二維線性模組空間運(yùn)動(dòng)誤差實(shí)時(shí)測(cè)量

婁志峰， 張漢平， 周競(jìng)杰， 張記云， 錢(qián) 鈞， 范光照

（1. 大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2. 大連理工高郵研究院有限公司，江蘇 高郵 225600）

1 引 言

二維直線運(yùn)動(dòng)平臺(tái)廣泛應(yīng)用于電子元件封裝、3D 打印機(jī)和坐標(biāo)測(cè)量等領(lǐng)域［1-3］。組成二維平臺(tái)的單根導(dǎo)軌存在6 項(xiàng)幾何誤差：3 個(gè)位置誤差（軸向定位誤差、水平直線度誤差和豎直直線度誤差）和3 個(gè)姿態(tài)角誤差（偏擺角誤差、俯仰角誤差和滾動(dòng)角誤差）［4］，幾何誤差是影響平臺(tái)空間位置精度的重要因素［5］。對(duì)導(dǎo)軌的多自由度誤差進(jìn)行測(cè)量，并建立二維線性模組的空間誤差模型對(duì)提升模組的應(yīng)用范圍尤為重要。

激光測(cè)量廣泛應(yīng)用于導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量領(lǐng)域。Huang 等［6］基于全反射原理、郭俊康等［7］運(yùn)用光學(xué)與傾角傳感器組合的方式分別設(shè)計(jì)了五自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量系統(tǒng)，美國(guó) API 公司［8］基于單光束準(zhǔn)直測(cè)量法研制了六自由度測(cè)量系統(tǒng)，Chang 等［9］基于多測(cè)頭組合式激光光柵干涉提出了六自由度位姿測(cè)量方法。上述方法均可實(shí)現(xiàn)導(dǎo)軌多自由度運(yùn)動(dòng)誤差的測(cè)量，缺點(diǎn)則是光路比較復(fù)雜、成本高［10］。

在導(dǎo)軌的6 項(xiàng)幾何誤差中，滾動(dòng)角誤差較難測(cè)量［11-12］。目前，水平儀是滾動(dòng)角誤差測(cè)量的主要設(shè)備，但水平儀無(wú)法測(cè)量豎直軸運(yùn)動(dòng)的滾動(dòng)角誤差［13-15］。Jin 等［16］利用測(cè)量信號(hào)與參考信號(hào)之間的相位差設(shè)計(jì)了外差式干涉儀測(cè)量滾動(dòng)角誤差?？锎浞降龋?7］基于光束的偏振狀態(tài)對(duì)角度的敏感特性，利用沃拉斯頓棱鏡產(chǎn)生兩束偏振光，通過(guò)測(cè)量沃拉斯頓棱鏡轉(zhuǎn)動(dòng)前后光強(qiáng)的變化實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)角的測(cè)量。Shi 等［18］研制了基于差動(dòng)平面鏡干涉法的精密滾轉(zhuǎn)角測(cè)量系統(tǒng)，通過(guò)檢測(cè)光程差或相位差變化實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)角的測(cè)量。但上述方法結(jié)構(gòu)復(fù)雜，易受環(huán)境光與測(cè)量環(huán)境的影響。采用平行雙光束［19-20］，通過(guò)測(cè)量導(dǎo)軌滑塊不同位置處的直線度運(yùn)動(dòng)誤差，可以間接得到滾動(dòng)角誤差，但此方法中雙光束調(diào)平行較為困難且光束間的平行度會(huì)隨時(shí)間變化。

上述針對(duì)導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)誤差的測(cè)量均采用離線測(cè)量方法，無(wú)法準(zhǔn)確得知導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)誤差。本文研制了導(dǎo)軌六自由度運(yùn)動(dòng)誤差實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)，基于自準(zhǔn)直原理測(cè)量滾動(dòng)角誤差。該測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可實(shí)時(shí)測(cè)量導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)位姿。此外，建立了二維線性模組的空間誤差模型，通過(guò)代入實(shí)時(shí)測(cè)量數(shù)據(jù)得到了二維線性模組功能點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)誤差。

