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    覆水效應的地下相干函數(shù)與相變V 形峽谷多點地震動模擬及其特征規(guī)律

    2023-11-20 06:13:26柳國環(huán)陳欣宇費琦翔
    振動工程學報 2023年5期
    關(guān)鍵詞:峽谷震動剪力

    柳國環(huán),陳欣宇,費琦翔

    (1.天津大學水利工程智能建設與運維全國重點實驗室,天津 300350;2.天津大學建筑工程學院,天津 300350)

    引言

    受行波效應、相干效應和局部場地效應的影響,地震動表現(xiàn)出復雜的時空變化特性。地震動的空間變異性對大壩、長距離隧道和大跨橋梁等長大結(jié)構(gòu)的影響不可忽視,因此預測并模擬空間變化的多點地震動對長大結(jié)構(gòu)的抗震分析具有重要意義。俞瑞芳等[1]合成了多點非平穩(wěn)地震動并進行了大跨結(jié)構(gòu)地震響應分析,重點關(guān)注了包線函數(shù)的影響。Li等[2]的研究表明,地表地震動和地下地震動在幅值和頻率分布上均表現(xiàn)出明顯差異,結(jié)構(gòu)基礎深埋于地下,輸入地表地震動將錯估結(jié)構(gòu)響應。為此,Liu等[3]提出了地下相干函數(shù),結(jié)合場地傳遞函數(shù),構(gòu)建了地下功率譜矩陣,生成了空間變化的地下多點地震動。利用此方法,Liu 等[4-5]進一步模擬了層狀飽和介質(zhì)有無上覆水時的地下多點地震動,其研究結(jié)果揭示了介質(zhì)屬性和覆水因素對地下多點地震動具有顯著影響。

    針對地形和場地條件對地震動的影響,學者們開展了廣泛研究。Wu 等[6]利用水平地表到峽谷表面的傳遞函數(shù)模擬了V 形峽谷表面的多點地震動,但其未進一步探究地下地震動。韓淼等[7]開展了近斷層地震動下的結(jié)構(gòu)響應分析,重點比選出了相關(guān)性強、能表征近斷層地震動破壞作用的主要參數(shù)。Liu 等[8]利用水平地表到峽谷表面再到地下的兩步傳遞函數(shù)法模擬了U 形峽谷場地的地下多點地震動。柳國環(huán)等[9-12]陸續(xù)獲得了分層圓弧峽谷和V 形峽谷的地下多點地震動,分析了其上橋梁在超大地震作用下的破壞模式。

    現(xiàn)有研究所關(guān)注的場地普遍為單相介質(zhì)或飽和多孔介質(zhì)(雙相介質(zhì)),而天然場地往往是由單相介質(zhì)過渡至雙相介質(zhì)的相變場地,因此研究相變場地的地下多點地震動模擬方法是必要的。近期,李鑫洋等[13]合成了半覆水相變圓弧形峽谷在SV 波入射下的地下多點地震動,這是首次對相變場地多點地震動的研究,但該文僅針對圓弧形峽谷,尚缺乏對在其他地形中引入介質(zhì)相變的研究。此外,現(xiàn)有地下地震動模擬方法均采用了文獻[3]基于單相介質(zhì)場地提出的地下相干函數(shù),文獻[13]未能考慮覆水效應對地下相干函數(shù)的影響。因此,尚需推導出一種引入覆水效應的地下相干函數(shù)。

    基于此,本文將“介質(zhì)相變”和“峽谷覆水”兩大因素引入V 形峽谷場地,提出適用于半覆水相變V形峽谷的“覆水效應地下相干函數(shù)”?;诖讼喔珊瘮?shù)和場地特征,模擬地下多點地震動,探究“覆水效應地下相干函數(shù)”和“覆水深度”對多點地震動、進而對結(jié)構(gòu)響應的影響。

    1 覆水效應地下相干函數(shù)

    當?shù)乇韮牲cj和k均位于無覆水區(qū)時,對應地下兩點j'和k'間的相干函數(shù)可按文獻[3]計算:

