一類非線性需求下漁業(yè)經(jīng)濟(jì)模型的動(dòng)力學(xué)分析

周 歡

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

資源的可持續(xù)利用是國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重要課題.當(dāng)多個(gè)競(jìng)爭(zhēng)個(gè)體共同利用公共資源時(shí),謀利行為便是一個(gè)典型的博弈問題[1].對(duì)漁業(yè)經(jīng)濟(jì)的研究,通常用動(dòng)態(tài)模型來描述資源數(shù)量的變化,進(jìn)而獲得最優(yōu)的捕撈決策,制定一些措施來防止過度捕撈.Munro[2]與Levhari 等[3]是最早將漁業(yè)經(jīng)濟(jì)與博弈論結(jié)合起來的學(xué)者,其中Munro把漁業(yè)資源的動(dòng)態(tài)模型與由 Nash 提出的兩個(gè)個(gè)體合作理論結(jié)合在了一起; Levhari 和Mirman 主要研究了在離散區(qū)域內(nèi),兩個(gè)體共同捕撈漁業(yè)資源的情形;Bischi[4]考慮了一個(gè)基于古諾寡頭壟斷博弈的多主體漁業(yè)經(jīng)濟(jì)模型,研究了非負(fù)平衡及其表示;顧恩國(guó)等[5]研究了具有不對(duì)稱對(duì)手信息的兩寡頭博弈公共漁業(yè)資源的動(dòng)力學(xué)模型.大多數(shù)模型中價(jià)格被看作是一個(gè)定值,但實(shí)際上價(jià)格取決于一些變量,如資源密度或捕撈努力量.Mansal[6]使用了關(guān)于價(jià)格的線性遞減需求函數(shù),獲得穩(wěn)定的無魚平衡的情況,即漁業(yè)(捕撈努力量)在下降,而魚類豐度趨于其承載能力.但是對(duì)于非線性需求函數(shù),魚類生物密度可以趨于零,而捕撈努力量仍然保持正的.Sidy Ly等[7]應(yīng)用了一個(gè)價(jià)格的雙曲線函數(shù),考慮了資源的演變、不同地點(diǎn)之間的魚類和船只流動(dòng)、捕撈努力量和價(jià)格隨供求關(guān)系而變化.事實(shí)上,在線性需求函數(shù)的情況下,存在一個(gè)最高價(jià)格,超過該價(jià)格,需求變?yōu)樨?fù)(即等于零).相反,在雙曲需求函數(shù)的情況下,即使價(jià)格非常高,需求仍然是正的.Brochier等[8]考慮可變價(jià)格的雙曲需求函數(shù),得出捕撈努力的流動(dòng)性加上可變的魚類價(jià)格導(dǎo)致了從當(dāng)?shù)剡^度開發(fā)到次區(qū)域可持續(xù)開發(fā)的轉(zhuǎn)變.

在動(dòng)態(tài)模型中研究非線性動(dòng)力學(xué)行為是十分必要的.史曉琳[9]利用相圖和時(shí)間序列圖研究了幾類關(guān)于捕撈函數(shù)的漁業(yè)經(jīng)濟(jì)模型.劉唯一[10]研究了幾類生物模型中的不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性與分岔.Li Hui等[11]研究了經(jīng)濟(jì)動(dòng)力系統(tǒng)有兩條不同的混沌路徑,一條是通過flip分叉,另一條是通過Neimark-Sacker分叉.此外,吸引子和可行域也是許多學(xué)者感興趣的問題.Bischi[12]研究了雙寡頭博弈中的多重穩(wěn)定性和極限環(huán).燕嘉敏[13]利用最大Lyapunov指數(shù)圖,吸引子共存研究了異質(zhì)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)動(dòng)力學(xué)模型.朱彥蘭等[14]研究了系統(tǒng)中的吸引子的結(jié)構(gòu)和數(shù)目隨參數(shù)的變化.張亞鵬等[15]研究了吸引子共存時(shí)可行吸引域的演化.

