立體幾何中的運(yùn)動問題

■江蘇省灌南高級中學(xué) 王 宇

立體幾何中的運(yùn)動問題,以空間幾何體為場景依托,滲透入點(diǎn)、直線、平面、空間角、空間距離等的運(yùn)動變化情況,“動”與“靜”結(jié)合,內(nèi)涵深遠(yuǎn)豐富,融合三維空間的想象能力,交匯邏輯推理能力等,問題綜合性強(qiáng),靈活度高,創(chuàng)新新穎,可以在很大程度上優(yōu)化并改善同學(xué)們的思維定式,優(yōu)化數(shù)學(xué)品質(zhì),越來越受到新高考數(shù)學(xué)命題者的青睞,希望能引起同學(xué)們的重視。

一、動點(diǎn)軌跡問題

立體幾何中的動點(diǎn)軌跡問題,立足于立體幾何與解析幾何知識的交匯,依托立體幾何的結(jié)構(gòu)特征,結(jié)合動點(diǎn)所滿足的條件在空間中確定其相應(yīng)的變化與軌跡情況,實(shí)現(xiàn)空間圖形與平面圖形之間的合理轉(zhuǎn)化。

例1如圖1,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)P為正方形A1B1C1D1內(nèi)的動點(diǎn),滿足直線BP與下底面ABCD所成角為60°的點(diǎn)P的軌跡長度為____。

圖1

分析：根據(jù)題設(shè)條件,從幾何視角切入,結(jié)合立體幾何中的性質(zhì),在合理轉(zhuǎn)化直線與平面所成角的基礎(chǔ)上,轉(zhuǎn)化為對應(yīng)平面角問題,進(jìn)而在相應(yīng)平面內(nèi)確定動點(diǎn)的軌跡問題。解決問題時,聯(lián)系平面幾何與立體幾何,結(jié)合邏輯推理與空間想象得以確定對應(yīng)的動點(diǎn)軌跡,成為問題解決中最重要的一個環(huán)節(jié),再結(jié)合動點(diǎn)軌跡的圖形特征來進(jìn)一步分析與求解。

解：根據(jù)題意,直線BP與下底面ABCD所成角等于直線BP與上底面A1B1C1D1所成角,連接B1P,因?yàn)锽B1⊥ 平面A1B1C1D1,PB1?A1B1C1D1,所以BB1⊥PB1,故∠BPB1為直線BP與上底面A1B1C1D1所成角,則有∠BPB1=60°。而BB1=1,所以,故點(diǎn)P的軌跡是以B1為圓心,為半徑,位于平面A1B1C1D1內(nèi)的圓的,故所求軌跡長度為l。

點(diǎn)評:在解決涉及此類動點(diǎn)軌跡的綜合應(yīng)用問題中,確定立體幾何中對應(yīng)動點(diǎn)的軌跡是破解問題的關(guān)鍵。靈活掌握立體幾何的結(jié)構(gòu)特征與基本知識是確定動點(diǎn)軌跡的前提條件,同時還要結(jié)合問題場景,滲透空間想象能力與邏輯推理能力等。

二、展開還原問題

立體幾何中的展開還原問題,由立體幾何的直觀圖形入手加以合理展開,結(jié)合展開后的平面圖形的結(jié)構(gòu)特征,還原立體幾何中的點(diǎn)、直線、平面、角度及距離等的關(guān)系,進(jìn)行三維與二維空間之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系。

例2足球起源于中國東周時期的齊國,當(dāng)時把足球稱為“蹴鞠”。漢代蹴鞠是訓(xùn)練士兵的手段,制定了較為完備的體制。如專門設(shè)置了球場,規(guī)定為東西方向的長方形,兩端各設(shè)六個對稱的“鞠域”,也稱“鞠室”,各由一人把守。比賽分為兩隊,互有攻守,以踢進(jìn)對方鞠室的次數(shù)決定勝負(fù)。1970 年以前的世界杯用球多數(shù)由舉辦國自己設(shè)計,所以每一次球的外觀都不同,拼塊的數(shù)目如同擲骰子一樣沒準(zhǔn)。自1970年起,世界杯官方用球選擇了三十二面體形狀的足球,沿用至今。如圖2,三十二面體足球的面由邊長相等的12塊正五邊形和20塊正六邊形拼接而成,形成一個近似的球體。現(xiàn)用邊長為4.5 cm 的上述正五邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球,大圓圓周的展開圖可近似看成是由4 個正六邊形、4 個正五邊形及2條正六邊形的邊所構(gòu)成的圖形的對稱軸截圖形所得的線段AA',如圖3,則該足球的體積約為( )。

圖2

圖3

A.5 794.61 cm3B.2 847.66 cm3

C.1 518.75 cm3D.1 488.85 cm3

分析：根據(jù)題設(shè)條件,由立體圖形入手,通過展開的平面圖形的形狀與特征,合理確定對應(yīng)邊與角的大小,利用余弦定理和周長公式等來確定球的半徑,進(jìn)而利用球的體積公式來分析與求解。

解：如圖4所示,在正五邊形中,內(nèi)角為108°,邊長為4.5,利用余弦定理可得AC2=4.52+4.52-2×4.5×4.5×cos 108°≈53.02,所以AB2=AC2-BC2≈48,解得。在正六邊形中,內(nèi)角為120°,邊長為4.5,所以大圓的周長為67.89。設(shè)球的半徑為R,則2πR=67.89,解得,所以該球的體積。故選A。

