基于假設(shè)檢驗的區(qū)間估計必要樣本容量確定

王軍虎

（洛陽理工學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，河南 洛陽 471023）

0 引言

區(qū)間估計和假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的基本內(nèi)容。用隨機樣本推斷總體數(shù)量特征的準(zhǔn)確程度一般用抽樣誤差來表征，抽樣誤差由登記誤差和隨機誤差組成。登記誤差是調(diào)查或?qū)嶒灩ぷ鞯恼`差，理論上是可以消除的，在推斷統(tǒng)計中一般只研究隨機誤差。隨機誤差無法消除，但可以通過抽樣設(shè)計進(jìn)行控制，其核心是確定必要樣本容量。對于單一推斷目標(biāo)的參數(shù)閉區(qū)間估計的必要樣本容量確定方法已經(jīng)很成熟，林才生和曾五一（2005）[1]、賀建風(fēng)和劉建平（2008）[2]研究了多推斷目標(biāo)參數(shù)估計的必要樣本容量確定方法，但研究者很少涉及開區(qū)間估計的樣本容量，也沒有考慮到納偽錯誤的概率。郭文（2012）[3]研究了方差假設(shè)檢驗的樣本容量，耿修林（2008）[4]研究了方差分析的必要樣本容量，但都沒有涉及參數(shù)估計問題。鄭慶玉（2001）[5]單獨研究了總體均值閉區(qū)間估計與雙側(cè)假設(shè)檢驗時必要樣本容量的確定方法，但沒有建立二者之間的聯(lián)系。魏杰（2004）[6]對總體均值閉區(qū)間估計時的必要樣本容量與總體均值左側(cè)假設(shè)檢驗時的必要樣本容量進(jìn)行了簡單比較，但未能說明二者之間的本質(zhì)聯(lián)系。本文基于抽樣推斷的基本原理，探索總體參數(shù)區(qū)間估計與假設(shè)檢驗時必要樣本容量的確定方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，把兩類錯誤納入閉區(qū)間估計和開區(qū)間估計的必要樣本容量確定之中，以實現(xiàn)對總體參數(shù)的科學(xué)推斷。

1 假設(shè)檢驗必要樣本容量的確定

假設(shè)檢驗是利用小概率原理，通過隨機樣本信息推斷事先做出的關(guān)于總體某一數(shù)量特征的論斷是否成立的統(tǒng)計研究方法。假設(shè)檢驗結(jié)論的有效性與事先設(shè)定的小概率α有關(guān)，但并不是越小越好，而是需要同時控制存在著此消彼長關(guān)系的兩種錯誤發(fā)生的概率，即棄真錯誤發(fā)生的概率α和納偽錯誤發(fā)生的概率β。通過調(diào)節(jié)樣本容量可以達(dá)到有效控制兩類錯誤的目的。

1.1 雙側(cè)檢驗的必要樣本容量

總體均值的雙側(cè)檢驗的原假設(shè)是“H0：μ=μ0”，備擇假設(shè)是“H1：μ＜μ0或μ＞μ0”。

當(dāng)原假設(shè)H0非真而備擇假設(shè)“H1：μ=μ1（μ1＞μ0）”為真時，檢驗中納偽錯誤發(fā)生的概率，即：

圖1 雙側(cè)檢驗中的兩類錯誤圖

如圖1（b）所示，當(dāng)原假設(shè)“H0：μ=μ0”為真而備擇假設(shè)“H1：μ=μ1（μ1＜μ0）”非真時，檢驗中棄真錯誤發(fā)生的概率，即公式（1）。

當(dāng)原假設(shè)H0非真而備擇假設(shè)“H1：μ=μ1（μ1＜μ0）”為真時，檢驗中納偽錯誤發(fā)生的概率即：

兩類錯誤發(fā)生的概率α和β此消彼長。在平衡點B，由公式（1）和公式（5）可以得到：

1.2 單側(cè)檢驗的必要樣本容量

假設(shè)x1，x2，…，xn是來自總體X的一個簡單隨機樣本，X～N(μ，σ2)，σ2已知，

1.2.1 左側(cè)檢驗

總體均值左側(cè)檢驗的原假設(shè)是“H0：μ≥μ0”，備擇假設(shè)是“H1：μ＜μ0”。

如圖2（a）所示，當(dāng)原假設(shè)“H0：μ=μ0”為真而備擇假設(shè)“H1：μ＜μ0”非真時，檢驗中棄真錯誤發(fā)生的概率為真)，即：

圖2 單側(cè)檢驗中的兩類錯誤圖

當(dāng)原假設(shè)H0非真而備擇假設(shè)“H1：μ=μ1（μ1＜μ0）”為真時，檢驗中納偽錯誤發(fā)生的概率即公式（5）。在兩類錯誤的平衡點C，由公式（5）和公式（8）可以得到：