2 原 理

二維線性模組由兩根導(dǎo)軌在XZ平面裝配而成，因六自由度測(cè)量系統(tǒng)體積小、模塊化程度高，所以可裝在二維模組的兩軸中實(shí)現(xiàn)導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)誤差的實(shí)時(shí)測(cè)量。該測(cè)量系統(tǒng)由光柵尺、四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模塊和滾動(dòng)角測(cè)量模塊組成。其中，光柵尺測(cè)得定位誤差，四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模塊測(cè)得直線度誤差、偏擺角及俯仰角誤差，滾動(dòng)角誤差測(cè)量模塊測(cè)得滾動(dòng)角誤差。圖1 為單軸測(cè)量系統(tǒng)的安裝圖，光柵尺安裝在導(dǎo)軌一側(cè)，四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模塊的激光端安裝在基臺(tái)上，感測(cè)端安裝在滑塊上，滾動(dòng)角測(cè)量模塊的自準(zhǔn)直模塊安裝在滑塊側(cè)端，平面反射鏡安裝在導(dǎo)軌另一側(cè)。

2.1 四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量

四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模塊完成直線度誤差、偏擺角以及俯仰角誤差測(cè)量。其中，直線度誤差基于激光準(zhǔn)直原理測(cè)得，所用傳感器為位置敏感探測(cè)器（Position Sensitive Detector，PSD）（濱松公司，S5990-01，日本），如圖2（a）所示；偏擺角和俯仰角誤差基于激光自準(zhǔn)直原理測(cè)得，所用傳感器為四象限光電探測(cè)器（Four-quadrant Photo Detector，QPD）（First Sensor，QP10-6，德國(guó)），如圖2（b）所示。

四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模塊感測(cè)端跟隨滑塊沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)時(shí)，若導(dǎo)軌存在直線度誤差，原本打在PSD1 中心的光斑會(huì)在Y方向和Z方向產(chǎn)生偏移，從而實(shí)現(xiàn)直線度誤差的測(cè)量。直線度誤差分別為：

式中Δy1，Δz1為光斑在PSD1 上的位置變化值。

QPD1 的位置預(yù)先放在聚焦透鏡FL1 的焦平面上，激光端發(fā)出的光束經(jīng)分光鏡BS1 后通過(guò)聚焦透鏡FL1 匯聚到QPD1 上。若導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)時(shí)有角度誤差，激光會(huì)以?xún)A斜的方式射入聚焦透鏡，此時(shí)光斑在QPD1 上的位置相對(duì)于QPD1 中心會(huì)發(fā)生偏移。偏擺角εz1和俯仰角εy1為：

式中：Δx1，Δz1為光斑在QPD1 上的位置變化值；f1為聚焦透鏡FL1 焦距。

2.2 滾動(dòng)角誤差測(cè)量

滾動(dòng)角誤差測(cè)量模塊基于激光自準(zhǔn)直原理測(cè)得滾動(dòng)角誤差，所用傳感器為QPD（First Sensor，QP10-6，德國(guó)）。

如圖3 所示，激光器發(fā)出光束經(jīng)分光棱鏡BS2 后一分為二，透射光射入固定在導(dǎo)軌上的平面反射鏡，反射光束再次經(jīng)過(guò)分光棱鏡BS2，經(jīng)聚焦透鏡FL2 后入射光電探測(cè)器QPD2。若導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)時(shí)存在滾動(dòng)角誤差εx，則經(jīng)平面反射鏡反射回的光束角度會(huì)有變化，光斑在QPD2 上的位置在相對(duì)于QPD2 的中心在Z方向上發(fā)生偏移。此時(shí)通過(guò)計(jì)算光斑在QPD2 的位置變化可得到滾動(dòng)角誤差。滾動(dòng)角誤差為：