圖4

點(diǎn)評:抓住立體幾何與平面幾何這兩個不同知識點(diǎn)間的聯(lián)系,借助空間幾何體的合理展開及平面幾何圖形的確定,結(jié)合平面圖形的結(jié)構(gòu)特征,從而合理構(gòu)建平面幾何中對應(yīng)的邊長、角度等元素數(shù)據(jù),合理還原空間幾何體的結(jié)構(gòu)形狀,構(gòu)建兩者之間的聯(lián)系與對應(yīng)關(guān)系,借助數(shù)形結(jié)合思想,進(jìn)行必要的空間想象與邏輯推理等。

三、翻折變化問題

立體幾何中的翻折變化問題,主要是依托平面圖形或空間圖形中的某個面等沿著某一確定的直線(或線段)翻折,形成相應(yīng)的立體幾何圖形,進(jìn)而研究立體幾何圖形在翻折過程中對應(yīng)點(diǎn)、線、面、角等關(guān)系的變化規(guī)律,進(jìn)行合理的探究與創(chuàng)新應(yīng)用。

例3如圖5,已知矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)E,AB=x,BC=1,將△ABD沿BD翻折,若在翻折過程中存在某個位置,使得AB⊥CE,則正實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____。

分析：根據(jù)題設(shè)條件,從整體思維視角切入,利用△ABD在沿著BD翻折的過程中,對應(yīng)點(diǎn)在底面上的射影軌跡的分析與確定,進(jìn)而利用立體幾何中的三垂線定理、直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)關(guān)系來構(gòu)建不等式與關(guān)系式,進(jìn)而得以確定相應(yīng)變量的取值范圍問題。

解：依題意,在將△ABD沿BD翻折的過程中,記點(diǎn)A在底面BCD上的射影軌跡為AA0,連接BA0,如圖6。根據(jù)三垂線定理,若AB⊥CE,則AB在底面BCD上的射影A1B⊥CE(其中點(diǎn)A1在線段AA0上)。記∠EBA1=α,∠BAE=∠ABE=∠EBA0=β,則α≤β。結(jié)合A1B⊥CE,可得,則知α+2β,解得0＜x≤3,所以x的取值范圍為。故填。

圖6

點(diǎn)評:利用平面圖形翻折變化的關(guān)系與規(guī)律,借助整體思維視角切入,從立體幾何中“形”的變化視角,基于射影的基本性質(zhì)與平面圖形翻折過程中的變化規(guī)律,合理空間想象與數(shù)形結(jié)合,利用直觀形象加以分析與處理。

四、圖形組合問題

立體幾何中的圖形組合問題,結(jié)合不同空間圖形的堆積、疊加等運(yùn)動變化,構(gòu)建相關(guān)立體圖形的組合特征,并明確各相關(guān)簡單立體圖形之間的位置關(guān)系,構(gòu)建邊長、角度等元素之間的聯(lián)系,為合理的空間想象與邏輯推理奠定基礎(chǔ)。

例4在日常生活中,石子是我們經(jīng)常見到的材料,我們常常會在建筑工地或者建材市場上看到堆積如山的石子,某種石子的主要成分是碳酸鈣,也叫石灰石。某雕刻師計劃在底面邊長為2 m,高為4 m 的正四棱柱形的石料ABCD-A1B1C1D1中,雕出一個四棱錐O-ABCD和球M的組合體,如圖7,其中O為正四棱柱的中心,當(dāng)球的半徑r最大時,該雕刻師需去除的石料約重____kg。(其中π≈3.14,石料的密度ρ=2.4 g/cm3,質(zhì)量m=ρV)

圖7

分析：根據(jù)題設(shè)條件,利用正四棱柱、四棱錐與球之間的組合圖形特征與關(guān)系,有效確定各空間幾何圖形中相應(yīng)的邊長等元素的數(shù)值,進(jìn)而利用空間幾何體的體積公式,并結(jié)合石料的質(zhì)量公式加以數(shù)學(xué)運(yùn)算。

解：依題意,正四棱柱的體積V1=22×4=16(m3)。四棱錐O-ABCD的底面為正方形,高h(yuǎn)=2,其體積。球M的半徑r最大為1,此時其體積)。故該雕刻師需去除的石料的體積。又ρ=2.4 g/cm3=2 400 kg/m3,則該雕刻師需去除的石料約重。故填21 952。

點(diǎn)評:在處理立體幾何中的圖形組合問題,通過運(yùn)動變化的情況確定圖形之間的關(guān)系,是解決問題的前提,也為進(jìn)一步深入邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算提供條件。有時還要結(jié)合實(shí)際問題,通過空間想象,對不同的立體幾何的圖形組合加以分類討論。

立體幾何中的運(yùn)動問題,以創(chuàng)新面孔展示在同學(xué)們面前,使得靜態(tài)數(shù)學(xué)動態(tài)化,讓平面圖形“立”起來,以立體幾何中的重要知識為骨干,合理滲透其他相關(guān)的數(shù)學(xué)知識,融入對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等。此類問題的創(chuàng)設(shè)更加創(chuàng)新新穎,可以合理調(diào)動立體幾何問題中“動”與“靜”的聯(lián)系與變化,實(shí)現(xiàn)平面幾何、立體幾何、函數(shù)、方程等不同知識體系間的交匯融合,在此基礎(chǔ)上提升數(shù)學(xué)解題能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力,從而合理拓展數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,發(fā)散數(shù)學(xué)思維,提升數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)核心素養(yǎng)。