1.2.2 右側(cè)檢驗

總體均值右側(cè)檢驗的原假設(shè)是“H0：μ≤μ0”，備擇假設(shè)是“H1：μ＞μ0”。

如圖2（b）所示，當(dāng)原假設(shè)“H0：μ≤μ0”為真而備擇假設(shè)“H1：μ＞μ0”非真時，檢驗中棄真錯誤發(fā)生的概率為真)，即：

在簡單隨機重復(fù)抽樣和簡單隨機不重復(fù)抽樣下，分別可以推導(dǎo)出與左側(cè)檢驗相同的兼顧控制兩類錯誤發(fā)生的概率α和β的樣本容量確定公式（10）和公式（11）。

2 區(qū)間估計必要樣本容量的確定

參數(shù)的區(qū)間估計是在給定的置信度1-α下，利用隨機樣本信息對總體參數(shù)真值的取值范圍做出的統(tǒng)計推斷。評價總體均值μ的區(qū)間估計的精度時常用絕對誤差來衡量，它是樣本均值與總體均值真值的誤差。由于總體均值的真值μ是無法得到的，因此估計的絕對誤差也無法計算，但在區(qū)間估計時需要控制這個絕對誤差的取值范圍，使它不超過一個極限值Δ，Δ 稱為區(qū)間估計的極限誤差。在區(qū)間估計中，置信度1-α和極限誤差Δ 呈正向關(guān)系。當(dāng)置信度1-α增大時，區(qū)間估計錯誤的概率α?xí)p小，但極限誤差Δ 會增大，估計的精度降低；反之，當(dāng)提高估計精度時，極限誤差Δ 變小，但置信度1-α?xí)档?，區(qū)間估計錯誤的概率α將增大。通過調(diào)節(jié)樣本容量可以有效調(diào)和區(qū)間估計錯誤的概率α和極限誤差Δ 之間存在的矛盾。

2.1 閉區(qū)間估計

總體參數(shù)的閉區(qū)間估計是指在估計總體參數(shù)真值θ時，所估計的1-α置信區(qū)間是一個既有上限值又有下限值的閉區(qū)間，即為θ的點估計值，Δ ≥0 為估計的極限誤差。

2.2 開區(qū)間估計

總體參數(shù)的開區(qū)間估計是指在估計總體參數(shù)真值θ時，所估計的1-α置信區(qū)間是一個只有上限值或只有下限值的開區(qū)間。其中，只有下限值的開區(qū)間估計稱為最小值開區(qū)間估計，即只有上限值的開區(qū)間估計稱為最大值開區(qū)間估計，即

假設(shè)x1，x2，…，xn是來自總體X的一個簡單隨機樣本，X～N(μ，σ2)，σ2已知，

2.2.1 最小值開區(qū)間估計

參照圖2（b），在給定的置信度1-α下，有：

2.2.2 最大值開區(qū)間估計

參照圖2（a），在給定的置信度1-α下，有：

3 假設(shè)檢驗與區(qū)間估計兩種樣本容量確定方法的比較

通過比較總體均值雙側(cè)檢驗的必要樣本容量計算公式（4）、公式（7）和總體均值閉區(qū)間的必要樣本容量計算公式（14）、公式（15），以及總體均值單側(cè)檢驗的必要樣本容量計算公式（10）、公式（11）和總體均值開區(qū)間的必要樣本容量計算公式（17）、公式（18），可以得到如下結(jié)論：

