談凹凸反轉(zhuǎn)法在解題中的妙用

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué),安徽 蕪湖 241000)

在處理一些不等式(或等式)問題時(shí),若我們直接研究函數(shù)解析式,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理,則往往由于函數(shù)式比較復(fù)雜,需要討論參數(shù)、運(yùn)用隱零點(diǎn)求最值等,使解答過程繁雜,運(yùn)算量大,但若能將不等式(或等式)合理變形為m(x)≥n(x)(或m(x)=n(x)),其中m(x)為凹函數(shù),n(x)為凸函數(shù),且m(x)min≥n(x)max(函數(shù)m(x)的最小值點(diǎn)與函數(shù)n(x)的最大值點(diǎn)相同),則可以通過分別研究函數(shù)m(x)與n(x)的單調(diào)性,來完成對(duì)問題的解答.一般地,我們把這種將不等式(或等式)“一分為二,分而治之”的解題方法,稱為“凹凸反轉(zhuǎn)法”.

1 例談凹凸反轉(zhuǎn)法的應(yīng)用

1.1 證明不等式問題中的應(yīng)用

例1已知函數(shù)f(x)=2ex-2+ax(a>0),對(duì)?x>0,求證:f(x)>x(lnx+a).

解法1由f(x)>x(lnx+a),得2ex-2>xlnx.

設(shè)g(x)=2ex-2-xlnx,下證g(x)>0即可.

求導(dǎo),得g′(x)=2ex-2-lnx-1,

易知g″(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

又x→0時(shí),g′(x)→+∞,g′(2)=1-ln2>0,則存在x1∈(0,x0),x2∈(x0,2)使得g′(x1)=g′(x2)=0.

于是當(dāng)0x2時(shí)g′(x)>0,當(dāng)x1

因此欲證g(x)>0,

即證g(x2)>0,即證2ex2-2-x2lnx2>0.

又由g′(x2)=0,得2ex2-2=lnx2+1.

即證lnx2-x2lnx2+1>0.

設(shè)h(x)=lnx-xlnx+1(1

又h(2)=1-ln2>0,所以h(x2)>0.

故問題得證.

解法2由f(x)>x(lnx+a),得

2ex-2>xlnx.

所以m(x)min>n(x)max.

評(píng)注解法1直接作差構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值大于0,解題過程中兩次運(yùn)用隱零點(diǎn)法,過程繁雜,運(yùn)算量大;解法2將不等式合理變形,分離為凹凸反轉(zhuǎn)的兩個(gè)函數(shù),分別研究?jī)珊瘮?shù)單調(diào)性,將問題轉(zhuǎn)化為左側(cè)函數(shù)最小值大于右側(cè)函數(shù)最大值問題.比較解法1和2,不難發(fā)現(xiàn)凹凸反轉(zhuǎn)法的優(yōu)勢(shì),大大簡(jiǎn)化了解題過程[1].

1.2 含參不等式恒成立求參數(shù)問題中的應(yīng)用

解法1由不等式f(x)≤g(x),得

ex+x2-lnx-ax≥0.

當(dāng)x→0+時(shí)h′(x)→-∞,當(dāng)x→+∞時(shí)h′(x)→+∞,則存在唯一x0∈(0,+∞)使h′(x0)=0,于是當(dāng)0x0時(shí)h′(x)>0,所以h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,得h(x)min=h(x0).

兩式聯(lián)立消去a,整理得

(1-x0)(ex0+x0+1)-lnx0≥0.

設(shè)φ(x)=(1-x)(ex+x+1)-lnx,

有φ(x0)≥0,

函數(shù)φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,注意到φ(1)=0,得0

故a≤y(1)=e+1.

解法2不等式f(x)≤g(x)整理為

當(dāng)00,當(dāng)x>1時(shí)m′(x)>0且n′(x)<0,則m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,n(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,有m(x)min=m(1)=e,n(x)max=n(1)=a-1.

由此問題轉(zhuǎn)化為m(1)≥n(1),得a≤e+1.

評(píng)注解法1直接作差構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為h(x)min≥0,運(yùn)用隱零點(diǎn)法求出函數(shù)的最小值;解法2將不等式變形為m(x)≥n(x),分別研究?jī)珊瘮?shù)發(fā)現(xiàn)x=1恰是函數(shù)m(x)的最小值點(diǎn),n(x)的最大值點(diǎn),符合凹凸反轉(zhuǎn)的特點(diǎn),于是不等式等價(jià)于m(1)≥n(1).

解法1由f(x)≥lna+2,得

易知g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

設(shè)x1max{2,a},則

g′(x1)<0,g′(x2)>0.

所以存在x0∈(x1,x2)使g′(x0)=0,當(dāng)0x0時(shí)g′(x)>0,則g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

即lna=x0+lnx0-2.

易知φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

又φ(1)=0,則0

所以lna=x0+lnx0-2≤-1.

解法2由f(x)≥lna+2,整理,得

所以m(x)min=m(1)=e.

1.3含參不等式有若干整數(shù)解問題中的應(yīng)用

1.4 方程有解問題中的應(yīng)用

所以m(x)min=m(e)=a-e2.

評(píng)注受例4的啟發(fā),將方程轉(zhuǎn)化為等號(hào)兩側(cè)凹凸性相反的兩個(gè)函數(shù),問題轉(zhuǎn)化為m(x)min=n(x)max.

2 反思小結(jié)

通過上述例題的解答,不難發(fā)現(xiàn),若不等式(或等式)中含有ex,lnx時(shí),我們可以考慮用凹凸反轉(zhuǎn)法處理不等式(或等式),這為我們今后處理不等式(或等式)提供了一種新的思路,但該種解法并非通法,有局限性,只有在符合特定的情形下方可使用.另外,熟記一些與ex,lnx有關(guān)的函數(shù),往往有利于我們探究問題時(shí)使用凹凸反轉(zhuǎn)法,筆者通過梳理,給出以下函數(shù)的草圖供讀者使用(如圖1).

圖1 與ex,lnx有關(guān)的函數(shù)圖