“導(dǎo)數(shù)概念”的分層教學(xué)法

李高西?任藝

摘 要｜在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分層教學(xué)法能夠改進(jìn)傳統(tǒng)的講授式教學(xué)方式，從而促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化發(fā)展，提高學(xué)習(xí)效率。本文首先討論了在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分層教學(xué)的重要性，然后設(shè)計(jì)分層教學(xué)法，分別為學(xué)生分層、目標(biāo)分層、施教分層和作業(yè)分層。最后以大學(xué)數(shù)學(xué)中“導(dǎo)數(shù)概念”一課為例進(jìn)行分層教學(xué)案例設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞｜導(dǎo)數(shù)概念；分層教學(xué)法；案例設(shè)計(jì)

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1 在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分層教學(xué)的重要性

大學(xué)數(shù)學(xué)是高等教育中一門基礎(chǔ)學(xué)科，同時(shí)對(duì)于理工科學(xué)生來說，數(shù)學(xué)也具有十分重要的地位。然而，當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)教育尚存在一些問題。例如，在教學(xué)方式上普遍采用講授式教學(xué)，雖然這種方式具有高效率的優(yōu)點(diǎn)，能夠讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)掌握大量知識(shí)，但在這個(gè)過程中，教師為了完成教學(xué)任務(wù)，會(huì)出現(xiàn)無法兼顧全體學(xué)生的問題，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中處于被動(dòng)狀態(tài)，缺少學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，進(jìn)而使得課堂索然無味［1］。

分層教學(xué)法實(shí)際上以因材施教教學(xué)原則為基礎(chǔ)，考慮學(xué)生在智力和學(xué)習(xí)能力等方面上的個(gè)體差異性。采用分層教學(xué)能夠改進(jìn)傳統(tǒng)的教學(xué)模式，促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化發(fā)展，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率。因此，這種新型的教學(xué)方式——分層教學(xué)法，在大學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中具有重要意義。

2 分層教學(xué)法的設(shè)計(jì)

2.1 學(xué)生分層

教師在教學(xué)過程中處于組織者的地位，主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題，讓學(xué)生成為課堂的主人。運(yùn)用分層教學(xué)法，教師首先可以通過調(diào)查訪問法并結(jié)合學(xué)生平時(shí)的課堂表現(xiàn)、學(xué)科綜合成績等方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)分層。根據(jù)學(xué)生不同的特點(diǎn)將其分為A、B、C三層，確保相同群體學(xué)生的學(xué)習(xí)能力接近。A層學(xué)生能高效完成教師布置的任務(wù)，成績優(yōu)異，具有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力；B層學(xué)生具備扎實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但缺乏創(chuàng)新能力，與A層學(xué)生相比存在一定的學(xué)習(xí)差距；C層學(xué)生則是指基礎(chǔ)薄弱，無法獨(dú)立完成難度相對(duì)較高的學(xué)習(xí)任務(wù)，需要依靠教師或A、B層學(xué)生的幫助［2］。

2.2 目標(biāo)分層

教學(xué)目標(biāo)主要包含三個(gè)方面：（1）知識(shí)與技能目標(biāo)；（2）方法與過程目標(biāo)；（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)。這些目標(biāo)不是各自獨(dú)立，而是交互影響，融會(huì)貫通。在學(xué)生分層的基礎(chǔ)上，教師對(duì)不同層級(jí)的學(xué)生也要制定相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)，其中A層學(xué)生要同時(shí)達(dá)到B、C層學(xué)生的教學(xué)目標(biāo)；B層學(xué)生要同時(shí)達(dá)到C層學(xué)生的教學(xué)目標(biāo)［3］。

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)

①了解或知道知識(shí)點(diǎn)是什么（A、B、C層）

②理解知識(shí)點(diǎn)是如何推導(dǎo)出來的（A、B層）

③清楚知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)應(yīng)用（A層）

（2）方法與過程目標(biāo)

①通過觀察、猜想、歸納、討論等活動(dòng)，提高學(xué)生分析問題的能力、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力等（A、B、C層）

②提高合作能力，在共同學(xué)習(xí)的路上嘗試自主思考問題（A、B層）

③發(fā)揮核心領(lǐng)導(dǎo)能力，帶領(lǐng)小組同學(xué)探究問題解決的方向（A層）

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

①體驗(yàn)成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信（A、B、C層）

②積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲（A、B層）

③了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，形成堅(jiān)持真理、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度（A層）

