多體k不可分量子態(tài)基于Affinity的糾纏測度

楊麗麗,王銀珠

(太原科技大學 應用科學學院,太原 030024)

量子糾纏是量子信息理論中基礎且重要的研究課題,它作為一種重要的物理資源,在量子編碼,量子密碼學,量子隱形傳態(tài),量子糾錯等方面都得到了廣泛的應用[1]。在對量子信息研究的過程中,最重要的是對量子糾纏進行檢測和度量。近幾十年來,人們花費了大量的時間和精力去研究糾纏現(xiàn)象,已經(jīng)獲得了許多重要的結果,比如在糾纏判據(jù)方面,有著名的部分轉(zhuǎn)置判據(jù)(PPT判據(jù)),控制判據(jù),重排判據(jù),約化判據(jù)等[2]。對于糾纏測度來說,發(fā)展比較成熟的有形成糾纏測度[3-6],Concurrence糾纏測度[7-12],以及Negativity 糾纏測度[13]等,但尋求更加容易計算的糾纏測度仍然是該領域中的熱點研究問題。

眾知,Affinity是可以間接表征兩個量子態(tài)的接近程度,經(jīng)典情形下Affinity被定義為:

其中g,h表示的是離散的概率分布,在這里用密度矩陣代替概率分布,跡算符代替求和,可以得到量子態(tài)之間的Affinity被定義為:

其具有下面的性質(zhì):

(1)0≤A(ρ,σ)≤1,且A(ρ,σ)=1當且僅當ρ=σ.

(2)A(ρ,σ)在完全正保跡線性映射下是單調(diào)的,即A(φ(ρ),φ(σ))≥A(ρ,σ).

(3)A(ρ,σ)是聯(lián)合凹的,即:

本文在此基礎上,定義了多體k不可分量子態(tài)基于Affinity的糾纏測度,并且研究了它滿足的性質(zhì)。

1 基本定義與主要結果

本文主要討論多體復合系統(tǒng),設H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,S(H)表示H中所有量子態(tài)的集合,為了引出本文的主要結果,首先給出如下定義:

定義1設H=H1?H2?…?Hm,其中Hi是與第i個子系統(tǒng)相對應的Hilbert空間,稱A1|A2)…|Ak)(2≤k≤m)為H的一個k體分劃,如果其滿足:

(1)Ai∩Aj=φ,(i,j∈{1,2,…k},i≠j)且∪Ai={1,2,…,m};

定義2[21]設H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,|ψ>∈H,如果存在一個k體分劃{A1,A2,…,Ak},使得|ψ>寫成:

定義3設H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,ρ∈S(H),則ρ相對于k體分劃的Affinity定義(簡記為k-Affinity)為:

這里Sk-S(H)表示H上全體k可分態(tài)的集合。

接下來,在此基礎上定義了一個新的糾纏測度,并給出其滿足的性質(zhì)。

定義4設ρ∈S(H),則ρ基于k-Affinity的糾纏測度定義為:

若ρ是k可分的,顯然:

所以存在σ∈Sk-S(H)使得ρ=σ,因此ρ是k可分的。

證明對H上的任意酉算子,有:

特別的,設U=U1?U2?…?Um,則有:

性質(zhì)3設H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,Λ是局部操作和經(jīng)典通訊(LOCC)過程,則:

故只需證明凸性即可。

由A(k)(ρ)的聯(lián)合凹性,知道:

從而:

所以:

即:

性質(zhì)4當系統(tǒng)添加局部非相干輔助子系統(tǒng)時,糾纏測度不變,即設K是局部非相干輔助子系統(tǒng),α∈S(K),ρ∈S(H),則:

證明對于任意的Hermite矩陣A,B,C,D,有:

(A?B)(C?D)=

所以:

所以:A(k)(ρ?α)=A(k)(ρ).

因此:

2 結論

該論文定義了一個新的糾纏測度——多體k不可分量子態(tài)基于Affinity的糾纏測度;證明了該糾纏測度滿足局部酉不變性,凸性,LOCC單調(diào)性,以及添加局部非相干輔助子系統(tǒng)時,糾纏測度不變等性質(zhì)。