基于時間域半空間 Green 函數(shù)建立的邊界積分方程及其在動態(tài)破裂模擬中的應用

劉煜杭, 錢峰, 馮禧, 張海明

北京大學地球與空間科學學院地球物理系, 北京 100871

0 引言

地震斷層的自發(fā)破裂傳播模擬是通過震源過程了解地球介質(zhì)應力狀態(tài)的重要手段.對地面設(shè)施破壞力較強的大地震理所當然受到更多關(guān)注,在研究這一類地震時,往往需要重點考慮其破裂直接擴展到地表以及斷層規(guī)模較大的特征.當破裂直接擴展到地表時,其傳播會明顯受到地表的影響,因此不能用簡單的全空間模型來考慮,必須引入自由界面來進行研究(Zhang and Chen, 2006a,b; Ando and Kaneko, 2018);而較大的斷層規(guī)模則往往伴隨復雜的斷層幾何結(jié)構(gòu),這對破裂的傳播也會產(chǎn)生很大的影響(Aochi and Madariaga, 2003; 錢峰等, 2019).邊界積分方程方法(Boundary Integral Equation Method,BIEM)可以將域內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化到邊界上,適于解決這類具有復雜邊界的問題,而且這種做法將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題,可以大大減少計算量.同時與有限差分法和有限元法等域方法相比,邊界積分方程方法中自由表面和斷層幾何形態(tài)等介質(zhì)信息可以單獨在事先計算好的積分核中體現(xiàn),不需要耦合在破裂過程中,因此在需要針對同一斷層模型進行大量正演計算的情況下只需要計算一次積分核,避免了重復計算Green函數(shù)造成的計算資源損耗.目前邊界積分方程方法已經(jīng)在需要大量動力學正演計算的破裂相圖相關(guān)研究中得到應用(Xu et al., 2015; 鄭玲瓏等,2021).

因為邊界積分方程方法在解決復雜邊界問題中具有優(yōu)勢,所以很多地震學家將其應用到復雜斷層的震源自發(fā)破裂傳播問題中.Das和Aki(1977)首先利用位移表示定理建立了位移邊界積分方程,但位移邊界積分方程只能應用于對平面斷層的研究.為了更好地體現(xiàn)斷層復雜幾何結(jié)構(gòu)的影響,地震學家漸漸將目光轉(zhuǎn)向了牽引力邊界積分方程(Fukuyama and Madariaga, 1995, 1998).利用牽引力邊界積分方程不僅能處理平面斷層的問題(Yamashita and Fukuyama, 1996; Kame and Yamashita, 1997),也能解決任意復雜斷層的震源自發(fā)破裂傳播問題(Aochi et al. 2000a, b; Tada et al., 2000).

因為牽引力邊界積分方程基于全空間 Green 函數(shù)建立,所以只適用于全無限空間介質(zhì)中的破裂傳播問題.目前考察自由表面影響的方法主要有三種:第一種是利用幾何對稱性引入鏡像虛擬震源(Lapusta et al., 2000; Aochi and Fukuyama, 2002),但是這種方法只適用于垂直斷層;第二種是引入滿足無牽引力條件的虛擬斷層面來模擬自由表面(Ando and Okuyama, 2010; Hok et al., 2011),這種方法適用于任意復雜斷層,但是虛擬斷層面會導致模型空間變大,大大增加了計算量;最后一種則是將全空間 Green 函數(shù)替換為半空間 Green 函數(shù)來建立邊界積分方程 (Zhang and Chen, 2006a,b),這種方法理論上適用于任意形狀的斷層,但相關(guān)的研究使用的是頻率域半空間 Green 函數(shù),在高頻區(qū)域需要額外的采樣點來保證精度,造成了非必要的計算浪費.

此前研究使用頻率域半空間Green 函數(shù)計算積分核 (Zhang and Chen, 2006a,b),需要大量頻率域采樣點來保證變換回時間域后Green函數(shù)的精度.本研究直接從半無限空間Green 函數(shù)的時間域積分形式解(Johnson, 1974)出發(fā),利用數(shù)值積分方法計算半空間Green 函數(shù)積分核,在保證精度的同時減少了頻率域采樣點較多導致的額外計算量,提高了計算效率.并在此基礎(chǔ)上改進了錢峰等(2019)的方案,將復雜斷層系統(tǒng)下的自發(fā)破裂傳播模擬方法從全無限空間介質(zhì)模型拓展到半無限空間介質(zhì)模型中.在驗證了方法的正確性之后,本文探究了自由表面對破裂傳播過程的影響范圍,并初步展示了自由表面影響下彎折斷層的破裂過程.