因此,針對(duì)傳統(tǒng)漁業(yè)經(jīng)濟(jì)模型中線性需求函數(shù)無法代表實(shí)際中較為多變情形的問題,本文考慮了突破市場(chǎng)最高價(jià)格后,仍存在需求的實(shí)際情形,建立了一個(gè)非線性需求函數(shù)下漁業(yè)資源存儲(chǔ)量與捕撈量之間相互作用的多主體漁業(yè)經(jīng)濟(jì)模型,其中多個(gè)主體是完全不合作的且通過數(shù)值模擬與非線性動(dòng)力學(xué)知識(shí)研究了參數(shù)如何變化時(shí),漁業(yè)資源會(huì)得到可持續(xù)發(fā)展,并且個(gè)體獲得更多的回報(bào).

1 模型建立

假設(shè)有n個(gè)個(gè)體和m個(gè)市場(chǎng),其中n,m>1.n個(gè)個(gè)體收獲魚,每個(gè)個(gè)體在m個(gè)市場(chǎng)上出售魚.根據(jù)Brochie[8]采用的非線性需求函數(shù),本文假定逆需求函數(shù)為

(1)

其中:Ai表示市場(chǎng)i(i=1,2,…,m)的價(jià)格等于0時(shí)的最大瞬時(shí)需求;Bi表示需求相對(duì)于價(jià)格的敏感度的參數(shù);xki表示t時(shí)間內(nèi),個(gè)體k(k=1,2,…,n)收獲并在市場(chǎng)i(i=1,2,…,m)上出售的魚的數(shù)量.

令X(t)是在時(shí)間t時(shí)魚類的總生物量,hk(t)是在時(shí)間t時(shí)個(gè)體k(k=1,2,…,n)收獲(和出售)的魚量,其中:hk(t)=xk1(t)+xk2(t)+…+xkm(t).

根據(jù)Clark[16]提出的柯布-道格拉斯函數(shù),假設(shè)個(gè)體k(k=1,2,…,n)的捕撈成本函數(shù)為

(2)

其中:ck表示固定成本;γk表示技術(shù)參數(shù).

假設(shè)si(t)=x1i(t)+x2i(t)+…+xni(t)為時(shí)間周期t內(nèi)市場(chǎng)i(i=1,2,…,m)供應(yīng)(和銷售)的魚量,且

H(t):=h1(t)+h2(t)+…+hn(t)=
s1(t)+s2(t)+…+sm(t).

(3)

假設(shè)每個(gè)個(gè)體都擁有完善的種群信息,在這種情況下,捕撈的魚群的動(dòng)態(tài)是由一維系統(tǒng)控制,

X(t+1)=
X(t)(1+α-βX(t))-H(t),

(4)

其中:α表示內(nèi)在增長(zhǎng)率;K=α/β表示環(huán)境承載力.

當(dāng)多個(gè)主體在完全合作的情形下,每個(gè)個(gè)體k(k=1,2,…,n)通過最大化群體的整體利益來決定收獲政策,則結(jié)合(1)和(2),可得個(gè)體k(k=1,2,…,n)在時(shí)期t的利潤(rùn)函數(shù)為

(5)

使得個(gè)體k(k=1,2,…,n)目標(biāo)函數(shù)最大的一階條件(邊際利潤(rùn))為

其中:π(t)是t時(shí)段多個(gè)主體的總利潤(rùn),

假設(shè)每個(gè)個(gè)體決定其自身的收獲活動(dòng),是使得參與的多個(gè)主體的聯(lián)合利潤(rùn)最大化.每一時(shí)間段t所有個(gè)體決定t+1時(shí)段的捕撈量,必須形成其競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的捕撈量的預(yù)期.則第k(k=1,2,…,n)個(gè)個(gè)體在t+1時(shí)段的捕撈量為

hk(t+1)=argmaxπk(hk(t),h-ke(t+1)),

(6)

其中:h-ke(t+1)表示第k(k=1,2,…,n)個(gè)個(gè)體關(guān)于其他個(gè)體的決策預(yù)期.

(7)

本文研究所有個(gè)體k(k=1,2,…,n)在市場(chǎng)i(i=1,2,…,m)出售的總捕撈量.因此對(duì)上式左右兩邊所有的i(i=1,2,…,m)和k(k=1,2,…,n)相加得到

(8)

(9)

(10)

結(jié)合(4)和(10),建立漁業(yè)資源儲(chǔ)量與捕撈量之間相互作用的模型為

(11)

2 均衡點(diǎn)的存在性以及穩(wěn)定性

系統(tǒng)(11)的不動(dòng)點(diǎn)滿足X(t+1)=X(t),H(t+1)=H(t),代入式(11),得

(12)

即不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足

X(t)(α-βX(t))=
(nbX(t))/(2mc).