式中：Δz2為光斑在QPD2 上的位置變化值；f2為聚焦透鏡FL2 的焦距。

二維線性模組總成見(jiàn)圖4。其中，六自由度測(cè)量系統(tǒng)先安裝在單軸中，之后再將兩軸裝配在XZ平面內(nèi)。

圖4 二維線性模組總成Fig.4 Two-dimensional linear module assembly

3 二維模組誤差模型

以往對(duì)于二維線性模組的空間運(yùn)動(dòng)誤差，直接利用光柵尺測(cè)出每軸位置，進(jìn)而求解功能點(diǎn)的空間位置，但這種方法未考慮測(cè)量時(shí)各位置其他誤差對(duì)測(cè)量的影響。本文將搭建的六自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量系統(tǒng)裝在二維線性模組中，可對(duì)二維線性模組的位姿誤差進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量，并根據(jù)提出的空間誤差模型確定二維線性模組功能點(diǎn)的空間位置。相較于傳統(tǒng)方法，測(cè)量結(jié)果更加準(zhǔn)確。

在實(shí)際測(cè)量中，導(dǎo)軌存在制造誤差，導(dǎo)致二維線性模組運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的實(shí)際運(yùn)動(dòng)位姿與理想運(yùn)動(dòng)位姿存在偏差。而二維線性模組整體上可看作兩根導(dǎo)軌的組合，其幾何誤差可看成兩個(gè)單根導(dǎo)軌的誤差加上兩根導(dǎo)軌之間的垂直度誤差。故二維線性模組的幾何誤差共有13 項(xiàng)，如表1所示。

表1 二維線性模組的誤差表達(dá)式Tab.1 Error expression of two-dimensional linear module

本文基于齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣（Homogeneous Transformation Matrix，HTM）原理對(duì)二維線性模組進(jìn)行空間誤差建模。HTM 原理是基于剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中的多體理論，使用低序體陣列來(lái)描述空間位置關(guān)系的一種建模理論。其核心思路是對(duì)每個(gè)運(yùn)動(dòng)軸建立局部坐標(biāo)系，根據(jù)齊次坐標(biāo)變換，將各個(gè)坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)誤差轉(zhuǎn)換到同一個(gè)基坐標(biāo)系中進(jìn)行分析。首先，依照多體理論和低序體陣列法［21］，假設(shè)二維線性模組中的X，Z運(yùn)動(dòng)軸和Z軸滑塊為存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的低序體，并進(jìn)行編號(hào)。其中，X軸為體0，Z軸為體1，Z軸上滑塊為體2，并在各低序體內(nèi)預(yù)設(shè)一個(gè)固連坐標(biāo)系。如圖5 所示，體0 坐標(biāo)系O-XYZ（即二維線性模組的絕對(duì)坐標(biāo)系）設(shè)置在X軸電機(jī)處的絲杠上，體1坐標(biāo)系O-X1Y1Z1設(shè)置在X軸滑塊中心下方的絲杠上，體2 坐標(biāo)系O-X2Y2Z2設(shè)置在Z軸滑塊中心下方的絲杠上，P點(diǎn)為Z軸滑塊上的一個(gè)點(diǎn)。然后，通過(guò)相鄰低序體進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將P點(diǎn)在體2坐標(biāo)系內(nèi)的相對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到體0 坐標(biāo)系中，最后通過(guò)齊次坐標(biāo)矩陣運(yùn)算可得到P點(diǎn)的空間誤差。

圖5 二維線性模組及低序體坐標(biāo)系設(shè)置Fig.5 Setting of two-dimensional linear module and loworder volume coordinate system

本文基于HTM 原理推導(dǎo)了二維線性模組的空間誤差模型，因此，其幾何誤差測(cè)量點(diǎn)必須處于同一位置。將測(cè)量數(shù)據(jù)代入誤差模型前，應(yīng)先使用阿貝原則和布萊恩原則對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即將測(cè)量點(diǎn)（光柵尺讀數(shù)頭和PSD）處的誤差值轉(zhuǎn)換到X，Z軸上的功能點(diǎn)FP1 和FP2 上［22］。如圖6 所示，在每個(gè)軸上，將光柵尺讀數(shù)頭點(diǎn)定義為阿貝點(diǎn)，直線度誤差測(cè)量點(diǎn)（PSD 上的點(diǎn)）定義為布萊恩點(diǎn)。在二維線性模組空間誤差測(cè)量中，基于阿貝-布萊恩原則進(jìn)行的誤差轉(zhuǎn)換。X軸上各傳感器測(cè)得的定位誤差和直線度誤差經(jīng)阿貝-布萊恩原則處理后有：