    式中ω為地震波的圓頻率;τ為時間因子且τ=k?z/ω=z,其中,ρ為目標點處土壤的密度,z為目標點距離地表的深度,k*和G*分別代表復波數(shù)和復剪切模量,其表達式分別為:

    式中G為土體的剪切模量;ζ為土體的阻尼比。

    當j,k兩點位于覆水區(qū)時,文獻[3]未考慮P 波在水中的傳播,本文針對該缺陷,在地下相干函數(shù)中引入覆水效應。此時點k的振動可以用具有相位差的點j的振動來表示:

    式中A為諧波運動的振幅;τj和τk為常數(shù),計算方法同上;ρw為水的密度為水的復體積模量;hwj為j點距離覆水水面的深度;hwk為k點距離覆水水面的深度。等式右邊括號內(nèi)增加的第3 和5 項分別表示j,k兩點處由于P 波在水中傳播而產(chǎn)生的附加相位角。

    式中Kw為水的體積模量;研究表明,在黏彈性波動方程中,除了存在剪切黏滯性,還存在一種與體積變化有關(guān)的黏滯性[14],本文將水視作理想流體,不承受剪力,故略去剪切黏度,η代表與體積變化有關(guān)的黏度;ω0代表介質(zhì)固有的過渡頻率[14]。

    過渡頻率ω0、黏度η和體積模量Kw之間存在如下關(guān)系[14]:

    文獻[15]指出,當ω/ω0?1(實際地震波傳播情況)時,1+iω/ω0≈,故式(4)變?yōu)椋?/p>

    根據(jù)隨機振動理論,地表兩點j和k間的互功率譜密度函數(shù)可以表示為:

    式中Rjk(Δτ)為j,k兩點運動的互相關(guān)函數(shù)。

    將式(3)代入式(7),并注意到積分區(qū)間趨于無窮大時,最終結(jié)果不受初始相位差的影響,得到:

    相似地,地下兩點j'和k'間的互功率譜密度函數(shù)可以表示為:

    地面和地下運動的兩個相干函數(shù)之間的關(guān)系可以表示為:

    式中γjk(iω)和γj'k'(iω)分別為地表和地下相干函數(shù);TFjj'(ω)和TFkk'(ω)為地表到地下的傳遞函數(shù)。

    將式(8)和(9)代入式(10)可以得到:

    綜上,對于局部覆水的場地,地下相干函數(shù)與地表相干函數(shù)的關(guān)系為:

    2 半覆水相變V形峽谷地下多點地震動模擬

    2.1 目標點地震動模擬結(jié)果

    采用文獻[10]提出的兩步傳遞函數(shù)法(水平自由表面→V 形峽谷表面→峽谷地下),傳遞函數(shù)由半覆水相變V 形峽谷散射頻域理論解得到。聯(lián)立本文的地下相干函數(shù)構(gòu)造地下功率譜矩陣,通過Cholesky 分解生成了相變V 形峽谷場地的多點地震動。目標點的選取如圖1 所示,各點坐標已在圖中注明,地震動持時取為20.48 s。選取Clough-Penzien 功率譜[16]作為水平地表的目標功率譜,其參數(shù)取為S0=0.0069,ωg=5π rad/s,ωf=0.1ωg,ξg=ξf=0.6。地表相干函數(shù)模型采用Hao 等[17]的模型,參數(shù)采用SMART-1 臺陣45 條地震記錄的統(tǒng)計參數(shù)[16],其參數(shù)β1,a,b和c分別取值為1.109×10-4,3.853×10-3,-1.811×10-5和1.177×10-4。選 取Jennings包絡函數(shù)[16]進行調(diào)幅,其參數(shù)t1,t2和c分別取為1.2,9 和0.155。覆水深度取為峽谷深度的一半,水的體積模量取為2.2×109Pa,密度取為1000 kg/m3,各層土體物理參數(shù)如表1 所示。

