快馬揚鞭躍道阻，筋斗騰云飛險途

雷小華

中學數(shù)學中的三角函數(shù)是現(xiàn)實中最常見的函數(shù)模型之一，也是將來進一步學習高等數(shù)學知識不可或缺的基礎(chǔ)，因此，對三角函數(shù)的考查自然就成為了高考數(shù)學的必考內(nèi)容.比如2023年新高考數(shù)學Ⅰ卷中求參數(shù)ω問題的第15題，再次在高考中得到體現(xiàn)．

我整理近年的高考試題發(fā)現(xiàn)，在對三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b）中求參數(shù)ω的取值范圍時，考查形式常為給出該函數(shù)的表現(xiàn)形式或特征，如零點個數(shù)、極值點個數(shù)、最值的個數(shù)或某范圍內(nèi)單調(diào)等，讓考生逆求參數(shù)ω的取值范圍，這類題目時有出現(xiàn)，下面就對這類試題略加分析．

一、2023年試題分析與解答

2023年新高考數(shù)學Ⅰ卷第15題如下：

已知函數(shù)f（x）=cos ωx-1（ω>0）在區(qū)間［0，2π］有且僅有3個零點，則ω 的取值范圍是______．

【分析】

有關(guān)y=Acos（ωx+φ）+b的零點個數(shù)問題，一般要先等價轉(zhuǎn)化.新版課本提到了三個等價，即函數(shù)f（x）的零點方程f（x）=0的根函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標，三者之間根據(jù)實際情況來回轉(zhuǎn)化，尋找優(yōu)解著手處．

若從y=Acos（ωx+φ）+b的圖像入手，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=cos ωx與y=1在區(qū)間［0，2π］上有且僅有3個交點，這步等價轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.然后畫出余弦曲線y=cos x與y=1兩個圖像，把ωx看成一個整體變量，找出變量ωx滿足的數(shù)量關(guān)系即得，姑且命名為法一“快馬揚鞭”．

若從三角函數(shù)由角的旋轉(zhuǎn)引起函數(shù)值的改變這一觀點出發(fā)，靈活應用三角函數(shù)的定義，同樣可破解此類試題，根深結(jié)碩果，簡潔易行，姑且命名為法二“筋斗騰云”.下面是兩法解答．

【解法一】快馬揚鞭

函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，2π］有且僅有3個零點方程cos ωx=1在區(qū)間［0，2π］有且僅有3個根函數(shù)y=cos ωx與y=1在區(qū)間［0，2π］上有且僅有3個交點．

令f（x）=0，得cos ωx=1；因為x∈［0，2π］，所以ωx∈［0，2πω］.令ωx=t，畫出函數(shù)y=cos t與y=1的圖像，如圖：

若函數(shù)y=cos ωx與y=1在區(qū)間［0，2π］上有且僅有3個交點，則自變量ωx的變化范圍中的上限2πω為圖中虛線對應的橫軸上取值范圍，必須滿足4π≤2πω<6π，即2≤ω<3.故填：［2，3）．

【解法二】筋斗騰云

基礎(chǔ)知識：角的終邊所在位置為軸線角時，能熟練得知其三角函數(shù)值．

令f（x）=0，得cos ωx=1，因為x∈［0，2π］，所以ωx∈［0，2πω］．

令g（t）=cos t，t∈［0，2πω］.若要函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，2π］有且僅有3個零點，等價于函數(shù)g（t）=cos t在t∈［0，2πω］上有且僅有3個最大值點t1、t2、t3，如圖，則變量ωx的變化范圍中的旋轉(zhuǎn)上限2πω必須滿足如圖所在的虛線范圍，即4π≤2πω<6π，即2≤ω<3.故填：［2，3）．

【感悟】

在解三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b）中的參數(shù)ω這類問題時，快馬揚鞭或筋斗騰云兩法都需要先等價轉(zhuǎn)化成易于著手處理的式子，最后利用對應的三角函數(shù)圖像或三角函數(shù)的對應關(guān)系等基礎(chǔ)知識，通過數(shù)形結(jié)合得出參數(shù)ω的范圍．