（1）對于單側(cè)檢驗而言，無論是左側(cè)檢驗還是右側(cè)檢驗，確定樣本容量都采用同一個計算公式；在進(jìn)行開區(qū)間估計時，無論是最小值開區(qū)間估計還是最大值開區(qū)間估計，確定樣本容量也都采用同一個計算公式。單側(cè)檢驗和雙側(cè)檢驗、閉區(qū)間估計和開區(qū)間估計，計算必要樣本容量的公式不相同但非常相似。在研究總體均值時，只有一點不同：單側(cè)檢驗或開區(qū)間估計計算必要樣本容量公式中的zα在雙側(cè)檢驗或閉區(qū)間估計中變成了

（2）假設(shè)檢驗和區(qū)間估計的必要樣本容量大小與抽樣的方式和方法有關(guān)，不同的抽樣方式和方法下計算必要樣本容量的公式是不同的。就簡單隨機抽樣方式而言，采用不重復(fù)抽樣方法的必要樣本容量小于重復(fù)抽樣方法的必要樣本容量。一般而言，分層抽樣、系統(tǒng)抽樣等其他抽樣方式有效地利用了已有的總體信息，降低了隨機抽樣的盲目性，使樣本的代表性增加，可以減小假設(shè)檢驗和區(qū)間估計的必要樣本容量。

（3）假設(shè)檢驗和區(qū)間估計的必要樣本容量與總體方差成正比?？傮w方差越大，總體中的個體變異程度越大，需要抽取更大容量的樣本，以保證假設(shè)檢驗中兩類錯誤的概率都得到有效控制或保證區(qū)間估計在一定的置信度下的估計精度。反之，總體方差越小，總體中的個體變異程度越低，只需要抽取較小容量的樣本就能滿足假設(shè)檢驗或區(qū)間估計的設(shè)計需要。

（4）在計算假設(shè)檢驗的必要樣本容量時，需要確定參數(shù)真值與其假設(shè)值之間的偏差，如|μ1-μ0|。在計算區(qū)間估計的必要樣本容量時，需要確定參數(shù)真值與樣本估計值之間允許的最大偏差，如在實踐中，|μ1-μ0|和都是未知的，在確定必要樣本容量時，可以通過分析增大或減小偏差帶來的成本和收益之間的平衡關(guān)系來確定這兩個離差的最大允許值。兩個最大允許偏差值均可以用Δ 來表示。

4 兩類錯誤下的區(qū)間估計必要樣本容量的確定

作為統(tǒng)計推斷的兩個基本研究內(nèi)容，參數(shù)的假設(shè)檢驗和區(qū)間估計都是依據(jù)一個隨機樣本提供的統(tǒng)計信息和統(tǒng)計量的概率分布原理，在一定的概率保證下，對總體的數(shù)量特征進(jìn)行科學(xué)推斷。因此，可以用區(qū)間估計方法進(jìn)行假設(shè)檢驗，即在假設(shè)檢驗中用區(qū)間估計準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗決策：構(gòu)造備擇假設(shè)H1的1-α置信區(qū)間，如果備擇假設(shè)H1的區(qū)間完全包含了這個1-α置信區(qū)間，那么就拒絕原假設(shè)；否則，就接受原假設(shè)[7]。用區(qū)間估計準(zhǔn)則進(jìn)行假設(shè)檢驗有助于從假設(shè)檢驗的視角認(rèn)識區(qū)間估計問題。

可以把區(qū)間估計看作一個假設(shè)檢驗問題。對于單個總體均值的閉區(qū)間估計，可以用下列假設(shè)檢驗來表示：

顯然，當(dāng)β=0.5，即zβ=0 時，這樣的假設(shè)檢驗的必要樣本容量與區(qū)間估計的必要樣本容量相等。由此可見，參數(shù)區(qū)間估計的實質(zhì)是一個忽視納偽錯誤的假設(shè)檢驗，它所檢驗的假設(shè)值就是樣本估計值。忽視納偽錯誤意味著當(dāng)總體參數(shù)的真值沒有落入所估計的1-α置信區(qū)間時，接受這個置信區(qū)間和拒絕這個置信區(qū)間具有相同的概率，區(qū)間估計方法本身并不能為人們避免接受錯誤的置信區(qū)間提供有用的信息，只能由決策人自己來做出判斷。