(13)

為了考慮模型本身的意義((X,H)∈{(X,H)|0

S={(b,c,α,β,n,m)|α>0,β>0,
α>(nb)/(2mc),c≠0,n>1,m>1}.

系統(tǒng)(11)的Jacobi矩陣為

(14)

因此有以下命題.

命題1當(dāng)滿足下列條件時(shí)納什均衡點(diǎn)E*是局部穩(wěn)定的:

(nb)/(2mc)<α<2+3M,M=min{1,α}.

證明系統(tǒng)在納什均衡點(diǎn)E*處的Jacobi矩陣為

(15)

J(E*)的特征多項(xiàng)式為

P(λ)=λ2-tr(J(E*))λ+det(J(E*))λ,

根據(jù)Jury判據(jù):

(i)1-trJ(E*)+detJ(E*)>0;

(ii)1+trJ(E*)+detJ(E*)>0;

(iii)1-detJ(E*)>0.

由條件S可知(i′)是恒成立的,根據(jù)條件(iii′)可得

結(jié)合條件(i′)和上式可得

(16)

化簡(jiǎn)條件(ii′),并將式(16)代入,則有

本節(jié)考慮有3個(gè)主體參與收獲,并且在3個(gè)市場(chǎng)中出售所收獲的魚類,即n=m=3.當(dāng)其他參數(shù)分別取α=2.5000,β=0.3570,b=1.3600,c=2.3400時(shí),可得

計(jì)算該Jacobi矩陣的特征值,可得:λ1=-0.4594+0.2820i和λ2=-0.4594-0.2820i.根據(jù)二維離散動(dòng)力系統(tǒng)均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性條件可知,Re(λ1)=Re(λ2)=-0.4594,均小于1,可以證實(shí)該納什均衡點(diǎn)E*確實(shí)是一個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn).

3 數(shù)值模擬

前面對(duì)納什均衡點(diǎn)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析,本節(jié)將通過數(shù)值模擬,利用單參數(shù)分岔圖、吸引子和可行吸引域數(shù)目和結(jié)構(gòu)的變化進(jìn)行系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為分析.在非線性動(dòng)力系統(tǒng)中,系統(tǒng)參數(shù)的改變可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的顯著改變.此外,共存吸引子意味著系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),即非線性系統(tǒng)的分岔演化行為隨參數(shù)或初始條件的改變導(dǎo)致系統(tǒng)解數(shù)目的變化,分岔產(chǎn)生的穩(wěn)定解導(dǎo)致了多個(gè)吸引子共存現(xiàn)象,因此多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)被認(rèn)為與分岔現(xiàn)象密切相關(guān).在以下的數(shù)值模擬中,討論兩個(gè)主體參與收獲并且在兩個(gè)市場(chǎng)出售的情形,即:n=m=2;假定固定成本ck=0,并且假定兩個(gè)參與者擁有同樣技術(shù)捕獲漁類生物,之后在相同的市場(chǎng)上出售.

3.1 可行吸引域

首先根據(jù)文獻(xiàn)[1],對(duì)系統(tǒng)(11)給出可行吸引域的定義.

(17)

這里?Ω表示可行吸引域Ω的邊界.由(17)可知,X(t)的原象是H(t),因此可得

選取參數(shù)α=2.8075,β=0.5369,b=0.3500,c=2.9300,可以得到這組參數(shù)條件下的可行吸引域,如圖1所示.此時(shí),可行吸引域Ω是由H(t)在T-1的一次映射下得到的一階原像H-1和X(t)軸所圍成的區(qū)域,在圖中用淺灰色標(biāo)記.