圖6 基于阿貝-布萊恩原則的誤差轉(zhuǎn)換圖Fig.6 Error conversion diagram based on abbe-bryan principle

同理對(duì)Z軸處理后的誤差如下：

其中：δx(x)，δz(z)分別為X，Z軸光柵尺讀數(shù)頭處測(cè)量的定位誤差，δy(x)，δz(x)和δy(z)，δx(z)分別為X，Z軸PSD 處測(cè)量的直線度誤差；δx(x)，δz(z)標(biāo)記的為阿貝-布萊恩原則處理后的誤差值；Laz(x)，Lay(x)和Lbx(x)，Lby(x)，Lbz( )x分別為X軸上的阿貝偏位和布萊恩偏位，Lax( )z，Lay(z)和Lbx(z)，Lby(z)，Lbz(z) 分別為Z軸上的阿貝偏位和布萊恩偏位，這里L(fēng)bx(x)和Lbz(z)的值為0。

在計(jì)算二維線性模組空間誤差時(shí)，用理想運(yùn)動(dòng)矩陣表示導(dǎo)軌的理論運(yùn)動(dòng)值，誤差特征矩陣表示導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)時(shí)的幾何誤差，如下：

其中：T01，T02分別為體0 到體1，體1 到體2 的理想運(yùn)動(dòng)矩陣，ΔT01，ΔT02為對(duì)應(yīng)的誤差特征，xm和zm分別為滑塊在X，Z方向的運(yùn)動(dòng)距離，z0為Z方向上的初始偏移距離。

假設(shè)P點(diǎn)在體2 坐標(biāo)系O-X2Y2Z2中的齊次坐標(biāo)為P2(0，-y2，0，1)，則通過(guò)齊次坐標(biāo)矩陣運(yùn)算后P點(diǎn)在體0 坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)為：

不考慮運(yùn)動(dòng)誤差時(shí)P點(diǎn)在體0 坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)為P0(xm，-y2，z0+zm，1)，故由二維線性模組13 項(xiàng)幾何誤差引起的P點(diǎn)的空間誤差為：

4 實(shí) 驗(yàn)

4.1 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

4.1.1 直線度測(cè)量傳感器靈敏度標(biāo)定

使用電感測(cè)微儀（型號(hào)為Mahr1240，分辨率為0.01 μm）對(duì)直線度測(cè)量傳感器（PSD）進(jìn)行靈敏度標(biāo)定［23］。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在傳感器±100 μm的量程內(nèi)，直線度誤差靈敏度的標(biāo)定殘差均小于±1μm。

4.1.2 角度測(cè)量傳感器靈敏度標(biāo)定

使用光電自準(zhǔn)直儀（AutoMAT5000U 型，分辨率為0.01′）對(duì)角度測(cè)量傳感器（QPD）的靈敏度進(jìn)行標(biāo)定［23］。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在傳感器±100′′的量程內(nèi)，偏擺角和俯仰角的標(biāo)定殘差均小于±1′。

由圖2 可知，滾動(dòng)角測(cè)量模塊中的傳感器也為QPD，其靈敏度標(biāo)定方法與上述一致。

4.1.3 平面反射鏡誤差標(biāo)定

由于平面反射鏡存在制造誤差，反射鏡表面質(zhì)量不均勻，進(jìn)而會(huì)對(duì)滾動(dòng)角測(cè)量造成影響，因此，測(cè)量前需要先標(biāo)定平面反射鏡的系統(tǒng)誤差。標(biāo)定設(shè)備架設(shè)如圖7（a）所示，滑塊沿X向移動(dòng)時(shí)，在位置i處，滾動(dòng)角測(cè)量模塊與水平儀同時(shí)對(duì)滾動(dòng)角進(jìn)行測(cè)量。以水平儀測(cè)量的滾動(dòng)角εlevel(i)為基準(zhǔn)，模塊測(cè)量值ε′x(i)與水平儀測(cè)量的殘差即為位置i處平面反射鏡的系統(tǒng)誤差εerror(i)，如下：