1 方法介紹

本文從半空間 Green 函數(shù)(Johnson, 1974)出發(fā),推導出離散化積分核的積分形式表達式,在用數(shù)值積分的方法預先計算得到積分核之后,將這些積分核代入邊界積分方程中,聯(lián)立適當?shù)哪Σ翜蕜t即可計算出自由界面影響下的地震斷層自發(fā)破裂傳播過程.

1.1 半空間Green函數(shù)積分核的理論公式

在利用邊界積分方程方法模擬斷層的自發(fā)破裂過程時,需要先計算包含了介質(zhì)信息的積分核,即應力 Green 函數(shù).為了研究自由表面對破裂傳播過程的影響,本文使用半空間 Green 函數(shù)(Johnson, 1974)計算積分核,再代入破裂過程計算(錢峰等, 2019)中,最終得到了自由表面影響下的斷層自發(fā)破裂過程.

在此前的研究(Zhang and Chen, 2006a,b) 中,應力分量的表達式是在地表坐標系Ox1x2x3中給出的,其中自由表面在x3=0的平面內(nèi),x3軸指向地心(圖 1).

但是由于其整個計算過程都是在頻率域進行的,為了減少計算量的損失,首先反變換得到時間域內(nèi)的應力表達式

其中

(2)

(3)

(4)

(5)

在無限空間介質(zhì)下,Green函數(shù)的空間導數(shù)滿足(Aki and Richards, 2002)

(6)

但將自由界面的影響納入考慮范圍后,式(6)在x3和ξ3方向不再成立.為表示方便,式(2)—(5)中

(m,q=1,2,3)

(7)

為更加方便地研究斷層的破裂行為,選擇震源坐標系O′x′1x′2x′3,使得斷層面在x′3=0平面內(nèi),通過簡單的坐標轉(zhuǎn)換即可得到震源坐標系O′x′1x′2x′3下的應力分量.僅考慮相對普遍的斷層剪切破裂的情況,自然有斷層沿x′3方向的位錯 Δu′3=0.

以走滑斷層為例,在計算破裂過程時,需要使用斷層上的正應力τ′33分量和剪應力τ′31分量,若考慮斷層的彎折、分叉等復雜情況,還需要增加應力τ′11分量進行應力的合成.具體到震源坐標系O′x′1x′2x′3中,對于三個位錯分量來說只有Δu′1非零.在此假設(shè)下,將各應力分量由地表坐標系Ox1x2x3中轉(zhuǎn)換到震源坐標系O′x′1x′2x′3中,可以得到當前問題所關(guān)心的應力τ′11,τ′31,τ′33分量的表達式:

+2Δu1[η0(G11,21+G12,11)-(G11,31+G13,11)]}dτdS,

(8)

+η1η2(-G′11,23-G′12,13+G31,21+G32,11+G21,31+G23,11+G11,32+G13,21)]}dτdS,

(9)

(10)

在得到三個應力分量表達式后,為了通過數(shù)值方法進行地震斷層破裂的自發(fā)傳播模擬,需要將斷層離散化.與之前研究使用的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格(Zhang and Chen, 2006a, b)不同,本研究使用三角形離散化方案 (錢峰等, 2019),這種離散化方案在研究復雜斷層結(jié)構(gòu)時比較方便.

設(shè)三角形離散化后的應力分量可以分別表示為

(11a)

(11b)

(11c)

-η1(G′31,33+G′33,13-G11,13-G13,11-G21,23-G23,12)

+2η1(G11,13+G13,11)-η2(G11,12+G12,11)]}dS′,

(12)

(13)

(14)

特別地,當δ=90°即斷層為垂直走滑斷層時,(12)—(14)式退化為

(15)

(16)

(17)

至此,得到了離散化的半空間Green函數(shù)積分核的表達式.對于具體的斷層離散化方案,利用數(shù)值積分方法計算得到積分核,便可以將其代入破裂過程的計算中.需要指出的是,在計算積分核的過程中可以將全空間Green函數(shù)積分核與自由表面部分的影響分離,即可以使用閉合解計算全空間Green函數(shù)積分核(Tada et al., 2000),再使用數(shù)值積分方法計算自由表面項,兩者相加即為所需的半空間Green 函數(shù)積分核.