    表1 各層土體物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of soil

    圖1 目標點示意圖Fig.1 Illustration of target points

    圖2 給出了各目標點的模擬加速度時程,圖中標注的σ代表所模擬加速度時程的標準差,上標“db”和“dx”分別代表該點位于地表和地下,下標“b”代表峽谷半覆水。結(jié)果表明,各地下目標點的加速度峰值和標準差均小于相應的地表目標點,這是由土體的濾波作用和放大效應所導致的,而地表目標點和地下目標點的最大距離僅為120 m,衰減阻尼可以忽略不計。地表A,B,C 和D 點的標準差放大幅度分別為26.8%,13.9%,36.8% 和38.4%,表明土體的放大效應與土層厚度呈正相關(guān)。此外,點C和C'與點D 和D'間跨越了相變界面,相變界面使土體產(chǎn)生了分層,層效應會加劇土體的放大效應[10]。一系列實測數(shù)據(jù)和理論研究表明,河谷地形存在放大效應,峽谷兩側(cè)壁有明顯的地震放大現(xiàn)象,并且隨高程的增高地震放大系數(shù)越來越大,谷頂?shù)卣饎哟笥诠鹊祝?8]。本文模擬結(jié)果表明,谷頂C 點地震動大于谷底B 點地震動,與已有研究成果結(jié)論一致。

    圖2 地表及地下目標點模擬加速度時程Fig.2 Simulated acceleration time histories of ground and underground target points

    2.2 功率譜及相干函數(shù)擬合

    圖3 給出了目標點加速度時程的頻譜關(guān)系,限于篇幅,本文僅以地表A 點、B 點、地下A'點和B'點為例。各點目標功率譜的譜密度主要集中在頻率小于4 Hz 的低頻區(qū)間,受傳遞函數(shù)隨頻率波動的影響,地表目標譜和地下目標譜均表現(xiàn)出了波動性,且地下目標譜的總面積小于地表目標譜。模擬譜按S(ω)=F(ω)F*(ω)/Δω計算,其中,F(xiàn)(ω)為單條加速度時程的傅里葉譜,F(xiàn)*(ω)為F(ω)的共軛復數(shù),Δω為頻率步長。結(jié)果表明,各目標點的模擬功率譜均與目標功率譜擬合良好。圖4 給出了相干函數(shù)的擬合情況,限于篇幅,僅以點AB(A'B')和點BC(B'C')間的相干函數(shù)為例。結(jié)果表明,盡管相干函數(shù)的模擬值出現(xiàn)了一定程度的波動,但總體上模擬值仍圍繞目標值變化,故所模擬地震動表現(xiàn)出了良好的空間相關(guān)性,證明了本文所模擬地震動的合理性。

    圖3 目標點功率譜擬合Fig.3 PSD fitting of target points

    圖4 地表及地下相干函數(shù)擬合Fig.4 Fitting of ground and underground coherence functions

    2.3 改進前后地下相干函數(shù)的對比

    覆水效應的地下相干函數(shù)乘以了一個代表水影響的復指數(shù)函數(shù),即

    式中 上標“0”和“1”分別代表未改進和改進。

    圖1 給出了各目標點的位置和坐標,以峽谷半覆水為例,目標點A'B',A'C'和A'D'間的相干性變化如圖5 所示,由于Hao 等[17]的模型對百米 以上距離擬合效果較好,故地表相干函數(shù)模型采用Hao 等[17]的模型,其參數(shù)取值與2.1 節(jié)中一致。結(jié)果表明,引入覆水效應后,多點地震動間相干性表現(xiàn)增強。

    圖5 改進前后相干函數(shù)模型的對比Fig.5 Coherence functions comparison between before-and after-improvement model

    該現(xiàn)象的物理本質(zhì)是:引入覆水效應后,P 波可以在水中傳播,與周邊土介質(zhì)中波動的相互影響增強,波動連續(xù)性更強,由此導致地震動間相干性表現(xiàn)增強。

    2.4 本文提出的地下相干函數(shù)對地下多點地震動的影響

    圖6 給出了引入覆水效應前后地下多點地震動的對比,圖中下標“0”和“1”分別代表未改進和改進。結(jié)果表明,引入覆水效應后位于覆水區(qū)的點A'和點B'地震動減?。ǘ叩臉藴什罘謩e為改進前的0.94和0.97),而位于無覆水區(qū)的點C'和點D'地震動增大(二者的標準差分別為改進前的1.04 和1.11)。原因在于對應P 波的部分能量被傳遞至水中,導致點A'和點B'地震動減小。

