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    數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)視角下的高考試題分析及教學(xué)建議

    2023-12-19 01:08:53劉正章
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)運算試題分析教學(xué)建議

    【摘? 要】? 數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的核心素養(yǎng)之一,是數(shù)學(xué)活動的基本形式,是演繹推理的一種形式,是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.文章剖析了2023年全國高考數(shù)學(xué)乙卷蘊含的多維度、多角度落實數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的考查內(nèi)容和方式,并給出一些有效的教學(xué)建議.

    【關(guān)鍵詞】? 數(shù)學(xué)運算;數(shù)學(xué)素養(yǎng);試題分析;教學(xué)建議

    1? 問題的提出

    供陜西、甘肅、寧夏、青海、新疆、內(nèi)蒙、江西、河南八省的2023年全國高考數(shù)學(xué)乙卷,全面考查了考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和能力,充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的高考考查要求,凸顯數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科和在人才選拔中的重要作用,但不少考生認(rèn)為試題結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,難度不大,就是沒有做完,特別是實際分?jǐn)?shù)與期望存在較大反差.那么是什么原因?qū)е路謹(jǐn)?shù)的落差呢?本文筆者從數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的視角來剖析試題,并給出些許教學(xué)建議,不當(dāng)之處敬請指正.

    2? 基于運算素養(yǎng)的試題分析

    數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的必由之路和關(guān)鍵環(huán)節(jié),也是演繹推理的一種形式,是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段,試題彰顯數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)活動的基本形式,充分體現(xiàn)了“無運算不數(shù)學(xué)”的特點.按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)給出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù),數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)被劃分為三個水平,每一個水平又通過情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)和交流與反思這四個維度進(jìn)行表述,根據(jù)滿意原則,將每道試題四個維度中的最高水平作為該試題的運算素養(yǎng)水平得到表1[1],下面舉例說明相關(guān)“水平”的確定.圖1

    例1? (理科第19題)如圖1,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中點分別為D,E,O,AD=5DO,點F在AC上,BF⊥AO.

    (1)證明:EF∥平面ADO;(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

    試題分析? 本題以三棱錐為載體進(jìn)行命題,考查了線面平行、面面垂直的判定和二面角的求法.前兩問表面看是空間線面位置關(guān)系的幾何證明,實則蘊含大量的代數(shù)推理. 因為點F由BF⊥AO確定,所以問題的關(guān)鍵就是恰當(dāng)利用條件BF⊥AO,推得F是AC的中點. 解答時,首先要在數(shù)學(xué)情境中迅速地找到運算對象;然后根據(jù)題目所需,選擇比較合適的運算方法求得所需結(jié)果. 第一問,可從以下三個角度進(jìn)行思考: ①向量基底法或向量坐標(biāo)法,從計算BF·AO入手,如設(shè)AF=tAC,則BF=BA+AF=(1-t)BA+tBC,AO=-BA+12BC,則由BF·AO=0,解得t=12,得F為AC的中點;②解析法,如以BA,BC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系,從計算斜率,即kBF×kAO=-1入手,求得F(1,2),說明F為AC的中點;③利用平面幾何知識,如同一法(設(shè)F′是AC的中點,利用三角形相似或勾股定理的逆定理證BF′⊥AO,由唯一性知BF與BF′重合,即F、F′為同一點).最后證明四邊形ODEF為平行四邊形,再利用線面平行的判定推理作答.

    第二問,可從以下兩個角度進(jìn)行思考:①利用向量法,如計算法向量,證法向量垂直;②幾何綜合法,如計算OD2+AO2=AD2=152,利用勾股定理的逆定理得OD⊥AO,進(jìn)而由線面和面面垂直的判定定理證明.

    第三問,同樣有兩個思考角度,如圖2:①利用空間向量法,建立空間直角坐標(biāo)系,得平面AOC的一個法向量m=(0,0,1),平面ADO的一個法向量n=(1,2,3),由向量夾角公式和同角關(guān)系得結(jié)論為22;

    ②幾何綜合法(一作二證三計算),如過點O作OH∥BF交AC于點H,則∠DOH為二面角D-AO-C的平面角,但運用余弦定理求角時需求△DOH的三邊長,它不僅需繼承已有結(jié)果,而且計算邊DH=152的運算也不簡單.詳解? 略.

