對一道高考題的分析與拓展

洪秀成

1.試題呈現(xiàn)

（2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

本題主要考察了函數(shù)的單調(diào)性和極值、等差數(shù)列、函數(shù)的零點存在定理、函數(shù)的同構(gòu)等知識；考察了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想；考察了推理論證、運算求解、抽象概括等關(guān)鍵能力；考察了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).本題在知識層面、能力立意、創(chuàng)新要求等方面都有所體現(xiàn)，能很好的發(fā)揮數(shù)學(xué)試卷在高考中的選拔功能.