在筋斗騰云法中，抓住函數(shù)中兩個變量之間的對應關(guān)系，即角在變化（旋轉(zhuǎn)）引起三角函數(shù)值的變化，從而產(chǎn)生自變量（即角）必須遵從的變化范圍，從而求出參數(shù)ω；在快馬揚鞭法中，利用相應的三角函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合，從而求出參數(shù)ω，兩者同根同源，理同道異，殊途同歸而已．

近幾年高考此類題目的已知條件不斷變換，產(chǎn)生不同的模型與不同情景，目的還是考查考生對三角函數(shù)核心知識的理解能力與靈活應用能力.解題時常涉及自變量x、ωx+φ及函數(shù)值y的對應變化分析．

要達到順利解答此類題目，在筋斗騰云法中，須熟練掌握軸線角的三角函數(shù)值（零點與最值），如sin 0=0，sinπ/2=1，sin π=0，sin3π/2=-1；cos0=1，cosπ/2=0，cos π=-1，cos3π/2=0；tan 0=0，tan π=0等，另外，熟悉角的旋轉(zhuǎn)怎樣影響三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識；在快馬揚鞭法中，須熟練繪制三角函數(shù)等圖像，能對其分析與判斷，找出關(guān)系并得出結(jié)論．

實戰(zhàn)中，讀者可根據(jù)自身實際情況以簡便、快捷、易做選擇這二法.相比之下，本人偏愛筋斗騰云法，快捷省事.下面是近幾年高考中出現(xiàn)的這一類試題分析與簡答.

二、近年高考同類試題

例（2022·全國甲（理）第11題）

設(shè)函數(shù)f（x）=sinωx+π/3在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是（）

A. 5/3，13/6______B. 5/3，19/6

C. 13/6，8/3D. 13/6，19/6

【分析】

函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）恰有兩個極大值點、一個極小值點與兩個零點．

【解法一】快馬揚鞭

依題意可得ω>0，因為x∈（0，π），所以ωx+π/3∈π/3，ωπ+π/3，令ωx+π/3=t，畫出函數(shù)y=sin t，t∈π/3，ωπ+π/3的圖像，圖像如下：

由圖像可知，要確保函數(shù)f（x）=sinωx+π/3在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，必須5π/2<ωπ+π/3≤3π，解得13/6<ω≤8/3，即ω∈13/6，8/3.故選：C．

【解法二】筋斗騰云

因為x∈（0，π），所以ωx+π/3∈π/3，πω+π/3，令ωx+π/3=t，則g（t）=sin t，t∈π/3，ωπ+π/3.若要函數(shù)g（t）在區(qū)間π/3，ωπ+π/3恰有三個極值點與兩個零點，如圖，y1、y2、y3為g（t）的三個極值點，x1、x2為g（t）兩個零點x1、x2，故ωπ+π/3的活動范圍是圖中旋轉(zhuǎn)時的虛線部分，即5/2π<πω+π/3≤3π，即13/6<ω≤8/3.故選C．

三、實踐練習

1.零點問題

（1）已知函數(shù)f（x）=sinωx-3cosωx（ω>0），若函數(shù)f（x）的圖像在區(qū)間x∈（0，π）上恰有2個零點，則實數(shù)ω的取值范圍為．

【答案】4/3，7/3.

（2）（單選）設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）-1（ω>0），若對于任意實數(shù)φ，f（x）在區(qū)間π/4，3π/4上至少有2個零點，至多有3個零點，則ω的取值范圍是（）

A.8/3，16/3B.4，16/3

C.4，20/3 D.8/3，20/3

【答案】B.

（3）（單選）將函數(shù)f（x）=cos x的圖像先向右平移5/6π個單位長度，再把所得函數(shù)圖像的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/ω（ω>0）倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖像，若函數(shù)g（x）在π/2，3π/2上沒有零點，則ω的取值范圍是（）

A.0，2/9 ∪2/3，8/9B.0，8/9

C.0，2/9∪8/9，1D.（0，1］

【答案】A.

（4）（單選）已知函數(shù)f（x）=cosωx+π/3（ω>0），若f（x）在區(qū)間（π，2π）上不存在零點，則ω的取值范圍是（）

A.0，7/12B.0，1/12∪1/6，7/12

C.1/12，1/6∪7/12，1D.1/12，7/12

【答案】B.

