基于分?jǐn)?shù)傅里葉域信號(hào)處理的邁克爾遜干涉法測(cè)量波長

姜 盛, 武進(jìn)敏, 魯溟峰, 魏洪濤, 范軍芳,張 峰, 陶 然

(1.北京信息科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192；2. 北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

1 引 言

激光技術(shù)的快速發(fā)展加速了光電檢測(cè)技術(shù)的發(fā)展[1～4],通過激光干涉原理可以實(shí)現(xiàn)高精度的光電檢測(cè)?？烧{(diào)諧激光器的波長在使用前需要被精確測(cè)量[5～9],激光器隨著使用年限的增長,其波長也需要進(jìn)行標(biāo)定,修復(fù)后的激光器其波長也需要被重新測(cè)量和標(biāo)定。

干涉測(cè)量技術(shù)是一類常用于波長測(cè)量的方法,根據(jù)其測(cè)量原理可分為干涉條紋周期分析方法和干涉條紋相位分析方法兩種,參見文獻(xiàn)[4]。前一種包括用法布里-珀羅干涉儀[10～12],斐索干涉儀[13～15]測(cè)量。法布里-珀羅干涉儀對(duì)實(shí)驗(yàn)環(huán)境要求較低,但其光信號(hào)是由線列傳感器獲取,在測(cè)量可見光和近紅外波段時(shí)線列傳感器價(jià)格相對(duì)較低,中遠(yuǎn)紅外和遠(yuǎn)紅外波段線列傳感器價(jià)格昂貴較高; 斐索干涉儀能夠測(cè)量連續(xù)激光和脈沖激光波長,但其測(cè)量系統(tǒng)受溫度和氣壓影響較大,測(cè)量時(shí)裝置需處于恒溫、恒壓條件下,并且需要一臺(tái)穩(wěn)定的氦氖激光器控制斐索干涉儀產(chǎn)生的漂移現(xiàn)象,在測(cè)量中紅外與遠(yuǎn)紅外波段線列探測(cè)器成本較高。后一種基于干涉條紋相位分析分方法中,典型的是用邁克爾遜干涉儀[16～19]測(cè)量,邁克爾遜干涉儀不僅可以測(cè)量連續(xù)激光波長,而且由于其波長測(cè)量精度較高,設(shè)備復(fù)雜度低,干涉儀成本相對(duì)較低現(xiàn)廣泛應(yīng)用于波長測(cè)量領(lǐng)域。

目前,邁克爾干涉儀測(cè)量波長主要是利用2束光因相位差所產(chǎn)生的干涉條紋來測(cè)量,測(cè)量過程中需記錄干涉條紋數(shù)量,最初使用人工計(jì)算[20],可靠性差且重復(fù)性低,后來使用電子計(jì)數(shù)器[21]對(duì)條紋進(jìn)行計(jì)算,包括倍頻法[22],時(shí)鐘計(jì)數(shù)法[23]等,但條紋的讀數(shù)誤差仍將影響測(cè)量精度。因此,本文根據(jù)邁克爾遜干涉條紋的生成機(jī)理,首先對(duì)此類干涉條紋圖的相位進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,揭示其chirp信號(hào)特性;其次,根據(jù)此類條紋圖的chirp特性,提出基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換[24]信號(hào)處理方法的邁克爾遜干涉條紋分析,從而測(cè)量光源波長,仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所提方法的有效性。

2 建模及測(cè)量原理

2.1 邁克爾遜干涉條紋信號(hào)建模

邁克爾遜干涉原理如圖1所示,所得干涉條紋圖如圖2所示。

圖1 邁克爾遜干涉原理Fig.1 Michelson interference principle

干涉條紋強(qiáng)度分布規(guī)律可描述為

I(x,y)=I0+I1cos [φ(x,y)]

(1)

式中:I0表示背景強(qiáng)度;I1表示調(diào)制強(qiáng)度;I0≈I1;φ(x,y)是干涉條紋相位。

(2)

式中:λ為光源波長;Δ是圖1中2束光的光程差。

Δ=n(AB+BC-AD)=2ndcosi

(3)

式中:n為介質(zhì)折射率;d為兩平行板之間距離;i為入射角。根據(jù)圖1所示幾何關(guān)系

(4)