圖1 可行吸引域

3.2 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

由于納什均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與α,b,c有關(guān),所以選取這3個(gè)參數(shù)作為分岔參數(shù).首先固定參數(shù)β=1.5887,b=1.2100,c=2.8400,初始條件選取為(1.5000,0.9600),得到關(guān)于α的單參數(shù)分岔圖,如圖2(a)所示,黑色代表漁業(yè)資源存儲(chǔ)量X(t),淺灰色代表總的捕獲量H(t).可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在經(jīng)歷了一系列的flip分岔后,將從周期態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài).其相應(yīng)的一維最大Lyapunov指數(shù)圖如圖2(b)所示,分岔發(fā)生在最大Lyapunov指數(shù)等于零處,分別是2.6360,3.0380,3.1150,3.1330,3.1380等處.雖然在α∈(3.2220,3.2340)(圖2(a)灰色虛線之間)時(shí),單參數(shù)分岔圖有一個(gè)小的“周期窗口”,此時(shí)系統(tǒng)處于短暫的6-周期,但是要想在實(shí)現(xiàn)多個(gè)主體利潤(rùn)最大化的同時(shí),實(shí)現(xiàn)資源的可持續(xù)發(fā)展,需要將漁類生物的內(nèi)在增長(zhǎng)率控制在小于3.1380的范圍內(nèi)(圖2(a)灰色虛線左側(cè)),系統(tǒng)(11)才會(huì)處于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài).

為了研究“周期窗口”附近系統(tǒng)的狀態(tài)變化,在圖2相同的參數(shù)條件下,模擬參數(shù)α∈(3.1000,3.2300)系統(tǒng)中吸引子演化過程如圖3所示.α=3.1000時(shí),系統(tǒng)(11)存在著一個(gè)4-周期不動(dòng)點(diǎn)吸引子,如圖3(a)所示.隨著內(nèi)在增長(zhǎng)率α的增加,這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)吸引子在α=3.1500通過局部分岔變?yōu)橐粋€(gè)4-周期的混沌吸引子,如圖3(b)所示.進(jìn)一步增大α,4-周期的混沌吸引子的范圍會(huì)不斷變大,并且互相靠近,如圖3(c)所示,在α=3.2000時(shí),4-周期的吸引子變?yōu)?-周期的混沌吸引子.當(dāng)內(nèi)在增長(zhǎng)率α持續(xù)增加至α=3.2300時(shí),2-周期混沌吸引子進(jìn)行了擴(kuò)展合并的動(dòng)態(tài)行為,最終形成一片混沌吸引子,如圖3(d)所示.

圖2 (a)關(guān)于α的單參數(shù)分岔圖;(b)(a)對(duì)應(yīng)的一維最大Lyapunov指數(shù)圖

圖3 吸引子的演化(a)α=3.1000;(b)α=3.1500;(c)α=3.2000;(d)α=3.2300.

最后研究參數(shù)c對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,固定參數(shù)α=2.9465,β=2.2380,b=1.1700.初始條件選取為(1.5300,0.3300)時(shí),系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)c的單參數(shù)分岔圖如圖5(a)所示,系統(tǒng)首先從1-周期態(tài)在c=1.3620時(shí)發(fā)生跳躍到7-周期態(tài),之后在c=1.5420時(shí)又回到1-周期態(tài),之后經(jīng)歷一系列flip分岔,最后進(jìn)入混沌態(tài).選取另外一組初始條件(0.9100,0.2200)時(shí),系統(tǒng)的單參數(shù)分岔圖如圖5(b)所示.對(duì)比圖5(a)和圖5(b)可以看到系統(tǒng)在c∈(1.1800,1.5420)之間時(shí)(虛線之間),兩幅單參數(shù)分岔圖有明顯的不同(灰色線處).圖5(b)中系統(tǒng)從1-周期態(tài)跳躍到4-周期態(tài),隨后又進(jìn)入1-周期態(tài),之后又在c=1.4040發(fā)生跳躍到7-周期態(tài),在c=1.5420時(shí)又回到1-周期,之后經(jīng)歷一系列flip分岔,最終進(jìn)入混沌態(tài).值得注意,在圖5(b)中的跳躍發(fā)生了兩次,分別是在c=1.1820和c=1.4040.以下利用可行吸引域和吸引子討論單參數(shù)分岔圖在這兩處跳躍的原因.當(dāng)c=1.1820時(shí),系統(tǒng)(11)中存在兩個(gè)吸引子,如圖5(c)所示,一個(gè)是3-周期吸引子(用“*”標(biāo)記),另外一個(gè)是1-周期吸引的不動(dòng)點(diǎn)(用“☆”標(biāo)記),這兩個(gè)吸引子的吸引盆分別用黑色和灰色標(biāo)記,逃逸區(qū)域用白色標(biāo)記.這個(gè)1-周期的不動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn),因?yàn)樵擖c(diǎn)處的Jacobi矩陣為