    素養(yǎng)水平? 通過對試題的詳細(xì)分析可知,該題在考查相關(guān)空間點、線、面位置關(guān)系判定的同時,全面考查考生空間想象、運算求解、邏輯推理及綜合分析解決問題的能力.第一問在情境與問題這個維度涉及到的只有數(shù)學(xué)情境,無其它情境;在知識與技能這個維度,考查的知識點涉及線線平行、線面平行的判定和線線垂直的性質(zhì)及相關(guān)平面幾何知識,考查考生靈活應(yīng)用所學(xué)知識,選擇合理運算方法解決問題的能力;在思維與表達(dá)這個維度,體會通過合理運算解決線面平行的推理證明過程,形成規(guī)范化思考解決問題的品質(zhì);從交流與反思這個維度來看,體現(xiàn)了借助運算探討位置關(guān)系的運用.根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》有關(guān)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平劃分,第一小問基本可以劃分為數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平2.

    第二問承前啟后,通過勾股定理的逆定理得到DO⊥AO,進(jìn)而有EF⊥AO,說明考生能將題目提供的數(shù)據(jù)信息與幾何圖形有機聯(lián)系,并能形成合理的運算思路解決問題,類同第一問,根據(jù)加分原則,可以認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)水平2的要求.

    第三小問在情境與問題這個維度仍僅涉及數(shù)學(xué)情境,運算對象清晰;在知識與技能這個維度,在前兩問的基礎(chǔ)上還涉及二面角、空間向量坐標(biāo)、法向量、夾角公式、同角三角關(guān)系等知識點,主要考查考生根據(jù)所求問題選擇適合解決該問題的運算方法;在思維與表達(dá)這個維度,主要考查學(xué)生能否利用所學(xué)知識設(shè)計運算程序,求出二面角的正弦值,進(jìn)而體驗運算即邏輯推理的過程;在交流與反思這個維度,體現(xiàn)了利用運算結(jié)果說明問題這一過程,根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》,該問達(dá)到數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平2的要求.

    例2? (理科第20題,文科第21題)已知橢圓C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的離心率是53,點A(-2,0)在C上.

    (1)求C的方程;(2)過點(-2,3)的直線交C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點.

    試題分析? 該題以圓錐曲線中的橢圓為載體設(shè)置,第一問相對比較簡單, 主要考查的是考生能夠利用主干條件求出題目中要求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,第二問在主干條件的大前提下,又設(shè)置了小條件作為問題解決的媒介,考查的是直線恒過定點問題.

    解答第二問,首先要不拘泥于試題的固有形式,能對試題適當(dāng)拓展延伸,問題即驗證yM+yN2為定值;其次,能夠針對所求問題選擇較合適的運算方法,最主要的是結(jié)合所學(xué)知識將抽象的動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為可以直接解答的問題,如圖3.

    易知直線PQ的斜率存在,設(shè)PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立,韋達(dá)定理可得

    x1+x2=-8k(2k+3)4k2+9,x1x2=16(k2+3k)4k2+9,再在直線AP:y=y1x1+2(x+2)中,令x=0,得yM=2y1x1+2,變量替換可得yN=2y2x2+2,綜合y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3等信息,運算得

    yM+yN2=3,即證得線段MN的中點是定點(0,3).

    在整個解題過程中考生能體驗到利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸思想解決復(fù)雜問題的功效,及規(guī)范化的理性思維品質(zhì)和克服困難、勇攀高峰的精神意志.詳解? 略.

    素養(yǎng)水平? 通過上面對試題的詳細(xì)分析,可以看到這道試題不僅是單一地考查相關(guān)知識點,還考查考生的綜合分析及解決問題的能力. 這道試題的第一問在情境與問題這個維度涉及到的只有單純的數(shù)學(xué)情境,無其它任何的實際情境;在知識與技能這個維度,考查的知識點涉及橢圓的離心率、頂點、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要考查考生應(yīng)用所學(xué)知識列、解方程的能力;在思維與表達(dá)這個維度,考生能夠體會橢圓的幾何性質(zhì)及方程思想對整個問題解決的關(guān)鍵作用;從交流與反思這個維度來看,體現(xiàn)了“反思” 這個過程. 根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》有關(guān)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平劃分,該問基本可以劃分為數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平1.

    第二問在情境與問題這個維度涉及到的是純數(shù)學(xué)情境,只需簡單轉(zhuǎn)化即可明確運算對象;在知識與技能這個維度,該問除了要利用第一問的計算結(jié)果之外,還涉及直線方程、直線與橢圓位置關(guān)系、韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式和定點等知識點,主要考查考生能否綜合應(yīng)用所學(xué)過的知識,結(jié)合題目條件準(zhǔn)確地找出運算問題,再根據(jù)所求問題的類型選擇適合解決該運算問題的運算方法;在思維與表達(dá)這個維度,主要考查學(xué)生能否利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、設(shè)而不求、設(shè)而要求、化歸等思想方法設(shè)計運算程序,求出點M、N的坐標(biāo)之和;其次,在解題過程中切身體會到運算過程是一種邏輯推理過程;在交流與反思這個維度,體現(xiàn)了“反思”這一過程,說明考生能合理構(gòu)造運算程序,綜合運用相關(guān)運算,完美解答問題,根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》,遵循加分原則,該問可以劃分為數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平3.

