圓環(huán)上兩類極值問題

楊 燕

(西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,四川南充 637002)

0 引言

20世紀(jì)40年代前后,Teichmuller等人在Gr?tzsch問題的啟發(fā)下研究了擬共形映射的極值問題,從而產(chǎn)生了Teichmuller空間理論.2005年,Astala等人[1]研究了兩矩形之間的調(diào)和能量極值問題.隨后,Iwaniec等人[2]研究了圓環(huán)上全能量最小問題.2010年,Astala等人[3]研究了圓環(huán)上的平均偏差最小的映射.隨后文獻(xiàn)[4]和[5]研究了雙連通區(qū)域上的情形.之后在文獻(xiàn)[6-8]中對矩形上更為一般的情況進(jìn)行了研究.最近,Kalaj[9]研究了圓環(huán)上的組合能量,本文主要研究了圓環(huán)上加權(quán)調(diào)和能量極值問題和加權(quán)偏差極值問題.調(diào)和能量極值問題與偏差函數(shù)的極值問題是相關(guān)的,具體見文獻(xiàn)[10-12].

1 預(yù)備知識

設(shè)A1和A2分別是復(fù)平面上的兩個圓環(huán),其中A1={z:1≤|z|≤r},A2={z:1≤|z|≤R},h是A1到A2的微分同胚,并且保持邊界對應(yīng),即當(dāng)|z|=1時,|h(z)|=1;當(dāng)|z|=r時,|h(z)|=R.H(A1,A2)是由h組成的集合.

由于研究圓環(huán)上的映射,用極坐標(biāo)的形式在討論問題時自然方便,所以令h=ρeiφ,z=teiθ,那么h的徑向?qū)?shù)和切向?qū)?shù)分別定義為

(1)

又由

所以有

J(z,h)≤|hN||hT|.

(2)

f的偏差函數(shù)定義為

調(diào)和能量與Nitsche現(xiàn)象密切相關(guān).1962年Nitsche[13]猜測,圓環(huán)A1與A2之間存在調(diào)和同胚的充要條件是以下不等式成立.

(3)

這個猜想最終在2011年被Iwaniec等人[14]解決.

在Nitsche猜想的基礎(chǔ)上,Kalaj[15]提出了ρ-Nitsche猜想,如下:

如果存在從A1到A2的ρ-調(diào)和同胚,則

(4)

定理1.1[17]設(shè)ρ(w)=|w|-2,則A1與A2之間存在ρ-調(diào)和同胚的充要條件是

這給出了ρ(w)=|w|-2的ρ-Nitsche猜想的肯定回答.

在文獻(xiàn)[18]中Iwaniec和Oninnen研究了全能量最小的極值問題.本文分別針對加權(quán)能量極值問題和加權(quán)偏差函數(shù)極值問題給出了兩個主要定理.

定理1.2設(shè)h:A1→A2的微分同胚,且滿足Nitsche條件(3),對所有的h∈H(A1,A2),

定理1.3設(shè)f:A2→A1的微分同胚,f=h-1,且滿足Nitsche條件(3),對所有的

f∈F(A2,A1),

定理1.3已經(jīng)出現(xiàn)在文獻(xiàn)[15,17]中,這里借助文獻(xiàn)[18]中的方法,給出了不同的證明方法.

2 定理1.2的證明

設(shè)0≤a≤1,0≤b≤1,A≥0,B≥0且|z|=t>0,則由(1)、(2)及平均值不等式有

≥(1-a2)|hN|2+(1-b2)|hT|2+2ab|hN||hT|

+[2ab]J(z,h)-[(1-a2)A2+(1-b2)B2],

(5)

下面分兩種情況討論.

(6)

將(6)式兩邊同時在A1上積分得

所以

ε[h]≥ε[h0].

則(5)式變?yōu)?/p>

(7)

將(7)式兩邊同時在A1上積分得

證畢.

3 定理1.3的證明

設(shè)0≤a*≤1,0≤b*≤1,A*≥0,B*≥0且|z|=t>0,則由平均值不等式有

(8)

(9)

將(9)式兩邊同時在A2上積分得

所以

E[f]≥E[f0].

(10)

將(10)式兩邊同時在A2上積分得

證畢.