計(jì)算可得特征值分別為λ1=-0.4783+0.5159i和λ2=-0.4783-0.5159i,Re(λ1)=Re(λ2)=-0.4783,均小于1.當(dāng)c=1.4040時(shí),系統(tǒng)中存在兩個(gè)吸引子,如圖5(d)所示,一個(gè)是6-周期吸引子(用“*”標(biāo)記),另外一個(gè)是1-周期吸引的不動(dòng)點(diǎn)(用“☆”標(biāo)記),這個(gè)1-周期的不動(dòng)點(diǎn)仍然是一個(gè)穩(wěn)定的焦點(diǎn),因?yàn)樵擖c(diǎn)處的Jacobi矩陣為

計(jì)算可得特征值分別為λ1=-0.5566+0.3269i和λ2=-0.5566-0.3269i,Re(λ1)=Re(λ2)=-0.5566,均小于1.綜上所述,單參數(shù)分岔圖中出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象的原因是吸引子共存.

除此之外,從兩組單參數(shù)分岔圖發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)每隔一段時(shí)間就會(huì)發(fā)生同樣的分岔行為,這在可行域內(nèi)就是可行吸引域的自相似結(jié)構(gòu).圖5(c)和圖5(d)的可行吸引域的形狀像一座橋.不同吸引子的吸引盆的形狀像橋洞,每座大橋里面又有很多小橋和小橋洞.圖5中的自相似結(jié)構(gòu)是一種弱分形結(jié)構(gòu)[1],因?yàn)榭尚形蜻吔缟现挥杏邢迋€(gè)尖點(diǎn).綜合以上所述,當(dāng)成本參數(shù)c保持在(1.5000,4.2000)之間時(shí),系統(tǒng)將會(huì)保持在一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài),在這個(gè)范圍內(nèi)漁類的生物量和各個(gè)主體捕撈量會(huì)實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展,而且多個(gè)主體也會(huì)獲得更多的收益.

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)漁業(yè)經(jīng)濟(jì)模型中線性需求函數(shù)無法代表實(shí)際中較為多變情形的問題,本文考慮了突破市場(chǎng)最高價(jià)格后,仍存在需求的實(shí)際情形,建立了一個(gè)非線性需求函數(shù)下漁業(yè)資源存儲(chǔ)量與捕撈量之間相互作用的多主體漁業(yè)經(jīng)濟(jì)模型.其中多主體之間是完全合作,他們以集體利益最大化作為自己下一階段的收獲決策.利用系統(tǒng)的Jacobi矩陣和Jury判據(jù)討論了不動(dòng)點(diǎn)及其局部穩(wěn)定性.隨后討論了各個(gè)參數(shù)條件對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,根據(jù)單參數(shù)分岔圖,價(jià)格敏感性和生物的內(nèi)在增長(zhǎng)率相對(duì)較小,成本參數(shù)保持在一定范圍內(nèi)時(shí),將有助于漁業(yè)資源的可持續(xù)發(fā)展,參與的多個(gè)主體也會(huì)獲得更多的回報(bào).然后通過奇異吸引子的演化分析發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有良好的自相似結(jié)構(gòu);通過系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)性分析發(fā)現(xiàn)由于吸引子的共存會(huì)讓單參數(shù)分岔圖有跳躍現(xiàn)象;通過吸引子與其吸引盆的接觸導(dǎo)致的“邊界危機(jī)”, 研究可行吸引域結(jié)構(gòu)的變化.此外,通過可行吸引域的形狀和大小,可以防止過度捕撈、魚類資源枯竭和經(jīng)濟(jì)效益低下.對(duì)這一復(fù)雜系統(tǒng)的分析會(huì)支持漁業(yè)資源的可持續(xù)發(fā)展,也會(huì)增加各個(gè)主體的經(jīng)濟(jì)收益.

圖4 (a)關(guān)于b的單參數(shù)分岔圖;(b)b=0.3518時(shí)系統(tǒng)(11)的可行吸引域;

圖5 (a)初始條件選取為(1.5300,0.3300)分岔參數(shù)c的單參數(shù)分岔圖;(b)初始條件選取為