2.3 施教分層

在進(jìn)行施教分層的過程中，首先，針對(duì)不同層次的學(xué)生，教師應(yīng)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}，做到分類指導(dǎo)。課前引入時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)難度較低、更容易理解的教學(xué)內(nèi)容，讓所有學(xué)生（A、B、C層）都參與課堂活動(dòng)中。講授新課時(shí)，教師設(shè)計(jì)合適的問題引導(dǎo)學(xué)生思考，并嘗試讓B層學(xué)生總結(jié)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一般規(guī)律、C層學(xué)生拓展解決問題的思路。其次，教師應(yīng)鼓勵(lì)不同層次學(xué)生之間合作學(xué)習(xí)，以先進(jìn)帶后進(jìn)，縮小學(xué)生之間的差距，促進(jìn)共同進(jìn)步，同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的集體榮譽(yù)感，強(qiáng)化學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力。綜上，分層提問、分層設(shè)題、分組展開合作交流學(xué)習(xí)等都是進(jìn)行施教分層的方法［4］。

2.4 作業(yè)分層

在課后布置分層作業(yè)，一方面教師能檢測(cè)出各層學(xué)生對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，及時(shí)進(jìn)行針對(duì)性的引導(dǎo)糾正，并對(duì)掌握程度不夠理想的學(xué)生給予幫助，逐步縮小不同層級(jí)學(xué)生之間的差距。另一方面教師也能更好地根據(jù)當(dāng)前學(xué)生的情況安排接下來的教學(xué)任務(wù)。該環(huán)節(jié)主要將作業(yè)分為必做題和選做題，其中必做題主要分為兩部分：一部分要求全體學(xué)生獨(dú)立完成；另一部分提高難度，要求A、B層同學(xué)完成（C層同學(xué)可加入討論）。選做題則是一些具有拓展性的探究題，設(shè)置為A層同學(xué)的作業(yè)（A層同學(xué)可提供思路，帶領(lǐng)B、C層同學(xué)一起解決問題）。

3 分層教學(xué)法在“導(dǎo)數(shù)概念”中的教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 內(nèi)容與內(nèi)容解析

本課時(shí)內(nèi)容選自大學(xué)數(shù)學(xué)系列教材《微積分》第三章“導(dǎo)數(shù)與微分”中第一節(jié)“導(dǎo)數(shù)的概念”。導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中是一個(gè)重要的概念，在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用，是微積分的重要組成部分。本課時(shí)主要介紹導(dǎo)數(shù)的定義、物理意義、幾何意義、可導(dǎo)的充分必要條件、可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系。

3.2 目標(biāo)與目標(biāo)解析

3.2.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)

①明白導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)函數(shù)的概念（A、B、C層）

②理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解可導(dǎo)的充分必要條件（A、B層）

③掌握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（A層）

（2）過程與方法目標(biāo)

①通過引入具體問題，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，直觀感受變量變化的情況，發(fā)展學(xué)生觀察、類比、概括的數(shù)學(xué)能力（A、B、C層）

②小組合作探索求平面曲線的切線斜率問題，由割線引申到切線，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。通過觀看多媒體，直觀感受“逼近”的極限思想（A、B層）

③發(fā)揮核心領(lǐng)導(dǎo)能力，帶領(lǐng)小組同學(xué)運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)探索連續(xù)與可導(dǎo)之間的關(guān)系，提升學(xué)生的邏輯推理能力（A層）

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀

①在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，感受數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心（A、B、C層）

②積極參與數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)，加入小組合作探究（A、B層）

③引導(dǎo)小組其他同學(xué)積極思考，帶領(lǐng)同學(xué)提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力（A層）

3.2.2 目標(biāo)分析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：A、B、C層同學(xué)能夠用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，以及熟悉應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式的各種變體；A、B層同學(xué)會(huì)求曲線的切線；快速反應(yīng)出可導(dǎo)的充分必要條件；A層同學(xué)能夠證明某個(gè)函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性，并能根據(jù)連續(xù)可導(dǎo)的關(guān)系解決相關(guān)問題。

3.3 教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生在高中時(shí)期已經(jīng)學(xué)過了導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念，無論是在高中數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)都具有非常重要的地位，但各個(gè)時(shí)期的側(cè)重點(diǎn)又有所不同。例如，高中學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，要求更多偏向于通過背誦公式求導(dǎo)數(shù)以及曲線在某點(diǎn)處的切線，側(cè)重點(diǎn)在于解決實(shí)際問題；而高等數(shù)學(xué)從極限的角度來定義導(dǎo)數(shù)，較難理解，側(cè)重點(diǎn)在于計(jì)算。所以這種跨度對(duì)學(xué)生而言是一個(gè)很大的困難。