圖7 平面反射鏡誤差標(biāo)定Fig.7 Error calibration of plane mirror system

測(cè)量數(shù)據(jù)εerror(i)為散點(diǎn)值，因此對(duì)它進(jìn)行擬合處理，得到平面反射鏡在測(cè)量范圍內(nèi)各位置的誤差。標(biāo)定結(jié)果如圖7（b）所示。

在測(cè)量出平面鏡系統(tǒng)誤差后，使用本測(cè)量模塊進(jìn)行其他導(dǎo)軌滾動(dòng)角測(cè)量時(shí)，直接測(cè)量得到數(shù)值ε′x(i)后，可通過(guò)式（12）進(jìn)行補(bǔ)償，求解出任意位置i處導(dǎo)軌的實(shí)際滾動(dòng)角誤差εx(i)。

4.2 精度比對(duì)實(shí)驗(yàn)

4.2.1 定位誤差比對(duì)

本文使用激光干涉儀（美國(guó)光動(dòng)MCV-500型，分辨率為1 nm）和光柵尺完成定位誤差的比對(duì)實(shí)驗(yàn)。然而，MCV-500 的測(cè)量光線與光柵尺讀數(shù)頭的運(yùn)動(dòng)軸線存在偏位，因此，需要通過(guò)阿貝原理將激光干涉儀的測(cè)量值轉(zhuǎn)換到光柵尺后再與光柵尺所測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)。數(shù)據(jù)處理參照式（4）和式（5）中的定位誤差公式。

按圖8（a）架設(shè)實(shí)驗(yàn)設(shè)備。實(shí)驗(yàn)時(shí)，角耦棱鏡與光柵尺讀數(shù)頭跟隨滑塊在X軸0～190 mm 內(nèi)運(yùn)動(dòng)，記錄各位置激光干涉儀與光柵尺的值。比對(duì)結(jié)果如圖8（b）所示，在0～190 mm 內(nèi)，X軸定位誤差的比對(duì)殘差為±1 μm。

圖8 X 軸定位誤差比對(duì)Fig.8 Comparison of X axial positioning error

同理，按圖9（a）架設(shè)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，可對(duì)Z軸定位誤差進(jìn)行比對(duì)，結(jié)果如圖9（b）所示，在0～190 mm內(nèi)Z軸定位誤差的比對(duì)殘差為±1.2 μm。

圖9 Z 軸定位誤差比對(duì)Fig.9 Comparison of Z axial positioning error

4.2.2 直線度誤差比對(duì)

本文使用電感測(cè)微儀搭配大理石平尺（精度等級(jí)為00，平面度誤差為3 μm）和PSD 完成直線度誤差的比對(duì)實(shí)驗(yàn)。但電感測(cè)頭的運(yùn)動(dòng)軌跡與PSD 測(cè)量光線存在偏位，因此，需要通過(guò)布萊恩原理將電感測(cè)頭的測(cè)量值轉(zhuǎn)換到PSD 處后再與PSD 所測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)。數(shù)據(jù)處理參照式（4）和式（5）中的直線度誤差公式。

按圖10 架設(shè)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，將電感測(cè)頭打在固定在光學(xué)平臺(tái)上的大理石平尺上。實(shí)驗(yàn)時(shí)，電感測(cè)頭隨水平軸滑塊在測(cè)量范圍內(nèi)移動(dòng)，記錄各位置電感測(cè)頭與PSD1 傳感器在Y，Z方向的值。比對(duì)結(jié)果如圖11 所示，在0～190 mm 內(nèi)X軸Y方向直線度比對(duì)殘差為±1.3 μm，Z方向直線度比對(duì)殘差為±1.3 μm。