1.2 邊界積分方程與摩擦準則

邊界積分方程方法最早由Das和Aki(1977)引入到動力學破裂模擬中,本研究使用的邊界積分方程為:

×V(ξ,τ)dτ(x∈Γ).

(18)

同時,本研究使用滑動弱化摩擦準則 (Ida, 1972),將其表示為如下形式:

(19)

式中,τ是當前時刻單元的剪應力,τu表示破裂強度,τf為殘余應力,Du和Dc分別為當前時刻單元的總滑動量和臨界滑動弱化位移.將斷層離散化后,在給定的斷層初始應力分布下,聯(lián)立摩擦準則求解邊界積分方程,可以得到各網(wǎng)格點上的位錯變化歷史,即斷層破裂的自發(fā)傳播過程.

2 正確性檢驗

因為邊界積分方程方法可以將計算積分核和破裂模擬兩個過程完全分離,所以可以采取先檢驗積分核,再檢驗破裂過程的逐層檢驗方法來驗證本文所得結(jié)果的正確性.

2.1 積分核的檢驗

為檢驗積分核的正確性,選取張海明(2004)中使用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格給出的一個半空間Green函數(shù)積分核計算實例,為與其統(tǒng)一,本文使用兩個等腰直角三角形拼成的正方形單元上的積分核與其計算結(jié)果進行對比(圖 2).

2.2 近地表平面斷層的自發(fā)破裂過程

在計算出積分核之后,可以直接將其應用到破裂過程的模擬中.為考察半空間 Green 函數(shù)積分核在破裂過程中的應用效果,本文選擇The SCEC/USGS Code Verification Web Server 項目中的TPV5問題作為參考算例進行比較,該項目的網(wǎng)站地址為:https:∥strike.scec.org/cvws/.

考慮一個30 km×15 km的與自由表面相連的垂直走滑斷層,破裂成核區(qū)是位于7.5 km深度處的邊長為3 km的正方形區(qū)域,區(qū)域內(nèi)的初始應力為81.60 MPa,成核區(qū)兩側(cè)分別有同樣大小的高初始應力區(qū)和低初始應力區(qū),這兩個區(qū)域的初始應力分別為78.00 MPa和62.00 MPa,其余區(qū)域的初始應力設(shè)為70.00 MPa(圖4).斷層的破裂強度為81.24 MPa,殘余應力τf=63.00 MPa,P波速度和S波速度分別取cL=6000 m·s-1和cT=3464 m·s-1,介質(zhì)密度ρ=2670 kg·m-3.在模擬破裂過程時,滑動弱化距離Dc設(shè)為0.40 m.如圖5所示,斷層使用三角形網(wǎng)格離散.

本文得到的破裂前鋒演變圖與USGS 提供的破裂前鋒演變圖在整體行為上一致(圖 6).首先,破裂前鋒從斷層中心的正方形成核區(qū)開始傳播,并逐漸向外擴展;當破裂前鋒傳播到左側(cè)的高初始應力區(qū),破裂速率有明顯加快,表現(xiàn)為破裂前鋒外凸,相應地,在右側(cè)的低初始應力區(qū),破裂速率減慢,對應到破裂前鋒內(nèi)凹;破裂前鋒抵達自由表面時,由于直達震相與反射震相的耦合作用,自由表面處破裂傳播速率會明顯加快,表現(xiàn)為破裂前鋒向外彎曲,這個效應隨著破裂向兩側(cè)傳播會越來越明顯,尤其是在斷層右側(cè)由于低初始應力區(qū)的存在,導致直達震相速率減慢,使得自由表面震相更加明顯.需要注意的是,本文得到的結(jié)果與USGS提供的結(jié)果相比,破裂的整體傳播速率會相對慢一些,這可能是由破裂模擬的網(wǎng)格相對較大導致的.

3 分析與討論

與全空間Green函數(shù)積分核相比,半空間Green函數(shù)積分核中增加了自由表面的影響.為探討當前方案下自由表面對破裂過程模擬的影響程度,本節(jié)將對自由表面項的作用做出進一步討論.

