如何解“牛吃草問題”

婁 斌

（山東省棗莊市臺兒莊區(qū)明遠(yuǎn)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

小朋友，“牛吃草問題”是英國科學(xué)家牛頓在17 世紀(jì)提出的，又稱為“消長問題”或“牛頓問題”?！芭３圆輪栴}”中主要涉及三個(gè)量：草的數(shù)量（原有的草量、每天新生長或減少的草量）、牛的數(shù)量、時(shí)間。如何解答這類問題呢，下面我們一起來看一下。

一、同一塊牧場中的“牛吃草問題”

例題1一塊牧場上長滿了草，草每天都勻速生長。這片草可供13頭牛（每頭牛每天的吃草量相同）吃10天，或可供21頭牛吃5天。

（1）這片草可供25頭牛吃幾天？

（2）這片草可供幾頭牛吃20天？

分析題目可知，牧場上原有的草量是固定的，每天新長出的草量也是固定的，新長出的總草量＝每天新長出的草量×天數(shù)，若干天牧場可提供的總草量＝原有的草量＋新長出的總草量。

假設(shè)1 頭牛1 天能吃1 份的草，則13 頭牛10 天吃草1×13×10＝130（份），21頭牛5天吃草1×21×5＝105（份）。為什么前一種吃法比后一種多了130－105＝25（份）呢？這是因?yàn)榍耙环N吃法比后一種多了10－5＝5（天），多出的25份草是5天長出來的?？梢运愠瞿翀錾厦刻扉L出的草量是25÷5＝5（份）。

13頭牛10天吃草130份，這10天牧場上新長出的草量是10×5＝50（份），牧場上原有的草量是130－50＝80（份）。

（1）計(jì)算這片草可供25頭牛吃幾天，可以這樣思考：

因?yàn)槟翀錾厦刻扉L出5 份草，可以讓其中的5 頭牛專門吃新長出的草，剩下的25－5＝20（頭）牛吃牧場上原有的80份草，這樣問題就變成了牧場上原有的草可以供20頭牛吃幾天？

因?yàn)?0頭牛1天要吃草1×20＝20（份），所以原有的80份草可供20頭牛吃80÷20＝4（天），即這片草可供25頭牛吃4天。

（2）計(jì)算這片草可供幾頭牛吃20天，可以這樣思考：

20 天牧場上新長出的總草量是20×5＝100（份），這20 天牧場可提供的總草量是80＋100＝180（份），平均每天能提供的草量是180÷20＝9（份）。因?yàn)? 頭牛1 天吃1 份的草，所以9 份的草可供9÷1＝9（頭）牛吃1天，即這片草可供9頭牛吃20天。

通過例題1的分析解答可知，當(dāng)草量增加時(shí)，可歸納總結(jié)出下面的計(jì)算公式：

先假設(shè)1頭牛1天的吃草量是1份。

①每天長出的草量＝（1×對應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的較多的天數(shù)－1×對應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)－吃的較少的天數(shù)）；

②原有的草量＝1×對應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的天數(shù)－每天長出的草量×吃的天數(shù)；

③求牧場上的草可供若干頭牛吃幾天，可按下面的步驟計(jì)算：

先假設(shè)有一些牛專門吃新長出的草，剩下的牛吃牧場上原有的草。吃新長出草的牛的數(shù)量＝牧場上每天長出的草量；吃原有的草的牛的數(shù)量＝牛的總數(shù)－吃新長出草的牛的數(shù)量；所求草可吃的天數(shù)＝牧場上原有的草量÷（吃原有的草的牛的數(shù)量×1）。

④求牧場上的草可供幾頭牛吃若干天，可按下面的步驟計(jì)算：

若干天新長出的總草量＝每天長出的草量×天數(shù)；若干天牧場能提供的總草量＝原有的草量＋若干天新長出的總草量；牧場平均每天能提供的草量＝若干天牧場能提供的總草量÷天數(shù)；所求牛的數(shù)量＝牧場平均每天能提供的草量÷1。

例題2一塊牧場上長滿了草，由于天氣變涼，牧場上的草停止生長了，并且由于有蟲災(zāi)，草每天都以固定的速度減少。如果這塊牧場上的草可供10 頭牛（每頭牛每天的吃草量相同）吃9 天，或可供7 頭牛吃12天。

（1）這片草可供4頭牛吃幾天？

（2）這片草可供多少頭牛吃6天？

分析題目可知，牧場上原有的草量是固定的，每天減少的草量也是固定的，減少的總草量＝每天減少的草量×天數(shù)，若干天牧場可提供的總草量＝原有的草量－每天減少的草量。