3.4 教學(xué)過程

為完成教學(xué)任務(wù)，本節(jié)課設(shè)計(jì)了四個(gè)環(huán)節(jié)，如圖1所示。

3.4.1 創(chuàng)設(shè)情境、引入課題

問題1：某運(yùn)動(dòng)員高臺(tái)跳水，他相對(duì)水面的高度h與起跳后的時(shí)間t之間的函數(shù)方程為h=f（t），求在時(shí)刻t0那一瞬間的運(yùn)動(dòng)速度。

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分平均速度和瞬時(shí)速度，在物理學(xué)科中，對(duì)于一個(gè)具體的函數(shù)h=f（t），我們可以套用公式計(jì)算瞬時(shí)速度，那么從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，該如何計(jì)算呢？平均速度是如何轉(zhuǎn)變到瞬時(shí)速度的？

設(shè)計(jì)意圖：高臺(tái)跳水問題，從一個(gè)物理問題出發(fā)導(dǎo)入新課，讓全體學(xué)生（A、B、C層學(xué)生）感受數(shù)學(xué)和其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)，感受數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，并能夠很好地理解導(dǎo)數(shù)的物理意義。同時(shí)通過區(qū)分平均速度和瞬時(shí)速度，為后續(xù)引出導(dǎo)數(shù)做鋪墊，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是瞬時(shí)變化率。

問題2：求曲線切線的斜率，設(shè)曲線方程為y=f（x），求在點(diǎn)M（X0，Y0）處的切線斜率。

師生活動(dòng)：由教師引導(dǎo)學(xué)生從割線出發(fā)，求切線，點(diǎn)N是曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)M處的切線就是割線MN當(dāng)N沿曲線無限接近點(diǎn)M時(shí)的極限位置。探索割線是如何過渡到切線的？引導(dǎo)C層學(xué)生作出切線斜率的表達(dá)式，隨后鼓勵(lì)B層學(xué)生思考導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

設(shè)計(jì)意圖：從幾何問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用無限逼近的思想，體會(huì)切線是割線的逼近位置，切線斜率是割線斜率的逼近。

3.4.2 師生互動(dòng)、探究新知

問題3：結(jié)合上述兩個(gè)例子，可以發(fā)現(xiàn)什么共性呢？

師生活動(dòng)：A層學(xué)生發(fā)揮核心領(lǐng)導(dǎo)力，帶領(lǐng)其他學(xué)生共同探索。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)實(shí)例雖然實(shí)際意義不同，但解決問題的思路是相同的，都可以歸結(jié)為計(jì)算函數(shù)的改變量?y與自變量的改變量?x之間的比值，當(dāng)?x→0時(shí)的極限。將這種共性抽象化，教師給出導(dǎo)數(shù)的詳細(xì)概念。

定義1：如果極限

lim?x→0=lim?x→0

存在，則稱f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f'（x0），y'│x=x0，│x=x0，需要注意的是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)要有定義。

例1（A、B、C層）：求函數(shù)f（x）=x2在x0=1處的導(dǎo)數(shù)，即f'（1）。

設(shè)計(jì)意圖：通過A層學(xué)生的帶領(lǐng)，幫助B、C層學(xué)生在導(dǎo)數(shù)的定義上獲得更深層次的理解。加強(qiáng)鍛煉A層學(xué)生的觀察能力和概括能力，并且進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)從具體到抽象的研究過程。例1的設(shè)置是為了加深對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解，讓學(xué)生學(xué)以致用。

問題4：為了方便，有時(shí)?x也可以用其他字母表示，如h，于是導(dǎo)數(shù)公式變成：

f'（x0）＝limh→0

若?x=x－x0，則x=x0＋?x，當(dāng)?x→0時(shí)，x→x0，于是導(dǎo)數(shù)的定義又可以寫成什么形式呢？

師生活動(dòng)：觀察前兩個(gè)導(dǎo)數(shù)公式中各個(gè)變量之間的關(guān)系，該問題主要由A、B層學(xué)生帶領(lǐng)C層學(xué)生共同完成，B層學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，A層學(xué)生總結(jié)得出：

f'（x0）＝limx→x0

例2（A、B層）：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)，求lim?x→0。

設(shè)計(jì)意圖：導(dǎo)數(shù)公式的表達(dá)式有很多種，通過不同的形式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)定義中各個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例2理解起來更抽象化，需要學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)公式及其變形有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)和判斷，從而加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)公式的理解。

問題5：在學(xué)習(xí)函數(shù)極限時(shí)，我們學(xué)習(xí)了左極限和右極限，進(jìn)而還給出了極限存在的充分必要條件。同理我們還有左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件，那么左右導(dǎo)數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件是什么呢？