如果期望區(qū)間估計和假設(shè)檢驗一樣，能為人們避免接受錯誤的置信區(qū)間提供幫助，那么就不能忽視納偽錯誤，必須把納偽錯誤發(fā)生的概率β和棄真錯誤發(fā)生的概率α同時納入必要樣本容量的確定之中，使兩類錯誤在區(qū)間估計中都得到有效控制。

5 兩類錯誤下區(qū)間估計的效果模擬

在同時考慮兩類錯誤的條件下進(jìn)行區(qū)間估計時，納偽錯誤發(fā)生的概率β應(yīng)控制在0.5以下，zβ＞0。此時，進(jìn)行區(qū)間估計的必要樣本容量n′大于僅考慮去真錯誤時進(jìn)行區(qū)間估計的必要樣本容量n。由于必要樣本容量增大，因此當(dāng)其他條件不變時，置信區(qū)間的寬度變窄，估計的精度提高。下面以簡單重復(fù)抽樣為例，模擬驗證在同時考慮兩類錯誤的條件下區(qū)間估計必要樣本容量的變化及估計精度的變化。

假設(shè)總體服從正態(tài)分布，且方差σ2已知，采用重復(fù)抽樣方法從總體中抽取一個簡單隨機樣本。在相同的置信度1-α和相同的極限誤差Δ 要求下，控制納偽錯誤的概率β與不控制納偽錯誤的概率β時，進(jìn)行區(qū)間估計的必要樣本容量變化率δn的計算公式分別如下：

抽取的必要樣本容量變化后，引起的置信區(qū)間寬度變化率δΔ的計算公式分別如下：

當(dāng)分別取常用的置信度0.90、0.95和0.99時，表1模擬了把納偽錯誤的概率β控制在不同水平下的閉區(qū)間估計和開區(qū)間估計必要樣本容量的變化率δn和置信區(qū)間寬度的變化率δΔ的變動規(guī)律。δn為正值表明控制納偽錯誤的概率β之后，必須增加必要樣本容量，才能在區(qū)間估計中滿足同時控制兩類錯誤和極限誤差的要求；δΔ為負(fù)值表明控制納偽錯誤的概率β之后，由于必要樣本容量增加，因此區(qū)間估計寬度變窄，估計的精度提高。

表1 控制兩類錯誤下置信區(qū)間寬度變化率和必要樣本容量變化率（單位：%）

表1的模擬結(jié)果顯示，與不考慮納偽錯誤的區(qū)間估計相比，將納偽錯誤的概率β控制得越低，必要樣本容量增加得越多，估計結(jié)果的精度也越高。在相同的兩類錯誤控制要求下，開區(qū)間估計的必要樣本容量增加率和估計精度增加率高于閉區(qū)間估計。當(dāng)β取0.20時，必要樣本容量約增加1 倍，區(qū)間估計的精度約增加30%。當(dāng)β取0.05 時，必要樣本容量約增加1.6至4.2倍，區(qū)間估計的精度約增加41%至50%。當(dāng)β取值減小時，由于必要樣本容量增加導(dǎo)致的抽樣成本增加的程度可能會大于估計精度增加的程度，因此β的取值不宜太小。

6 結(jié)論

本文通過對總體均值單側(cè)檢驗和雙側(cè)檢驗確定必要樣本容量的方法和總體均值開區(qū)間估計和閉區(qū)間估計確定必要樣本容量的方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)二者所依據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計原理相同，主要區(qū)別在于二者采用不同的統(tǒng)計方法來推斷總體的數(shù)量特征。區(qū)間估計所提供的方法可以用于進(jìn)行假設(shè)檢驗。同理，區(qū)間估計也可以看作一種特殊的假設(shè)檢驗，即樣本統(tǒng)計量計算值是否與總體參數(shù)的真值在統(tǒng)計上顯著相同。在區(qū)間估計中，一般忽略了決策者使用置信區(qū)間時可能犯下的納偽錯誤的概率為50%。如果決策者希望降低犯納偽錯誤的概率，那么就需要在抽樣實驗設(shè)計或抽樣調(diào)查設(shè)計中借助相應(yīng)的假設(shè)檢驗方法來確定必要的樣本容量。當(dāng)其他條件不變時，在估計置信區(qū)間時若要同時控制棄真錯誤和納偽錯誤的概率，則可以通過增加樣本容量的方法來實現(xiàn)，進(jìn)而提高置信區(qū)間的精度。