    《標(biāo)準(zhǔn)》中指出:數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程. 從表1展示的素養(yǎng)水平可以看出,全卷100%的題需計算,整體計算量較大,運算能力水平要求較高,如理科設(shè)問32個,運算素養(yǎng)水平1、2的問題各15個,水平3的問題2個,相關(guān)問題的分值權(quán)重依次為43.8%,48.7%,7.5%,理科運算素養(yǎng)的考查水平明顯高于文科,雖有近一半的題目運算對象明確,運算所必須的知識及技能熟悉,但它與正確求得運算結(jié)果還有較大距離,對于需要轉(zhuǎn)化甚至構(gòu)造運算對象,探究運算方法的題目,更需考生具備較強的綜合運用知識分析和解決問題的能力.

    3? 基于運算素養(yǎng)的教學(xué)建議

    高考題是命題專家依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》和《中國高考評價體系》經(jīng)過嚴(yán)格推敲,體現(xiàn)“一核四層四翼”的良好素材,是中學(xué)教與學(xué)的指南針,深化對高考考查方式、命題特點的理解,在教中練,在練中悟,在悟中學(xué),在學(xué)中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),是我們教學(xué)的出發(fā)點和著力點.這里以運算素養(yǎng)的主要表現(xiàn)形式為抓手,通過具體試題的剖析,給出教學(xué)建議,促使大家在欣賞高考試題的同時,強化培養(yǎng)運算素養(yǎng)的意識.3.1? 理解運算對象,保證運算的根正苗紅

    例3? ?(理科第3題,文科第3題)如圖4,網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該零件的表面積為(? ).A.24??? ?B.26? C.28? ???D.30

    解析? 如圖5所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,點H,I,J,K為所在棱上靠近點B1,C1,D1,A1的三等分點,O,L,M,N為所在棱的中點,

    則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABCD-A1B1C1D1去掉長方體ONIC1-LMHB1之后所得的幾何體.

    解法1? 直接法.該幾何體的表面積為正方體ABCD-KHIJ的表面積與長方體KMNJ-A1LOD1的側(cè)面積之和:(2×2)×6+(2×2+1×2)×1=30.

    解法2? 間接法.該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形,其表面積為:(2×2)×2+(2×4)×3-(1×1)×2=30. 故選D.

    評析與建議? 求空間幾何體的表面積,關(guān)鍵是要弄清幾何體的類型及其結(jié)構(gòu)特征,并正確寫出面積表達(dá)式.本題由三視圖還原空間幾何體,在求其表面積時易忽視面MNOL錯選C,忽視底面錯選B,或空間上的對象模糊混亂,如用ABCD-A1B1C1D1的表面減去MHIN-LB1C1O的表面或側(cè)面或底面而錯選B、C、A等等.由于學(xué)生的基礎(chǔ)和理解能力不盡相同,教學(xué)中對寫錯算式不能簡單用“粗心馬虎”武斷了之,而應(yīng)放慢速度,長期地從題目閱讀、疑點釋疑、難點化解、重點突破、關(guān)系梳理及數(shù)學(xué)表達(dá)等方面探索交流,以落實學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目的,逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力,形成扎實的運算基礎(chǔ).3.2? 掌握運算法則,儲備運算的科學(xué)武器

    例4? (理科第1題)設(shè)z=2+i1+i2+i5,則=(? ).

    A.1-2i??? B. 1+2iC. 2-i??? ???D. 2+i

    解析? 由題意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1-1+i=i(2+i)i2=2i-1-1=1-2i,則

    =1+2i. 故選B.

    評析與建議? 掌握復(fù)數(shù)四則運算及乘方運算法則是計算復(fù)數(shù)z的關(guān)鍵,且本題仍存在i5計算或四則運算不仔細(xì),忽視目標(biāo)是求共軛復(fù)數(shù)等因素出錯.中學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)定義、定理、公式、運算法則,系統(tǒng)地觀察并不多,如數(shù)式的六種初等運算(加、減、乘、除、乘方和開方),集合、指對數(shù)、三角、向量、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)運算法則,但由于其非?;?,使用頻率高,運用的綜合性強,因而對這些法則必須深度理解、系統(tǒng)地準(zhǔn)確記憶并能靈活應(yīng)用.