師生活動(dòng)：教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)左右極限的定義和極限存在的充分必要條件，學(xué)生將這些知識(shí)與導(dǎo)數(shù)的定義相結(jié)合，寫出左右導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件。

定義2：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的左鄰域［x0-δ，x0］上有定義，如果左極限f'_（x0）＝lim?x→0-=lim?x→0-存在，則稱此極限值為函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)。類似地可定義右導(dǎo)數(shù)。

定理1：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f（x0）存在的充分必要條件是f'+（x0）與

f'-（x0）都存在且相等，即f'（x0）=Af'-（x0）=f'+（x0）=A。

例3（A層）：求函數(shù)f（x）=，在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：既能鞏固以前的知識(shí)，又能使學(xué)生鍛煉到類比推理的能力。例3的設(shè)計(jì)是為了使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用定理1的結(jié)論，加深對(duì)定理的理解。

3.4.3 思考問題、擴(kuò)展思維

問題6：根據(jù)前面的討論，如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么其導(dǎo)數(shù)f'（x0）的幾何意義是什么呢？根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的點(diǎn)斜式方程，如何用導(dǎo)數(shù)表示出曲線在某點(diǎn)處的切線方程以及法線方程？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回憶前面求曲線切線斜率的過程，和導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？學(xué)生發(fā)現(xiàn)求曲線在某一點(diǎn)的切線斜率過程就是函數(shù)在某一點(diǎn)的求導(dǎo)過程。即f'（x0）=tanα（α是切線與x軸正向的夾角）。進(jìn)而得出切線方程和法線方程。

例4：曲線y=x3上哪一點(diǎn)處的切線斜率等于3？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義，從而加深對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的理解。

問題7：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)是指lim?x→0Δy=0；而在點(diǎn)x0處可導(dǎo)是指lim?x→0存在。那么可導(dǎo)與連續(xù)有什么關(guān)系呢？

師生活動(dòng)：由B層學(xué)生回顧連續(xù)的定義，A層學(xué)生帶領(lǐng)B、C層學(xué)生分別根據(jù)可導(dǎo)和連續(xù)的定義，推導(dǎo)出連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系。

例5：討論函數(shù)y=|x|=，在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。

設(shè)計(jì)意圖：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，建立知識(shí)之間的邏輯關(guān)系。

3.4.4 回顧反思、深化認(rèn)識(shí)

問題8：回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么知識(shí)，總結(jié)運(yùn)用了哪些方法和數(shù)學(xué)思想，有什么收獲？

師生活動(dòng)：教師著重從“知識(shí)”和“方法”這兩個(gè)方向進(jìn)行引導(dǎo)，回顧導(dǎo)數(shù)的概念是什么？它的幾何含義、物理含義是什么？可導(dǎo)的充分必要條件是什么？可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系是什么？讓學(xué)生感受無限趨近的過程，進(jìn)一步體會(huì)極限思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比歸納思想。對(duì)于老師提問，C層學(xué)生能夠簡單回答所學(xué)的知識(shí)；B層學(xué)生在此基礎(chǔ)上能總結(jié)出這些知識(shí)的推導(dǎo)過程以及使用的方法；A層學(xué)生進(jìn)一步提煉所使用的數(shù)學(xué)思想。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明白不僅知識(shí)很重要，所使用的方法、知識(shí)和知識(shí)之間的聯(lián)系同樣重要。使學(xué)生能形成自己的知識(shí)體系，培養(yǎng)他們的歸納總結(jié)能力。

4 結(jié)語

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分層教學(xué)法在一定程度上能夠減少講授式教學(xué)帶來的弊端。本文在分析分層教學(xué)法理論意義的基礎(chǔ)上，以“導(dǎo)數(shù)概念”這一課為例，根據(jù)學(xué)生個(gè)體差異構(gòu)建了新的教學(xué)模式，將學(xué)生劃分為三個(gè)不同的層次，針對(duì)性地設(shè)計(jì)問題，落實(shí)分層施教，實(shí)現(xiàn)學(xué)生全面發(fā)展。

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Layered Teaching Method of “the Concept of Derivative”

Li Gaoxi Ren Yi

School of Mathematics and Statistics， Chongqing Technology and Business University， Chongqing

Abstract： The application of layered teaching method in college mathematics teaching can improve the traditional teaching method of lecturing， thus promoting the individualized development of students and improving learning efficiency. This paper first discusses the significance of applying layered teaching in college mathematics teaching， and then designs layered teaching methods， which are layered for students， instructional objectives， teaching and homework. Finally， taking the course of “the concept of derivative” in college mathematics as an example， the case design of hierarchical teaching is carried out.

Key words： The concept of derivative; Layered teaching method; Case study design