圖10 X 軸直線度比對(duì)設(shè)備Fig.10 Devices for comparison of X axial straightness error

圖11 X 軸直線度比對(duì)結(jié)果Fig.11 Comparison results of X axial straightness error

同理，按圖12 固定測(cè)頭，利用大理石方尺（精度等級(jí)為0，平面度誤差為3 μm）完成Z軸直線度誤差動(dòng)態(tài)比對(duì)。比對(duì)結(jié)果如圖13 所示，在0～190 mm內(nèi)Z軸X方向直線度的比對(duì)殘差為±1 μm，Y方向直線度的比對(duì)殘差為±0.8 μm。

圖12 Z 軸直線度比對(duì)設(shè)備Fig.12 Devices for comparison of Z axial straightness error

圖13 Z 軸直線度比對(duì)結(jié)果Fig.13 Comparison results of Z axial straightness error

4.2.3 軸系姿態(tài)角度測(cè)量比對(duì)

4.2.3.1 偏擺角、俯仰角誤差比對(duì)

按圖14 所示架設(shè)實(shí)驗(yàn)設(shè)備。實(shí)驗(yàn)時(shí)，四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模塊激光端固定，感測(cè)端與靶鏡跟隨滑塊在測(cè)量范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，記錄光電自準(zhǔn)直儀與四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模塊的偏擺角與俯仰角的值。比對(duì)結(jié)果如圖15 所示，在0～190 mm 內(nèi)X軸偏擺角與俯仰角的比對(duì)殘差均為±1′。

圖14 X 軸偏擺角、俯仰角比對(duì)設(shè)備Fig.14 Device for comparison of X axial angular errors

圖15 X 軸角度誤差比對(duì)結(jié)果Fig.15 Comparison results of X axial angular errors

同理，按圖16 架設(shè)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，將靶鏡換裝在Z軸滑塊上，借助Z軸四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量系統(tǒng)完成偏擺角、俯仰角的誤差比對(duì)。比對(duì)結(jié)果如圖17 所示，在0～190 mm 內(nèi)Z軸偏擺角與俯仰角的比對(duì)殘差均為±1.5′。

圖16 Z 軸角度比對(duì)設(shè)備架設(shè)Fig.16 Device for comparison of Z axial angular errors

圖17 Z 軸角度誤差比對(duì)結(jié)果Fig.17 Comparison results of Z axial angular errors

4.2.3.2 滾動(dòng)角誤差比對(duì)

按圖18（a）架設(shè)實(shí)驗(yàn)設(shè)備。實(shí)驗(yàn)時(shí)，平面反射鏡固定在導(dǎo)軌側(cè)面，滾動(dòng)角測(cè)量模塊與水平儀（青島前哨WLL11 型，分辨率為0.2′′）跟隨滑塊在測(cè)量范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，記錄各位置水平儀示數(shù)與滾動(dòng)角測(cè)量模塊所測(cè)示數(shù)。比對(duì)結(jié)果如圖18（b）所示，在0～190 mm 內(nèi)X軸滾動(dòng)角的比對(duì)殘差在±1′以?xún)?nèi)。

圖18 X 軸滾動(dòng)角比對(duì)Fig.18 Comparison of X axial roll error

按圖19（a）架設(shè)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，電感測(cè)頭A，B 打在大理石方尺同一表面，記錄各位置電感測(cè)頭示數(shù)的差值與滾動(dòng)角測(cè)量模塊的示數(shù)進(jìn)行比對(duì)。比對(duì)結(jié)果如圖19（b）所示，在0～190 mm 內(nèi)Z軸滾動(dòng)角的比對(duì)殘差在±1′′以?xún)?nèi)。

5 空間誤差測(cè)量比對(duì)實(shí)驗(yàn)

由式（6）可知，二維線性模組空間誤差模型求解中需要垂直度誤差，因此需要進(jìn)行垂直度測(cè)量［24］。經(jīng)5 次測(cè)量，二維線性模組的垂直度誤差為-42.4′′，標(biāo)準(zhǔn)差為0.45′；大理石方尺的垂直度誤差為8.18′′，標(biāo)準(zhǔn)差為0.18′′。