3.1 積分核的行為

理論上,自由表面的作用可以直接在積分核的行為中體現(xiàn)出來,具體表現(xiàn)為反射震相導致的積分核數(shù)值波動.為更加清晰地顯示自由表面對積分核行為的影響,本文在圖7顯示模型下探究積分核行為隨觀測點深度的變化.斷層面假設(shè)為一個x2=0平面內(nèi)的等腰直角三角形單元ABC,三角形單元的頂點分別為A(0,2)km,B(1,2)km和C(0,3)km,觀測點在x1=10 km的垂直于自由表面的直線上移動,P波速度和S波速度分別取cL=6000 m·s-1和cT=3464 m·s-1,比較觀測點在不同深度時的積分核行為.

如圖8所示,全空間Green函數(shù)積分核僅有直達P波和直達S波導致的積分核數(shù)值波動,而半空間Green函數(shù)積分核的自由表面項則包含了反射 PP,PS,SP,SS四種震相導致的積分核數(shù)值波動.在觀測點深度逐漸增大的過程中,各個震相導致的積分核數(shù)值波動由于反射波的傳播距離增大有明顯的時間延遲,而且波動的幅度有明顯的減小,這也印證了自由表面的影響會隨著與自由表面距離的增大而逐漸削弱.

3.2 破裂過程隨斷層深度的變化

自由表面會導致積分核行為上出現(xiàn)反射震相導致的數(shù)值波動,同時隨著震源或者觀測點隨自由表面距離的增加,自由表面的效應會明顯減弱,可以預見,將半空間 Green 函數(shù)積分核應用到破裂過程模擬中時,也會出現(xiàn)類似的特征.為驗證自由表面對破裂過程的影響,選取圖9所示的簡單平面斷層模型進行破裂過程模擬.假設(shè)28 km×15 km的斷層上沿到自由表面的距離為h,h不斷變化,破裂成核區(qū)為斷層左側(cè)一個半徑為1.5 km的圓形區(qū)域,成核區(qū)到斷層左端的距離為8 km,到斷層上沿的距離為7.5 km.不同深度的斷層模型根據(jù)三角形離散化方案離散化后,首先計算出半空間Green函數(shù)積分核,再將積分核代入破裂過程模擬程序中,可以繪制出不同斷層深度下的破裂過程快照.斷層上的正應力和剪應力分別為120 MPa和70 MPa,滑動弱化距離設(shè)為3 m,成核區(qū)的初始剪應力和斷層的破裂強度與2.2節(jié)相同.

當前離散化方案使用三角形的網(wǎng)格平均邊長為 1 km.破裂過程快照顯示,自由表面對破裂過程的影響隨斷層上沿到自由表面距離的增加有明顯的減弱.在該離散化方案下,當斷層與自由表面直接相交,可以明顯看到自由表面產(chǎn)生的反射震相,以及自由表面處的滑動速率和破裂傳播速率增加;當斷層上沿距自由表面的距離為 1 km 時自由表面的影響已經(jīng)比較微弱,幾乎只能看到自由表面導致的微弱反射震相;而在斷層上沿距自由表面的距離為 5 km 時則幾乎看不到自由表面的影響(圖 10).

自由表面對斷層自發(fā)破裂過程傳播的影響主要體現(xiàn)在與地表直接相交的斷層上,這與預期結(jié)果吻合.在給定的離散化方案下,當斷層逐漸深入地下,自由表面的影響會逐漸削弱而且削弱速率非?？?因而對于斷層距離地表較近尤其是與地表直接相交的情況,自由表面對破裂過程傳播的影響是必須考慮在內(nèi)的,而對于斷層較深的情況,自由表面的影響顯著減弱.

3.3 近地表彎折斷層的自發(fā)破裂過程

在無限半空間介質(zhì)中,可以清晰地看到自由表面對簡單平面斷層上自發(fā)破裂過程的影響,包括反射震相和地表處的破裂傳播速率增加.為了進一步探究半空間Green 函數(shù)積分核在復雜斷層系統(tǒng)破裂傳播過程中的應用,考慮將圖9所示平面斷層劃分為 16 km×15 km和12 km×15 km兩個斷層組成的彎折斷層系統(tǒng),兩斷層之間的彎折角為30°,斷層上沿與自由表面相交.動力學參數(shù)設(shè)置與 3.2 節(jié)相同(圖 11).

為了更直觀地顯示加入自由表面影響后破裂傳播過程的變化,除直接使用半空間 Green 函數(shù)積分核模擬破裂外,還將半空間 Green 函數(shù)積分核中的自由表面項去除,直接使用全空間 Green 函數(shù)積分核計算破裂過程進行對比.

