三角函數(shù)常見典型考題賞析

■趙 昆

三角函數(shù)是每年高考的熱點之一,高考主要考查三角函數(shù)的圖像與性質、三角函數(shù)的化簡與求值等。下面就三角函數(shù)常見典型考題,進行實例剖析,供大家學習與參考。

題型1:終邊相同的角

終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍;終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍;終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍。

例1 (1)把-1480°寫成α+2kπ(k∈Z)的形式,其中0≤α≤2π。

跟蹤訓練1:已知角α=2025°。

(1)將角α改寫成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出角α是第幾象限的角。

(2)在區(qū)間[-5π,0)上找出與角α終邊相同的角。

提示:(1)因為,又是第三象限角,所以α是第三象限角。

題型2:象限角

判斷角α是第幾象限角的常用方法:將α寫成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°～360°范圍內)的形式,觀察角β的終邊所在的象限即可。由α所在的象限確定2α所在的象限時,應注意2α可能不再是象限角,對此特殊情況應特別指出,如α=135°,而2α=270°就不再是象限角。

例2 若α是第二象限角,則180°-α是( )。

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

解:α為第二象限角,不妨取α=120°,則180°-α為第一象限角。應選A。

跟蹤訓練2:在0°～360°范圍內,找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限角。

(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′。

提示:(1)因為-150°=-360°+210°,又210°是第三象限角,所以-150°是第三象限角。

(2)因為650°=360°+290°,又290°是第四象限角,所以650°是第四象限角。

(3)因為-950°15′=-1080°+129°45′,又129°45′是第二象限角,所以-950°15′是第二象限角。

題型3:三角函數(shù)角的判斷

當角θ的終邊在不同象限時,其三個三角函數(shù)值的符號會發(fā)生變化,記憶的口訣是“全正切余”,即第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正。

例3 若sinαtanα<0,且,則角α是( )。

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 D.第四象限角

解:因為,所以cosα<0。又因為,所以sinα<0,所以角α為第三象限角。應選C。

跟蹤訓練3:“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的( )。A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示:當θ為第一或第四象限角時,cosθ>0,所以“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分條件。當cosθ>0時,θ為第一或第四象限角或x軸正半軸上的角,所以“θ為第一或第四象限角”不是“cosθ>0”的必要條件。故“θ為第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分不必要條件。應選A。

題型4:sinα±cosα 與sinαcosα 關系的應用

sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα這三個式子,已知其中一個,可以求其他兩個,即“知一求二”,它們之間的關系是(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα。求sinα+cosα或sinα-cosα的值,要注意根據(jù)角α所在的象限判斷它們的符號。

題型5:已知tanα,求關于sinα 與cosα的齊次式的值

題型6:誘導公式的應用

誘導公式的應用策略:將已知角化為k·360°+α(k為 整 數(shù),0°≤α<360°)或2kπ+β(k為整數(shù),0≤β<2π)的形式;將原三角函數(shù)值化為角α的同名三角函數(shù)值,借助特殊角的三角函數(shù)值或任意角的三角函數(shù)的定義達到化簡求值的目的。對于角(k∈Z)”的變換遵循“奇變偶不變,符號看象限”的法則?！捌孀兣疾蛔儭笔侵浮爱攌為奇數(shù)時,正弦變余弦,余弦變正弦;當k為偶數(shù)時,函數(shù)名不變”?！胺柨聪笙蕖笔侵浮霸诮铅恋娜呛瘮?shù)值前面加上當α為銳角時,原函數(shù)值的符號”。

例6 已知角α終邊上一點P(-4,3),則的值為_____。

解:因為P(-4,3)是角α終邊上一點,所以

題型7:三角函數(shù)的奇偶性與周期性的應用

解決三角函數(shù)的奇偶性與周期性問題的方法:利用函數(shù)的周期性,把x+nT(n∈Z)的函數(shù)值轉化為x的函數(shù)值;利用奇偶性,找到-x與x的函數(shù)值的關系,從而解決求值問題。若f(x+t)=f(x),則函數(shù)周期為t;若f(x+t)=-f(x),則函數(shù)周期為2t;若,則函數(shù)周期為2t;若,則函數(shù)周期為2t。

例7 下列函數(shù)中,不是周期函數(shù)的是( )。

A.y=|cosx| B.y=cos|x|

C.y=|sinx| D.y=sin|x|

解:函數(shù)y=|cosx|是周期函數(shù),排除A。函數(shù)y=cos|x|=cosx是周期函數(shù),排除B。函數(shù)y=|sinx|是周期函數(shù),排除C。函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù),D 滿足題意。應選D。