    3.3? 探究運算思路,把準(zhǔn)運算的正確方向例5? (理科第12題)已知⊙O的半徑為1,直線PA與⊙O相切于點A,直線PB與⊙O交于B,C兩點,D為BC的中點,若PO=2,則PA·PD的最大值為(? ).

    A.1+22??? B. 1+222C. 1+2? D. 2+2

    解析? 解法1? 三角法.由OA=1,OP=2及題意,得PA=1,∠APO=π4.

    當(dāng)點A,D位于直線PO異側(cè)時,設(shè)∠OPC=α,0≤α≤π4,則PA·PD

    =|PA|·|PD|cosα+π4=12-22sin2α-π4.

    由0≤α≤π4,得-π4≤2α-π4≤π4,所以,當(dāng)2α-π4=-π4時,PA·PD有最大值1.

    當(dāng)點A,D位于直線PO同側(cè)時,設(shè)∠OPC=α,0≤α≤π4,則PA·PD

    =PA·PDcosπ4-α=12+22sin2α+π4.

    0≤α≤π4,則π4≤2α+π4≤3π4,所以,當(dāng)2α+π4=π2時,PA·PD有最大值1+22.

    綜上可得,PA·PD的最大值為1+22.故選A.

    解法2? 向量投影法. 如圖6所示,OA=1,OP=2,則由題意可知PA=1,∠APO=π4.由于D為BC的中點,所以PB⊥OD,所以點D在以PO為直徑的圓上,設(shè)PO的中點為Q,垂直PA的直線切圓Q于點D0,交PA于點E0,則∠D0QO=π4,所以AE0=QD0-12PA=22-12,PE0=PA+AE0=22+12,PE是PD在PA上的投影,于是PA·PD=PA×PE≤PE0=2+12.解法3? 估算法. 注意到四個選項相差較大,

    PA·PD=PA×PE=PE,借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)PE∈(0,PE0],而PE0∈(1,2),B,C,D三個選項都大于2,故選A.

    評析與建議? 解法1的核心在于能夠正確作出示意圖,然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題,反映了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.然而完整作答需分類討論,利用平面向量的數(shù)量積定義得到PA·PD=12-22sin2α-π4,或PA·PD=12+22sin2α+π4,然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定

    PA·PD的最大值,大小有近二十步的計算量,耗時費力.解法2充分利用數(shù)量積的幾何意義,借助直觀圖形,結(jié)合向量投影的幾何屬性,輔以適量的運算求解,事半功倍;解法3結(jié)合題設(shè)條件的幾何特征與選擇支差異,通過較強的直觀想象和數(shù)感能力分析得解,達(dá)到“上兵伐謀”之功效.無疑,解法3的境界是我們的追求,但冰凍三尺非一日之寒,高中數(shù)學(xué)運算技巧很多,除了基本的公式法則的正用、逆用、變用外,還包括換元、配方、待定系數(shù)、化整為零、化零為整、恒等變換、數(shù)形轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求、放縮變換等等,要達(dá)到靈活運用技巧解題,須在平時善于提煉數(shù)學(xué)思想方法,善于挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),善于一題多解并能舉一反三,善于訓(xùn)練積累和鉆研.3.4? 設(shè)計運算程序,鋪平運算的康莊大道例6? (理科第21題)已知函數(shù)f(x)=1x+aln(1+x).

    (1)當(dāng)a=-1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

    (2)是否存在a,b,使得曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對稱,若存在,求a,b的值,若不存在,說明理由.(3)若f(x)在(0,+∞)存在極值,求a的取值范圍.

    解析? 數(shù)學(xué)運算既服務(wù)于解題,又引導(dǎo)解題方向,合理的運算程序蘊于解題程序之中,本題解題流程圖(圖7)的每一模塊實質(zhì)上包含一個或多個運算步驟.請讀者不妨依程序框圖試著寫出題目詳解.

    評析與建議? ?(1)求切線方程的核心是利用f′(x)的幾何意義求切線的斜率f′(1),一般求f′(x)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運算法則求導(dǎo),對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時要進(jìn)行換元.接著求切點坐標(biāo)到切線方程的化簡整理,運算貫穿始終,可以說運算過程就是解題過程.

    (2)遵循定義域優(yōu)先原則,結(jié)合對稱的必要條件,通過函數(shù)的定義域即可確定實數(shù)b=-12,進(jìn)一步由函數(shù)的對稱中普遍與特殊的關(guān)系,利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)a的方程,解方程可得實數(shù)a=12,最后檢驗所得的a,b是否正確,完成充分性論證,體現(xiàn)運算在解決問題中的工具性和邏輯價值.