為實(shí)現(xiàn)二維線性模組的誤差實(shí)時(shí)測(cè)量，本文對(duì)圖20 所示的工作平面（XZ平面，190 mm×190 mm 正方形）的對(duì)角線位置進(jìn)行測(cè)量，并與激光干涉儀（MCV-500）所測(cè)位置值進(jìn)行比對(duì)。在該對(duì)角線上選取19 個(gè)等間距點(diǎn)（P1～P19）進(jìn)行比對(duì)。

按圖21 架設(shè)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，實(shí)驗(yàn)時(shí)，X軸與Z軸均從起始位置間隔10 mm 沿正方向運(yùn)動(dòng)，記錄激光干涉儀的數(shù)值。記公式（10）求出的空間誤差E的坐標(biāo)為(xe，ye，ze)，根據(jù)式（13）將測(cè)量系統(tǒng)測(cè)出數(shù)據(jù)代入誤差模型后求解的對(duì)角線值與MCV-500 測(cè)出的對(duì)角線值進(jìn)行比較，即：

式中：EBD和EAD分別為使用誤差模型前后計(jì)算出的XZ平面對(duì)角線位置的測(cè)量誤差，PMCV為MCV500 測(cè)出的XZ平面對(duì)角線位置的測(cè)量誤差。測(cè)量結(jié)果如圖22 所示，使用二維線性模組空間誤差模型求解前后，XZ平面對(duì)角線位置的測(cè)量誤差值由68 μm 降至13 μm，說(shuō)明該系統(tǒng)能夠有效地測(cè)量線性模組誤差。

圖22 XZ 平面對(duì)角線位置測(cè)量誤差比對(duì)Fig.22 Comparison of diagonal position measurement error of XZ plane

上述實(shí)驗(yàn)均在空載狀態(tài)下進(jìn)行。由于在加載狀態(tài)下二維線性模組各位置的運(yùn)動(dòng)誤差會(huì)發(fā)生變化，為驗(yàn)證測(cè)量系統(tǒng)能夠?qū)崟r(shí)測(cè)量線性模組的空間誤差變化，在Z軸滑塊上加裝質(zhì)量為2 kg 的標(biāo)準(zhǔn)砝碼作為對(duì)照組實(shí)驗(yàn)。加載實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果如圖22 所示，使用二維線性模組空間誤差模型求解前后，XZ平面對(duì)角線位置的測(cè)量誤差由56 μm 降至14 μm，該誤差測(cè)量系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)測(cè)量。

6 結(jié) 論

為測(cè)量二維線性模組的運(yùn)動(dòng)誤差，本文搭建了由光柵尺、四自由度運(yùn)動(dòng)誤差測(cè)量模塊和滾動(dòng)角誤差測(cè)量模塊組成的誤差實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)，基于HTM 原理構(gòu)建二維模組空間誤差模型，完成測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定和比對(duì)實(shí)驗(yàn)。最終，誤差實(shí)時(shí)測(cè)量系統(tǒng)的定位誤差、直線度誤差和角度誤差分別達(dá)到±1.2 μm，±1.3 μm 和±1″。根據(jù)所提出的空間誤差模型分析二維線性模組XZ平面對(duì)角線位置的測(cè)量誤差。結(jié)果表明，使用二維線性模組空間誤差模型求解前后，XZ平面對(duì)角線位置的測(cè)量誤差由68 μm 降至13 μm。此外，在加載狀態(tài)下進(jìn)行線性模組的空間誤差測(cè)量，在Z軸滑塊上加裝質(zhì)量為2 kg 的標(biāo)準(zhǔn)砝碼進(jìn)行對(duì)照實(shí)驗(yàn)。結(jié)果顯示，在使用二維線性模組空間誤差模型求解前后，XZ平面對(duì)角線位置的測(cè)量誤差由56 μm 降至14 μm。由此表明，該系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)線性模組誤差的實(shí)時(shí)測(cè)量。