題型8:三角函數(shù)單調性的應用

求正、余弦函數(shù)有關的單調區(qū)間,可利用正、余弦函數(shù)的圖像,結合它們的單調區(qū)間求解。確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)單調區(qū)間的方法:采用換元法整體代換,將ωx+φ看作一個整體,令z=ωx+φ,通過求y=Asinz的單調區(qū)間而求出此函數(shù)的單調區(qū)間,注意當ω<0 時,可利用誘導公式將x的系數(shù)轉變?yōu)檎龜?shù)。比較三角函數(shù)值大小的步驟:把異名函數(shù)化為同名函數(shù),利用誘導公式把角化到同一單調區(qū)間上,利用三角函數(shù)的單調性比較大小。

例8 已 知 函 數(shù)f(x)=sin（ωx+）(ω>0),對 任 意x∈R,都 有f(x)≤,且f(x)在區(qū)間上不單調,則ω的最小值是( )。

A.1 B.3 C.5 D.7

解:由題意得是函數(shù)f(x)的最大值,所以,k∈Z,即ω=6k+1,k∈Z。

因為ω>0,所以取k=0,可得ω=1,且上單調遞增,這時不符合題意;

取k=1,可得ω=7,且f(x)=sin（7x+）,這時符合題意。

故ω的最小值為7。應選D。

跟蹤訓練8:函數(shù)f(x)=cos(x+θ)在[0,π]上為增函數(shù),則θ的值可以是( )。

提示:對于A,f(x)=cosx,由余弦函數(shù)的性質知f(x)在[0,π]上為減函數(shù),排除A。對于B,在[0,π]上先減后增,排除B。對于C,f(x)=cos(x+π)=-cosx,由余弦函數(shù)的性質知f(x)在[0,π]上為增函數(shù),C 成立。對于D,在[0,π]上先增后減,排除D。應選C。

題型9:正切函數(shù)的圖像與性質的應用

題型10:和角公式與差角公式的應用

四個 公 式C(α±β)、S(α±β),雖 然 形 式 不 同、結構不同,但它們的本質是相同的,其內在聯(lián)系為-β)。對于公式C(α-β)與C(α+β),可記為“同名相乘,符號相反”,對于公式S(α-β)與S(α+β),可記為“異名相乘,符號相同”。使用和差角公式時,不僅要會正用,還要會逆用,如化簡sinβ·cos(α+β)-cosβsin(α+β)時,不要將cos(α+β)和sin(α+β)展開,應采用整體思想,作如下變形:sinβcos(α+β)-cosβ·sin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sinα。對 于 公 式T(α+β),T(α-β),tanα·tanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β)),三者可“知二求一”。

例10 求值:

跟蹤訓練 10:下列化簡正確的是( )。

題型11:給值(或式)求值

對于給值求值問題,當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式;當“已知角”有一個時,應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”。

題型12:給值求角

給值求角的實質是轉化為給值求值,先求角的某一三角函數(shù)值,再求角的范圍,最后確定角的大小。

例12 已知sin(α+β)=sinα-sinβ,若,且β∈（0,π ）,則β=( )。

題型13:二倍角公式的應用

公式的正用:從條件出發(fā),順著問題的線索,以“展開”公式的方式使用。公式的逆用:逆向轉換,應用時要求對公式特點有一個整體感知,主要形式有2sinαcosα=sin2α,等。公式的變形應用:將公式進行簡單等價變形后,利用其新形式,主要形式 有1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=

題型14:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質的應用

給出y=Asin(ωx+φ)的圖像的一部分,確定A,ω,φ的三種方法:先從圖像上可直接確定A和ω,再選取五點法中的“第一零點”代入“ωx+φ=0”(要注意正確判斷哪一點是“第一零點”),求得φ,或選取最大值點代入,k∈Z,選取最小值點代入,k∈Z,求得φ;結合五點法,將特殊點代入函數(shù)式,可以求得相關待定系數(shù)A,ω,φ,這里需要注意的是,要認清所選擇的點屬于五點法中的哪一點;利用逆向思維的方法,先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)=Asinωx,再根據(jù)圖像平移、伸縮規(guī)律,確定相關的參數(shù)。

例14 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖像,如圖1所示。

(1)求函數(shù)f(x)的解析式。

(2)將函數(shù)f(x)的圖像向左平移個單位,再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到函數(shù)g(x)的圖像,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,π]上的值域。

解:(1)由圖可知,,可得T=π,則ω=2,這時f(x)=Asin(2x+

圖2

A.函數(shù)g(x)是奇函數(shù)

B.函數(shù)g(x)在區(qū)間[-2π,0]上是增函數(shù)

C.函數(shù)g(x)的圖像關于點(3π,0)對稱

D.函數(shù)g(x)的圖像關于直線x=-3π對稱