    (3)f(x)在(0,+∞)存在極值等價于f′(x)有變號的零點,等價于f′(x)=0有變號根,據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)h(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),求h′(x)=2ax-ln(x+1),分三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì),可求得實數(shù)a的取值范圍是0,12.即:

    ①當(dāng)a≤0時,h′(x)<0,h(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,此時h(x)<h(0)=0,h(x)在區(qū)間(0,+∞)上無零點,不合題意;

    ②當(dāng)a≥12時,由于h″(x)=2a-1x+1>0,所以h′(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h′(x)>h′(0)=0,h(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,h(x)>h(0)=0,所以h(x)在區(qū)間(0,+∞)上無零點,不合題意;

    ③當(dāng)0<a<12時,由h″(x)=2a-1x+1=0可得x=12a-1.

    當(dāng)x∈0,12a-1時,h″(x)<0,h′(x)單調(diào)遞減,h′(x)<h′(0)=0;

    當(dāng)x∈12a-1,+∞時,h″(x)>0,h′(x)單調(diào)遞增,利用lnx<x-1x(x>1)(*)得h′(x)=2ax-ln(x+1)>2ax-x+1-1x+1=(2ax+1-1)xx+1.

    令2ax+1-1=0,得x0=14a2-1,于是h′(x0)>0,

    根據(jù)零點存在性定理可知:h′(x)在區(qū)間12a-1,x0,即(0,+∞)上存在唯一零點x1.

    當(dāng)x∈(0,x1)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)減,h(x1)<h(0)=0;

    當(dāng)x∈(x1,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,利用不等式(*),有

    h(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1)>ax2+x-(x+1)x+1-1x+1=(ax+1-x+1)x.

    令ax+1-x+1=0,得x2=1-2aa2,所以h(x2)>0,

    所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(x1,x2),即(0,+∞)上存在變號零點,符合題意.

    前面四次等價轉(zhuǎn)化需要對問題有較強洞察和模式識別能力,之后的h(x)零點研究,特別是在0<a<12時“找點”利用定理驗證零點存在性的環(huán)節(jié),沒有合理解題思路指引,沒有厚積的知識儲備和扎實的運算素養(yǎng),是不可能實現(xiàn)解題愿望的.

    運算的程序設(shè)計是數(shù)學(xué)運算最重要的內(nèi)容,是實現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的保證,它不僅對數(shù)學(xué)中許多問題的解決有重要作用,而且廣泛應(yīng)用于其它科學(xué)技術(shù)之中.運算的程序設(shè)計能力也是一種數(shù)學(xué)理性思維能力的具體體現(xiàn),教師要不失時機地通過問題與交流、探究與歸納、模仿與表達(dá)、實踐與反思等手段重點培養(yǎng).

    4? 結(jié)束語

    1963年編制的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(草案)》首次明確提出“培養(yǎng)學(xué)生正確而且迅速的計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”的要求.1991年原國家教育委員會發(fā)布《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)科說明》提出“數(shù)學(xué)科考試旨在測試基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力,以及運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法,分析和解決問題的能力”,即所謂“三基四能” [2].2017年版(2020年修訂)的《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了包含數(shù)學(xué)運算的六個既有獨立性又互相交融的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),同時在高考從能力立意到核心素養(yǎng)立意的實踐中,數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)肩負(fù)著異乎尋常的責(zé)任. 從“三大能力”中的“計算”,到“四大能力”中的“運算”,再到“五大能力”中的“運算求解,數(shù)據(jù)處理”,再到《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)”,統(tǒng)統(tǒng)說明數(shù)學(xué)始終離不開數(shù)學(xué)運算.運算素養(yǎng)是學(xué)生適應(yīng)未來社會的一個最基本素養(yǎng),它是甄別個人思維能力、展現(xiàn)思維過程的載體,是促進(jìn)個人智力發(fā)展的催化劑,是學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度、意志品質(zhì)的反映,是數(shù)學(xué)落實立德樹人的指路明燈,更是決定數(shù)學(xué)高考成敗的關(guān)鍵!

    參考文獻(xiàn)

    [1]? 李子瞻,胡典順.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新舊高考比較分析——以2021年新高考Ⅰ卷與2020年全國Ⅰ卷為例\[J\].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2022(03):26-30.

    [2]? 任子朝,陳昂,趙軒.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價研究\[J\].課程·教材·教法,2018(05):116-121.

    作者簡介? 劉正章(1968—),正高級教師, 特級教師,陜西名師,省級教科研先進(jìn)個人;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)學(xué)文化;撰寫數(shù)學(xué)書籍30多部,發(fā)表文章130余篇,主持省市級課題10多個.

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