用平行線之間的等積變形計(jì)算圖形的面積

鄒 琴

（重慶市科學(xué)城明遠(yuǎn)未來學(xué)校）

小朋友，兩條平行線之間的距離是處處相等的，例如圖1中，直線AD 平行于直線EJ，AE＝BG＝CI＝DJ。

圖1

三角形AFH、三角形BFH、三角形CFH、三角形DFH的底都是FH，高分別是AE、BG、CI、DJ。因?yàn)槿切蔚拿娣e＝底×高÷2，所以通過計(jì)算可知，三角形AFH 的面積＝三角形BFH 的面積＝三角形CFH 的面積＝三角形DFH的面積，即同底等高的三角形的面積是相等的。

我們?cè)谟?jì)算圖形的面積時(shí)，可以應(yīng)用平行線之間的等積變形，把題目由難變易、由繁變簡(jiǎn)，這是計(jì)算圖形面積的一種重要的策略。

例題1圖2 中，小正方形的邊長(zhǎng)是7厘米，大正方形的邊長(zhǎng)是10厘米。陰影部分的面積是多少？

圖2

把三角形ACH 分為三角形ABH 和三角形BCH 兩部分。運(yùn)用直線BE和直線CD的平行關(guān)系，把三角形BCH進(jìn)行等積變形，將C拉動(dòng)到D（如圖3），你會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形BCH與三角形BDH同底（HB為底）等高（CB＝DE），所以面積相等。求三角形ACH的面積可轉(zhuǎn)化為求三角形ABD的面積。三角形ABD的面積＝AB×CD÷2＝7×10÷2＝35（平方厘米），所以陰影部分的面積是35平方厘米。

圖3

例題2已知長(zhǎng)方形AEFD的面積是30 平方厘米（如圖4），那么陰影部分的面積是多少？

圖4

把三角形ABG 分為三角形AEG和三角形EBG 兩部分，運(yùn)用直線EF 和直線BC 的平行關(guān)系，把三角形EBG 進(jìn)行等積變形，將B 拉動(dòng)到C（如圖5），你會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形EBG與三角形ECG 同底（EG 為底）等高（BE＝CF），所以面積相等。求三角形ABG 的面積可轉(zhuǎn)化為求三角形AEC的面積。

圖5

三角形AEC的底就是長(zhǎng)方形AEFD的寬，三角形AEC的高BC等于長(zhǎng)方形AEFD 的長(zhǎng)AD，長(zhǎng)方形AEFD 的面積＝AE×AD＝30（平方厘米），三角形AEC 的面積＝AE×BC÷2＝AE×AD÷2＝30÷2＝15（平方厘米），陰影部分的面積是15平方厘米。

例題3正方形BCDE、正方形ABFG 的邊長(zhǎng)分別是10 厘米、8 厘米（如圖6），求圖中陰影部分的面積。

圖6

觀察圖6，你會(huì)發(fā)現(xiàn)線段AF、線段BD 都與線段AC 成45°角，可知直線AF與直線BD互相平行。運(yùn)用直線AF與直線BD的平行關(guān)系，把三角形ADF 進(jìn)行等積變形，將D 拉動(dòng)到B（如圖7），你會(huì)發(fā)現(xiàn)三角形ADF 與三角形ABF 同底（AF 為底）等高（DJ＝BI），所以面積相等。求三角形ADF的面積可轉(zhuǎn)化為求三角形ABF 的面積。三角形ABF 的面積＝8×8÷2＝32（平方厘米），所以陰影部分的面積是32平方厘米。

圖7

小朋友，運(yùn)用等積變形，可以巧妙解決面積計(jì)算問題，你學(xué)會(huì)了嗎？