新課程背景下初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接研究
——從初高中“代數(shù)運(yùn)算”銜接的角度進(jìn)行分析

吳加火

(福建省大田縣第一中學(xué),福建 三明 366100)

在2022年印發(fā)的《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》中延續(xù)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1].數(shù)學(xué)運(yùn)算作為核心素養(yǎng)的行為表現(xiàn)之一,具有整體性、一致性和階段性的特征[2],各個階段對運(yùn)算能力的要求都有所不同,小學(xué)階段主要以數(shù)的運(yùn)算為主,初中階段的運(yùn)算還要求對數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行探討,而高中階段的運(yùn)算對象具有多樣性的特征,應(yīng)用的領(lǐng)域也更加廣泛,注重數(shù)學(xué)思維品質(zhì)以及科學(xué)精神的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)的基本形式之一,實(shí)數(shù)的運(yùn)算和代數(shù)式、方程、函數(shù)中的各種運(yùn)算為數(shù)學(xué)思維的運(yùn)作提供了具體問題或思考素材,使初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以融會貫通,都需要經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、實(shí)驗(yàn)與類比等,逐步揭示出事物的本質(zhì)[3].如何將蘊(yùn)含在初中數(shù)學(xué)知識中的數(shù)學(xué)思想方法提煉出來?如何在初中階段就開始培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方式?高中階段又該如何將初中數(shù)學(xué)運(yùn)算作為新知識教學(xué)的“生長點(diǎn)”?等等.關(guān)于初高中教學(xué)銜接的這些問題是值得我們深入思考和研究的.本文擬以“代數(shù)運(yùn)算”為切入點(diǎn),探究實(shí)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)銜接的有效教學(xué)途徑和方法.

1 關(guān)于初高中代數(shù)式結(jié)構(gòu)識別的對比

數(shù)學(xué)的運(yùn)算符號具有高度的抽象性,要能深刻理解它的內(nèi)涵需要讓學(xué)生獲得足夠的數(shù)學(xué)活動體驗(yàn)[4].

在符號運(yùn)算過程中,通過識別數(shù)學(xué)關(guān)系揭示符號運(yùn)算的本質(zhì),并將發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)關(guān)系用符號表示出來,逐步形成歸納和演繹的數(shù)學(xué)思考方式.初中教材直觀性強(qiáng),課后習(xí)題變化小,內(nèi)容坡度緩,足夠多的例題有利于教師引導(dǎo)學(xué)生抽象出研究對象的關(guān)系,并用符號建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型[5].高中階段的教材概念較多,使用的符號也多,有著嚴(yán)格的定義,又要求嚴(yán)格論證,之所以初高中脫節(jié)主要集中在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生只重視結(jié)論性知識的運(yùn)用,而忽略結(jié)論推導(dǎo)中的過程性知識.

筆者在本縣縣域選取了多所初高中校,到各年級中抽取部分學(xué)生(生源分布在鄉(xiāng)鎮(zhèn)和城區(qū),質(zhì)量有高有低),以下是采用問卷調(diào)查的方式獲得關(guān)于符號理解的調(diào)查結(jié)果.

能夠說出“sinθ、cosθ、tanθ”所表示的邊角關(guān)系,初中為43.5%,高中為56.7%;

從以上調(diào)查的部分結(jié)果可以看出:初高中生在理解運(yùn)算符號的意義上存在一定的差距,初中的符號識別及運(yùn)用法則進(jìn)行計算相對較弱,高中生的相對較強(qiáng).

2 關(guān)于初高中代數(shù)運(yùn)算課程及教學(xué)的對比

高中階段的數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算的延續(xù),雖然內(nèi)容有所不同,但基本運(yùn)算思想還是共通的[6].

初中階段,學(xué)生在七年級有了整式的四則運(yùn)算、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的鋪墊,在八年級又經(jīng)過將有理數(shù)系的擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的準(zhǔn)備,逐步過渡到九年級認(rèn)知方程根與系數(shù)的關(guān)系,獲得對方程本質(zhì)的感悟,最后在高中階段的函數(shù)與方程、解析幾何等問題的解決中領(lǐng)悟“代數(shù)方法解決幾何問題”的數(shù)學(xué)方法.

初中階段中對負(fù)數(shù)意義的感悟可以從這兩個角度:一是現(xiàn)實(shí)中具有相反意義的兩個量;二是數(shù)學(xué)加減運(yùn)算的封閉性[7].初中階段對整式的乘法法則的解釋是采用幾何直觀的方式,從觀察示圖、做一做、想一想逐步過渡到以演繹為主的推理,發(fā)現(xiàn)或構(gòu)建數(shù)學(xué)符號結(jié)構(gòu)中的幾何意義,初步感悟數(shù)形結(jié)合的思想.