破裂過程快照結(jié)果顯示,應力首先在成核區(qū)積累,然后從成核區(qū)向外傳播(圖12).在開始階段,使用兩種積分核模擬出來的破裂過程是完全相同的.當破裂傳播到自由表面時,兩種介質(zhì)模型下的破裂傳播過程開始發(fā)生變化,使用全空間積分核模擬出的破裂在上下界面處的行為是完全一致的;而使用半空間積分核的破裂過程模擬結(jié)果表明,破裂在自由表面處有明顯的加速,導致破裂先接觸斷層上沿即自由表面.破裂繼續(xù)傳播,相較全空間介質(zhì)模型下的結(jié)果,在半空間介質(zhì)模型下,破裂傳播出現(xiàn)非常明顯的反射震相.同時由于反射震相和直達震相的疊加,自由表面破裂前鋒處的滑動速率有明顯增大,破裂速率也隨之加快.當破裂從主平面經(jīng)過彎折部位向彎折面方向傳播時,破裂會產(chǎn)生短暫停留,之后繼續(xù)沿彎折面方向傳播,在這個過程中,以上所述自由表面的影響仍然明顯存在.無論在主平面還是彎折面,反射震相都會隨著距離自由表面的距離增大而逐漸削弱,當傳播到斷層下沿時已經(jīng)幾乎沒有顯現(xiàn).

圖1 地表坐標系Ox1x2x3和震源坐標系O′x′1x′2x′3示意圖淺灰色區(qū)域為自由表面,深灰色區(qū)域表示斷層面,斷層上沿到自由表面的距離為h,傾角為δ,Ox1x2x3和O′x′1x′2x′3分別為地表坐標系和震源坐標系.

圖2 用于積分核正確性檢驗的斷層模型斷層為x2=0平面內(nèi)與自由表面相交的由兩個等腰直角三角形ABD和BCD組成的正方形,觀測點R在圖中星號所示位置.

圖3 積分核對比結(jié)果上方為本文結(jié)果,下方為張海明(2004)結(jié)果,其中k-n表示時間步.

圖4 TPV5問題的斷層模型問題采用如圖所示30 km×15 km的垂直走滑斷層,成核區(qū)為斷層中心的3 km×3 km的正方形區(qū)域,在成核區(qū)的左右兩側(cè)分別有一個同樣形狀大小的高初始應力區(qū)和低初始應力區(qū).

圖5 離散化后的TPV5問題斷層模型采用三角形離散化方案離散的TPV5 問題的斷層模型,網(wǎng)格顏色越深表示該區(qū)域的初始應力越大.

圖6 破裂前鋒隨時間的演變圖像上方為本文結(jié)果(網(wǎng)格尺度為 750 m),下方為USGS(United States Geological Survey,美國地質(zhì)調(diào)查局)提供的結(jié)果(有限元法,網(wǎng)格尺度為 100 m).

圖7 用于探究積分核行為的斷層單元模型斷層為x2=0平面內(nèi)的等腰直角三角形單元ABC,星號所示為觀測點R,觀測點R在x1=10 km 射線上移動.

圖8 不同觀測點深度下的積分核隨時間變化圖像(a) 黑線為全空間積分核,紅線為半空間積分核的自由表面項; (b) 放大5倍后的半空間積分核自由表面項.

圖9 平面斷層模型問題采用如圖所示28 km×15 km的垂直走滑斷層,成核區(qū)為如圖所示半徑為1.5 km 的圓形區(qū)域,成核區(qū)到斷層左側(cè)邊緣的距離為8 km,到斷層上沿的距離為7.5 km,斷層上沿到自由表面的距離h不斷變化.

圖10 不同斷層面深度下的不同時刻的滑動速率快照(a) 斷層與自由表面相交; (b) 斷層上沿距自由表面 1 km; (c) 斷層上沿距自由表面 5 km.

圖11 彎折斷層模型問題采用斷層由16 km×15 km的主平面和12 km×15 km的彎折面組成,成核區(qū)為如圖所示半徑為1.5 km的圓形區(qū)域,成核區(qū)到斷層左側(cè)邊緣的距離為8 km,到斷層上沿的距離為7.5 km,斷層上沿與自由表面相交.

圖12 不同介質(zhì)模型下的不同時刻的滑動速率快照(a) 半空間模型; (b) 全空間模型.