假設(shè)1 頭牛1 天能吃1 份的草，則10 頭牛9 天吃草1×10×9＝90（份），7頭牛12天吃草1×7×12＝84（份）。為什么前一種吃法比后一種多了90－84＝6（份）呢？這是因?yàn)榍耙环N吃法比后一種少了12－9＝3（天），這6 份草是牧場上3 天減少的草量?？伤愠雒刻鞙p少的草量是6÷3＝2（份）。

10 頭牛9 天吃草90 份，這9 天牧場上減少的總草量是2×9＝18（份），牧場上原有的草量是90＋18＝108（份）。

（1）計(jì)算這片草可供4頭牛吃幾天，可以這樣思考：

因?yàn)槟翀錾系牟菝刻鞙p少2 份，把每天減少的2 份草假設(shè)成是2 頭牛在吃草，這相當(dāng)于牧場上一共有4＋2＝6（頭）牛在吃草。因?yàn)?頭牛1天要吃草1×6＝6（份），108 份草可供6 頭牛以吃108÷6＝18（天），即實(shí)際這片草可供4頭牛吃18天。

（2）計(jì)算這片草可供多少頭牛吃6天，可以這樣思考：

因?yàn)槟翀錾系牟菝刻鞙p少2 份，6 天共減少2×6＝12（份）。這6 天牧場可提供108－12＝96（份）草，平均每天可提供96÷6＝16（份）草。因?yàn)? 頭牛1 天能吃1 份的草，所以16 份草可供16÷1＝16（頭）牛吃1天，即可知這片草可供16頭牛吃6天。

通過例題2的分析解答可知，當(dāng)草量減少時(shí)，可歸納總結(jié)出下面的計(jì)算公式：

先假設(shè)1頭牛1天的吃草量是1份。

①每天減少的草量＝（1×對應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的較多的天數(shù)－1×對應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的較少的天數(shù)）÷（吃的較多的天數(shù)－吃的較少的天數(shù)）；

②原有的草量＝1×對應(yīng)的牛的數(shù)量×吃的天數(shù)＋每天減少的草量×吃的天數(shù)；

③求牧場上的草可供若干頭牛吃幾天，可按下面的步驟計(jì)算：

先把每天因?yàn)樘厥庠驕p少的草量假設(shè)成是被牛吃了，則只吃減少草的牛的只數(shù)＝每天減少的草量；牛的總只數(shù)＝原有的牛的只數(shù)＋只吃減少草的牛的只數(shù)；草可吃的天數(shù)＝原有的草量÷（牛的總只數(shù)×1）。

④求牧場上的草可供幾頭牛吃若干天，可按下面的步驟計(jì)算：

若干天減少的總草量＝每天減少的草量×天數(shù)；若干天牧場能提供的總草量＝原有的草量－減少的總草量；牧場平均每天能提供的草量＝若干天牧場能提供的總草量÷天數(shù)；所求牛的數(shù)量＝牧場平均每天能提供的草量÷1。

二、多塊牧場中的“牛吃草問題”

例題3朵朵家有兩塊牧場，第一塊牧場的面積是1 萬平方米，第二塊牧場的面積是3萬平方米。兩塊牧場上的草每天都勻速生長，第一塊牧場上的草可供17頭牛吃18天，或者可供21頭牛吃12天。第二塊牧場上的草可供多少頭牛吃16天？

假設(shè)1頭牛1天的吃草量是1份，先看第一塊牧場，根據(jù)例題1總結(jié)的公式可知：第一塊牧場每天長出的草量是（1×17×18－1×21×12）÷（18－12）＝9（份），原有的草量是1×17×18－9×18＝144（份）。

因?yàn)榈诙K牧場的面積是第一塊的3÷1＝3倍，所以第二塊牧場每天長出的草量和原有的草量都是第一塊牧場的3倍。第二塊牧場每天長出的草量是9×3＝27（份），原有的草量是144×3＝432（份）。

這16 天，第二塊牧場可提供的總草量是432＋27×16＝864（份），可供864÷16÷1＝54（頭）牛吃16天。

小朋友，你學(xué)會了嗎？在數(shù)學(xué)中，還有很多類似“牛吃草問題”的問題，如檢票口檢票問題、抽水問題等，只有理解了“牛吃草問題”的解題思路，才能以不變應(yīng)萬變，輕松地解決此類問題。