初中階段是指數(shù)運(yùn)算法則的推導(dǎo)及運(yùn)用的準(zhǔn)備和鋪墊.高中階段,在指對數(shù)運(yùn)算的教學(xué)中,構(gòu)建現(xiàn)實(shí)問題情境,從而引出對數(shù)運(yùn)算的需求.這個過程突出了初高中數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算的銜接關(guān)系,讓學(xué)生感悟兩種運(yùn)算之間的可逆轉(zhuǎn)換關(guān)系,然后運(yùn)用類比特定對象的教學(xué)方式得到了對數(shù)的運(yùn)算法則.這是對初中數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算的進(jìn)一步深化,既體現(xiàn)了從問題情境中抽象出核心變量及變量間的關(guān)系,并要求能用數(shù)學(xué)符號予以表達(dá),也體現(xiàn)了初高中課程、教學(xué)銜接的發(fā)展與變化.

3 核心素養(yǎng)落實(shí)貫穿于初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整個過程

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)過程是一個持續(xù)不斷、前后聯(lián)系的過程[8].初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)要為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)打下一定的基礎(chǔ),儲備一定程度的數(shù)學(xué)知識,積累一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),創(chuàng)造有利于培養(yǎng)高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的條件.新課程標(biāo)準(zhǔn)中提到:“通過經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程,理解概念和法則的發(fā)生與發(fā)展,合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學(xué)規(guī)律,經(jīng)歷數(shù)學(xué)‘再發(fā)現(xiàn)’的過程”[9].

3.1 在探究概念和法則的形成過程中落實(shí)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

代數(shù)運(yùn)算的主要內(nèi)容是運(yùn)算法則的形成與運(yùn)用,為有效落實(shí)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),可以采取歸納的教學(xué)方式.

3.2 在代數(shù)運(yùn)算教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng)

實(shí)踐表明,引導(dǎo)學(xué)生探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律,讓學(xué)生經(jīng)歷逐級抽象的過程,可以發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng).對于一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系探究中,要著眼于對關(guān)系的理解,盡可能采用多種表達(dá)方式,比如圖象語言、符號語言或者自然語言,讓學(xué)生逐步認(rèn)識到三者之間的內(nèi)在聯(lián)系.

3.3 在代數(shù)運(yùn)算的綜合運(yùn)用的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

初中階段“代數(shù)運(yùn)算”中包含的幾個重要數(shù)學(xué)模型有:整式運(yùn)算模型、分式運(yùn)算模型、一元一次函數(shù)模型、拋物線模型等.高中階段“代數(shù)運(yùn)算”中包含的幾個重要數(shù)學(xué)模型有:指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型、數(shù)列模型等模型.教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷建模、求解、驗(yàn)證、反思完整的數(shù)學(xué)建模過程,逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型觀念[10].

初高中的銜接,即將學(xué)生在初中階段已經(jīng)積累的知識體系有機(jī)融入到高中階段新的知識體系中,銜接的內(nèi)容應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)的發(fā)展性、持續(xù)性和階段性的特征.

4 寫在最后

通過比較初高中課程、教學(xué)中關(guān)于代數(shù)運(yùn)算的內(nèi)在聯(lián)系,初高中的數(shù)學(xué)知識之間有著逐級上升、由具體到抽象的變化過程.筆者認(rèn)為,要有效實(shí)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)代數(shù)運(yùn)算課程、教學(xué)的銜接應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn).

4.1 注重代數(shù)運(yùn)算課程內(nèi)容的整體性和一致性分析

初高中代數(shù)運(yùn)算課程內(nèi)容具有整體性和一致性的特征,應(yīng)分析課程內(nèi)容的本質(zhì)特征、相關(guān)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系、關(guān)鍵概念及核心素養(yǎng).算理是算法的理論依據(jù),算法是算理的實(shí)踐策略,強(qiáng)化算法和算理的理解,掌握正確的算理,形成合理的算法.

4.2 重視代數(shù)運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)中核心素養(yǎng)的達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)要特別重視核心素養(yǎng)的達(dá)成,運(yùn)算法則是代數(shù)運(yùn)算的核心內(nèi)容,在知識形成的發(fā)生、發(fā)展過程中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

4.3 突出代數(shù)運(yùn)算核心概念的深度學(xué)習(xí)

2022年版新課標(biāo)指出:“聚焦核心概念的關(guān)鍵內(nèi)容的深度學(xué)習(xí),深刻理解掌握所學(xué)內(nèi)容,形成相關(guān)的核心素養(yǎng),……”“位值制、計數(shù)單位、相加、相等、運(yùn)算律……”等這些數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心概念是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ),是能將跨主題、跨學(xué)科內(nèi)容聯(lián)系在一起的有利工具,核心概念的理解要貫穿初高中數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的始終.

4.4 關(guān)注學(xué)生獲得深度探究的代數(shù)運(yùn)算活動經(jīng)驗(yàn)

通過選擇貼近學(xué)生生活實(shí)際的問題情境,幫助學(xué)生充分認(rèn)識運(yùn)算對象,提升轉(zhuǎn)化能力和意識,經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、實(shí)驗(yàn)與類比等或者推理,將生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),逐步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),提升抽象能力、建模能力和運(yùn)算能力.