式中:f為透鏡焦距;(x0,y0)為干涉條紋環(huán)心坐標(biāo)。

將公式(3)、公式(4)代入公式(2),可得

(5)

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開,公式(5)可近似表示為

(6)

由公式(5)和公式(6)所描述的邁克爾遜干涉條紋相位結(jié)果及其相位差如圖3所示,選取相位中間行,相應(yīng)結(jié)果如圖4所示。

圖3 條紋圖原始相位與泰勒相位對(duì)比Fig.3 Comparison of original phase and its Taylor’s approximation of fringe pattern

圖4 條紋圖中間行的原始相位與泰勒相位對(duì)比Fig.4 Comparison of original phase and its Taylor’s approximation of the middle row of fringe pattern

2.2 分?jǐn)?shù)傅里葉變換信號(hào)處理測(cè)量波長原理

(7)

式中φ0=-2f2Kπ。

將公式(7)代入公式(1)中得到:

I(x,y)=I0+I0cos{Kπ[(x-x0)2+
(y-y0)2]+φ0}

(8)

在信號(hào)處理領(lǐng)域,由公式(8)描述的信號(hào)為chirp信號(hào),K為線性chirp信號(hào)的調(diào)頻率,或者稱為chirp信號(hào)的頻率變化率。同時(shí),邁克爾遜干涉條紋圖的行(或列)也為一維chirp信號(hào),可以描述為

I(x)=rect(x/Xm)[I0+f(x)+f*(x)]

(9)

式中:*代表共軛;rect(x/Xm)代表信號(hào)持續(xù)區(qū)間,Xm代表信號(hào)持續(xù)區(qū)間上限;f(x)可以表示為

=(I0/2)exp[j(Kπx2+2πfcenx+φy)]

(10)

式中:fcen=-Kx0;φy為固定相位。

一維chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換定義為

(11)

式中:ux為行信號(hào)在分?jǐn)?shù)傅里葉域中的頻率;Kα是分?jǐn)?shù)傅里葉變換的核函數(shù),其定義為

Kα(ux,x)=

(12)

將公式(9)、公式(11)代入公式(10)中可得:

(13)

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿足

cotα=-K

(14)

公式(12)可以寫成

sinc[πXm(uxcscα-fcen)]

(15)

因此,chirp信號(hào)在匹配旋轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換域(簡稱“分?jǐn)?shù)域”)中,其幅值分布為sinc函數(shù),如圖5所示。

圖5 一維chirp信號(hào)分?jǐn)?shù)傅里葉變換域幅值分布Fig.5 One-dimensional signal’s amplitude distribution in fractional Fourier domain

同理,對(duì)于圖2中所描述的邁克爾遜干涉條紋圖,在匹配旋轉(zhuǎn)角下,其對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)域幅值分布如圖6所示。從而根據(jù)匹配旋轉(zhuǎn)角與光源波長的關(guān)系,波長的計(jì)算公式為

圖6 二維chirp信號(hào)分?jǐn)?shù)傅里葉變換域幅值分布Fig.6 Two-dimensional signal amplitude distribution in fractional Fourier domain

(16)

3 實(shí) 驗(yàn)

邁克爾遜干涉條紋圖由公式(1)仿真得到,其中相關(guān)參數(shù)設(shè)置為:I0=1,透鏡焦距f=0.05 m,折射率n=1,兩平行板間距d=1 mm。

首先,利用MATLAB(R2021a)仿真生成尺寸為 720×720 pixels的無噪聲污損的干涉圖像進(jìn)行驗(yàn)證,實(shí)驗(yàn)中被測(cè)光源波長范圍為400～700 nm,根據(jù)本文所提基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換信號(hào)處理的波長測(cè)量原理,在匹配旋轉(zhuǎn)角下,邁克爾遜干涉條紋在分?jǐn)?shù)傅里葉變換域中能量聚集,從而由匹配旋轉(zhuǎn)角計(jì)算被測(cè)光源波長,測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表1 不同光源波長的測(cè)量結(jié)果Tab.1 Measurement results with different wavelength

表1中,相對(duì)誤差δ計(jì)算公式為

(17)