2.最值（或極值）問題

（1）（單選）已知函數(shù)f（x）=sin ωx（sin ωx+cos ωx）-1/2（ω>0）在區(qū)間 （0，π）上恰有1個最大值點和1個最小值點，則ω的取值范圍是（）

A.7/8，11/8B.7/8，11/8

C.7/8，9/8D.7/8，9/8

【答案】B.

（2）（單選）若函數(shù)f（x）=sinωx+π/3（ω>0）在π/2，π上單調(diào)，且在0，π/3上存在極值點，則ω的取值范圍是（）

A.1/3，2 B.1/2，2

C.1/2，7/6 D.0，7/6

【答案】C.

3.單調(diào)問題

（1）（2012全國Ⅱ卷（理）第9題）（單選）已知ω>0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+π/4）在（π/2，π）上單調(diào)遞減.則ω的取值范圍是（）

A.［1/2，5/4］B. ［1/2，3/4］

C. （0，1/2］D.（0，2］

【答案】A.

（2）（單選）將函數(shù)f（x）=sin ωx（ω>0）的圖像向右平移π/12個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖像，若函數(shù)g（x）在區(qū)間0，π/2上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)ω的最大值為（）

A.2/3B.1 C.6/5 D.2

【答案】C.

4.綜合問題

（1）（2019全國卷Ⅲ（理）第12題）（單選）

設(shè)函數(shù)f（x）=sinωx+π/5（ω>0），已知f（x）在［0，2π］有且僅有5個零點.下述四個結(jié)論：

①f（x）在（0，2π）有且僅有3個極大值點；

②f（x）在（0，2π）有且僅有2個極小值點；

③f（x）在0，π/10單調(diào)遞增；

④ω的取值范圍是12/5，29/10．

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

【答案】D．

（2）（多選）設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+π/3），ω＞0，下列說法正確的是（）

A.當ω=2時，f（x）的圖像關(guān)于直線x=π/12對稱

B.當ω=1/2時，f（x）在［0，π/2］上是增函數(shù)

C.若f（x）在［0，π］上的最小值為-2，則ω的取值范圍為ω≥7/6

D.若f（x）在［-π，0］上恰有2個零點，則ω的取值范圍為ω≥4/3

【答案】AC.

（3）（多選）已知函數(shù)f（x）=sinωx+π/4（ω>0），則下述結(jié)論中正確的是（）

A.若f（x）在［0，2π］有且僅有4個零點，則f（x）在［0，2π］有且僅有2個極小值點

B.若f（x）在［0，2π］有且僅有4個零點，則f（x）在0，2π/15上單調(diào)遞增

C.若f（x）在［0，2π］有且僅有4個零點，則ω的范是15/8，19/8

D.若f（x）的圖像關(guān)于x=π/4對稱，且在π/18，5π/36單調(diào)，則ω的最大值為9

【答案】ACD.

（4）（多選）將函數(shù)f（x）=cosωx-π/2（ω>0）的圖像向右平移π/2個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖像，且g（0）=-1，則下列說法正確的是（）

A.g（x）為奇函數(shù)

B.g-π/2=0

C.當ω=5時，g（x）在（0，π）上有4個極值點

D.若g（x）在0，π/5上單調(diào)遞增，則ω的最大值為5

【答案】BCD.

（5）（多選）已知函數(shù)f（x）=sinωx+π/5（ω>0）在［0，2π］有且僅有4個零點，則（）

A.f（x） 在0，π/5單調(diào)遞增

B.ω的取值范圍是19/10，12/5

C.f（x）在（0，2π）有2個極小值點

D.f（x）在（0，2π）有3個極大值點

【答案】BC.

以上兩種解法同理道異，實戰(zhàn)時只須擇一而行.通過以上內(nèi)容的閱讀與練習，你是否對表現(xiàn)形式或特征相異的各類三角函數(shù)逆求參數(shù)ω的方法有些掌握，能力有了提高呢？

在學習數(shù)學的過程中，抓住數(shù)學的本與源，根和魂，終將殊途同歸！

責任編輯徐國堅