如下面的變式:

已知一等腰三角形的周長是18,它的一邊長為4,那么該等腰三角形的其他兩邊長分別是______.

題中長為4的邊同樣不確定,應(yīng)分類討論:

當(dāng)長為4的邊是腰時(shí),那么另一腰是4,底邊長是18-4-4=10.然而,此時(shí)的4,4,10三邊并不能構(gòu)成三角形,所以排除.

當(dāng)長為4的邊是底邊,那么腰是(18-4)÷2=7,且三邊為7,7,4,此時(shí)可構(gòu)成三角形.

綜上,該等腰三角形的其他兩邊長分別是7,7.

1.3 形狀的不確定

例3已知△ABC為等腰三角形,一腰上的高和另一腰的夾角為60°,則該等腰三角形的頂角為______.

分析：本題無圖,所以應(yīng)先根據(jù)條件畫圖.但由于一腰上的高和另一腰的夾角存在兩種情況,因此應(yīng)該分類討論.

解：如圖1所示,當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時(shí),∠ABD=60°,則∠A=30°.

圖1

如圖2所示,當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時(shí),∠ACD=60°,則∠BAC=120°.

圖2

綜上,本題的正確答案為30°或120°.

反思：學(xué)生普遍認(rèn)為這樣的三角形為銳角三角形,所以他們只是一味地在銳角等腰三角形中分析該問題,而忽略了該等腰三角形有可能為鈍角三角形的情況,這就是典型的思維定勢.

2 解決策略總結(jié)

通過上面三道例題可以發(fā)現(xiàn),解決等腰三角形中不確定性問題的方法就是分類討論.接下來,筆者將具體的解決策略總結(jié)如下.

(1)解決角的不確定性問題

角的不確定性在等腰三角形中出現(xiàn)的幾率較大,解決這類問題通常按照下面的思路解決:

首先,應(yīng)知曉題中所給條件中的“角”是否已經(jīng)明確了其是頂角還是底角.如果已經(jīng)確定,則按照題意直接分析即可;如果尚未確定,則需分“角是頂角”和“角是底角”兩種情況進(jìn)行討論.最后,將分類討論的結(jié)果進(jìn)行綜合,得到最終的解題結(jié)果.

解決這類問題時(shí),需注意兩個(gè)方面:

①在分類討論過程中,應(yīng)根據(jù)審題結(jié)果畫出相應(yīng)的圖形;

②解題的最后一定要將分類討論計(jì)算的結(jié)果綜合起來得到最終的解題結(jié)果,即“綜上……”這個(gè)步驟不能忽略[3].

(2)解決邊的不確定性問題

邊的不確定性和角的不確定性一樣,在等腰三角形中出現(xiàn)的幾率也比較大.如果題目告知三角形為等腰三角形,但并未明確邊的類型,即并未告知邊是腰還是底邊,那么應(yīng)按照下面的思路解決這類問題:

首先,應(yīng)在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上知曉題中是否明確了邊為腰還是底邊.如果已經(jīng)確定,那么只要直接根據(jù)題意進(jìn)行分析和計(jì)算即可;如果尚未確定,則需分“邊是腰”和“邊是底邊”兩種情況進(jìn)行討論.同時(shí),在分析之前一定要根據(jù)具體的情況和要求畫出相應(yīng)的圖形,切勿在腦中天馬行空.最后,將分類討論的結(jié)果進(jìn)行綜合,得到最終的解題結(jié)果.

在解決這類問題時(shí),同樣需注意兩個(gè)方面:

①根據(jù)審題結(jié)果畫出相應(yīng)的圖形,是利用分類討論思想解決該類問題的第一步.只有根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形,才能更準(zhǔn)確地分析問題.切勿在未畫圖的情況下分析問題,這樣極易出錯(cuò),因?yàn)槌踔猩某橄笏季S還較弱.

②既然是利用分類討論思想解決該類問題,那么最后同樣需要將分類討論計(jì)算的結(jié)果綜合起來.

(3)解決形狀不確定性的問題

形狀的不確定性雖然在等腰三角形中不多見,但是,只要一出現(xiàn)往往比較難以解決,且學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目需要分類討論的可能性極小.因此,形狀不確定的問題需要教師和學(xué)生足夠重視,教師要多呈現(xiàn)這類例題,以通過分析不斷拓寬學(xué)生的視野,提升學(xué)生的解題能力.

解決等腰三角形形狀的不確定問題,應(yīng)該按照如下步驟進(jìn)行:

首先,在畫出符合題意的圖形后,潛意識(shí)中一定要問“是這樣的嗎?”“是只有這一種情況嗎?”等問題,以此尋找突破思維定勢的“點(diǎn)”.一旦養(yǎng)成這樣的習(xí)慣,那么這類問題漏解的可能性就會(huì)逐漸減小.

其次,畫圖、綜合等過程和前兩種不確定性問題的解決方法一樣.

3 結(jié)語

總之,等腰三角形中的不確定因素較多,要想不漏解、不做錯(cuò),就需要時(shí)刻小心.當(dāng)然,這主要還是源于優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).為此,在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中,教師有必要不斷引導(dǎo)或指導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想分析問題、解決問題并進(jìn)行反思.