式中:λreal為真實(shí)波長;λestimate為估計(jì)波長。

由表1可知:隨著波長的增加,本文方法λestimate的相對(duì)誤差呈增加趨勢(shì);當(dāng)條紋圖中包含的條紋級(jí)數(shù)減小時(shí),本文方法λestimate的相對(duì)誤差增加,對(duì)不同波長測(cè)量平均相對(duì)誤差為0.39%。以420、500、635 nm的光源波長測(cè)量為例,干涉條紋沿水平方向級(jí)數(shù)減少,如圖7所示,根據(jù)匹配旋轉(zhuǎn)角與波長的對(duì)應(yīng)關(guān)系,利用所提方法測(cè)得的波長分別為421.3、498.8、637.9 nm,測(cè)量過程無需記錄干涉條紋數(shù)量,可以基于靜態(tài)圖完成。

圖7 被測(cè)光源波長不同時(shí)干涉條紋及其分?jǐn)?shù)域幅值分布Fig.7 Interference fringes at different wavelengths and its amplitude distribution in fractional Fourier domain

為了進(jìn)一步驗(yàn)證條紋級(jí)數(shù)對(duì)所提方法測(cè)量精度的影響,仿真實(shí)驗(yàn)中針對(duì)波長為420 nm的光源,通過改變平行板之間距離進(jìn)行實(shí)驗(yàn),相應(yīng)的結(jié)果見表2。

表2 平行板距離不同時(shí)波長測(cè)量結(jié)果Tab.2 Wavelength measurement results with different distance between planar planes

當(dāng)平行板之間距離d=0.1 mm時(shí),波長測(cè)量的δ=4.76%;當(dāng)平行板之間距離d=0.5 mm時(shí),波長測(cè)量的δ=1.31%;當(dāng)平行板之間距離d=0.9 mm時(shí),波長測(cè)量的δ=0.30%,相應(yīng)的條紋圖及其在匹配旋轉(zhuǎn)角下的分?jǐn)?shù)域幅值分布如圖8所示。

圖8 平行板距離不同時(shí)條紋圖及其分?jǐn)?shù)域幅值分布Fig.8 Interference fringes for different distance between planar plane and its amplitude distribution in fractional Fourier domain

同樣,隨著平行板之間距離的增加,條紋圖中包含的條紋級(jí)數(shù)增加,該方法的波長測(cè)量精度增加,當(dāng)條紋級(jí)數(shù)增加到一定數(shù)目時(shí),波長測(cè)量趨于穩(wěn)定。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的抗噪聲能力,仿真過程中將干涉條紋圖添加不同信噪比(SNR)的高斯白噪聲進(jìn)行實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)中被測(cè)光源選擇波長為635 nm的紅光,平行板距離d=1 mm。不同SNR下波長測(cè)量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

表3 條紋圖高斯白噪聲污損下波長測(cè)量結(jié)果Tab.3 Wavelength measurement results when fringe pattern added Gaussian white noise with different SNR

高斯白噪聲污損的條紋圖及其分?jǐn)?shù)域幅值分布如圖9所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:本文方法具有很好的抗噪聲能力。針對(duì)不同SNR高斯噪聲污染干涉條紋圖測(cè)量平均相對(duì)誤差小于1%。當(dāng)SNR=-25時(shí),干涉條紋圖在匹配旋轉(zhuǎn)角下的分?jǐn)?shù)域中幅值分布仍然明顯聚集,因此基于匹配旋轉(zhuǎn)角估計(jì)的光源波長可以測(cè)量,相對(duì)誤差為1.72%。

4 結(jié) 論

本文以邁克爾遜干涉法測(cè)光源波長為基礎(chǔ),基于泰勒近似推導(dǎo)證明了邁克爾遜干涉條紋圖信號(hào)的chirp特性,從而基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的chirp基分解特征,提出了基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換信號(hào)處理的波長測(cè)量原理,測(cè)量過程無需記錄條紋數(shù)目,實(shí)現(xiàn)了利用靜態(tài)圖完成邁克爾遜干涉測(cè)量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:待測(cè)激光光源波長范圍為400～635 nm時(shí),本文方法測(cè)量波長的相對(duì)誤差平均值約為0.39%,并且通過處理不同SNR的高斯白噪聲污損條紋圖實(shí)驗(yàn),測(cè)得光源波長的平均相對(duì)誤差為1%以下,驗(yàn)證了所提方法的抗噪聲能力,為進(jìn)一步開展基于分?jǐn)?shù)域信號(hào)處理的邁克爾遜干涉法波長測(cè)量研究提供支撐。