在破裂傳播過程快照中,可以清晰地看到破裂的整體傳播路徑以及變化趨勢.但為了更深入了解傳播過程中破裂前鋒處破裂速率及滑動速率的變化情況,本文分別在斷層的自由表面處及深度為 7.5 km 處取了兩條網(wǎng)格單元線,繪制了斷層破裂前鋒傳播圖.

如圖 13 所示,破裂前鋒在約 3 s 時抵達自由表面并向兩側(cè)延伸.在主平面上,破裂前鋒傳播圖的斜率絕對值很小,說明破裂傳播速率很快,這與自由表面加速破裂傳播的結(jié)論相吻合,同時滑動速率也比較大.在彎折面上,隨著傳播時間逐漸增加,反射震相由于傳播速率較快,逐漸與直達震相分離,形成兩條破裂前鋒,其中反射震相導致的破裂前鋒速率略快于直達震相導致的破裂前鋒.此外,兩條破裂前鋒上的滑動速率也會由于解耦而減小.而深度為 7.5 km 的網(wǎng)格單元線剛好穿過成核區(qū),因此可以直接看到初始時刻破裂在成核區(qū)產(chǎn)生并向兩側(cè)擴展的過程.同時隨著破裂的傳播,單元的滑動速率逐漸加快,直達震相經(jīng)過彎折部位的短暫停頓,在彎折面繼續(xù)傳播.最早的反射震相在約 6 s 的時刻抵達成核區(qū)即x1=8 km處,但是由于離自由表面較遠,反射震相明顯較弱.

4 結(jié)論

本文在邊界積分方程方法的框架下,從半無限空間Green函數(shù)的積分形式解出發(fā),利用數(shù)值積分的方法推導出了三角形離散化的半空間Green函數(shù)積分核表達式,使其替代全空間Green函數(shù)積分核,模擬出自由表面影響下的斷層自發(fā)破裂傳播過程.并通過與前人結(jié)果的對比,驗證了本文半空間積分核結(jié)果的正確性.為了探究半空間積分核中包含的自由表面效應對積分核以及破裂過程的影響,本文分別給出了積分核與破裂過程隨觀測點/斷層深度變化的圖像,同時拓展了半空間積分核在彎折斷層破裂過程中的應用.

相比全空間積分核,半空間積分核中包含了自由表面的效應,這種效應會導致破裂傳播過程中地表反射震相的產(chǎn)生以及自由表面處的破裂傳播加速.但是在給定的斷層離散化方案下,這種效應僅在斷層直接與自由表面相交或者二者相距很近的情況下才能明顯體現(xiàn),在震源較深時自由表面的影響可以忽略.彎折斷層的彎折部位往往會限制破裂往彎折面的傳播,但是由于自由表面會導致反射震相的產(chǎn)生,反射震相可以與直達震相耦合,加快耦合處的斷層滑動速率,從而促進破裂的傳播,因此在二者的耦合作用下,破裂在彎折面繼續(xù)傳播的可能性也會增大.而在計算成本上,本文得到的積分核為時間域內(nèi)的結(jié)果,相比頻率域內(nèi)的計算,可以大大減少高頻區(qū)域采樣點增加造成的浪費,很大程度上提高了計算效率.

使用半空間Green函數(shù)積分核模擬的破裂過程可以很好地體現(xiàn)自由表面的影響,非常有助于對淺源地震的研究,邊界積分方程方法中采用的三角形離散化方法則有助于討論各種復雜斷層的情況,而淺源與斷層模型復雜也恰好是破壞性大地震的共有特征.本文將自由表面的效應與復雜斷層的效應成功結(jié)合起來,建立了一套較為完善的破裂過程正演體系,同時,隨著Feng和Zhang(2021)給出Lamb問題的廣義閉合解,計算積分核的效率也預期會在當前使用積分解的基礎(chǔ)上有很大提升.在后續(xù)的研究中,將會進一步進行動力學反演的嘗試,這有助于深層次了解斷層破裂產(chǎn)生并傳播的力學機制,對于了解破壞性大地震具有重要意義.

致謝本研究工作得到北京大學高性能計算校級公共平臺支持,這使得計算積分核的效率大大提高;同時感謝北京超級云計算中心提供的計算資源支持.此外,對責任編委和匿名審稿人提出的寶貴意見表示衷心感謝.