    圖6 本文提出的地下相干函數(shù)對地震動的影響Fig.6 Influence of the proposed underground coherence function on seismic motions

    2.5 覆水深度對地震動的影響

    為了進一步探究覆水深度對地下多點地震動的影響,圖7 分別給出了陜谷無覆水和滿覆水時各點處地震動放大幅度的對比(半覆水時的地震動已在圖2 給出),圖中下標“w”和“m”分別代表峽谷無覆水和滿覆水。圖7 中注明了地表地震動的放大百分比。結(jié)果表明,土體對地震動的放大作用隨著覆水深度的增大而減?。ㄘ撓嚓P(guān)),原因在于對應P 波的部分能量被傳遞至水中,且覆水深度越大,傳遞至水中的能量越多,土體中的地震動隨之越小。其中在點A(A')處,無覆水與滿覆水相比,土體放大百分比的差值為10.7%,該數(shù)值在點B,C 和D 處分別為15.8%,4.6%和3.3%,這表明距離覆水越遠,受覆水深度的影響越弱。此外,土層厚度相同的點C(C')和點D(D')相比,點C(C')處地震動放大幅度小,原因在于點C(C')距離覆水較近,受覆水影響更大。

    圖7 覆水因素對各點地震動的影響Fig.7 Influence of water-covered factor on seismic motions

    3 算例分析

    3.1 工程概況與有限元模型

    如圖8 所示,某預應力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋跨越半覆水V 形峽谷,峽谷寬為300 m,深為100 m,地基彈性模量為1.5 GPa,泊松比為0.22。剛構(gòu)橋全長300 m,跨徑組合為75 m+150 m+75 m,采用變截面箱梁,截面尺寸如圖9 所示。左墩高41 m,墩底埋深21 m,右墩高47 m,墩底埋深18 m?;炷敛捎肅50,縱筋和箍筋均采用HRB400。

    圖8 某連續(xù)剛構(gòu)橋立面圖(單位:m)Fig.8 Elevation of a continuous rigid frame bridge(Unit:m)

    圖9 主梁墩頂(左)及跨中(右)截面(單位:cm)Fig.9 Section of main beam at pier top(left)and midspan(right)(Unit:cm)

    采用有限元軟件ABAQUS 建立橋梁的數(shù)值計算模型,進行彈性時程分析,如圖10 所示。箱梁、橋墩、樁基和土體均采用C3D8R 實體單元,共12588個單元;鋼筋采用T3D2 桁架單元,共6732 個單元。墩梁綁定約束,鋼筋嵌入混凝土,由于本文不關(guān)注樁-土相互作用,樁土采用共節(jié)點簡化處理。梁體兩側(cè)只施加豎向位移約束及繞橋向轉(zhuǎn)動約束(U3=UR1=UR2=0)。截取的地基周圍施加接地的彈簧和阻尼器以建立黏彈性人工邊界,模擬無限地基的輻射阻尼。黏彈性人工邊界的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)按文獻[19]計算。

    圖10 橋梁有限元模型Fig.10 Finite element model of bridge

    3.2 工況設置及地震動輸入

    本文共設置4 種工況,設置目的與詳細設置方式列于表2 中。地震動采用多點輸入方式,依據(jù)前文方法模擬得到各組工況的地震動,如圖11 所示。選取每一跨的跨中,以及左右兩橋墩的墩頂和墩底作為觀測點。輸入地震動前首先對各組地震動進行歸一化處理,即對每一組地震動數(shù)據(jù)除以該組數(shù)據(jù)中的最大值,再對歸一化后的數(shù)據(jù)分別按加速度峰值為0.2g和0.4g進行輸入(g為重力加速度)。采用三向激勵,各方向的地震動按順橋向∶橫橋向∶豎向=1∶0.85∶0.65 進行設置。黏彈性邊界上采用文獻[20]的方法將地震動以等效節(jié)點力的方式輸入。等效節(jié)點力的計算公式如下:

    表2 工況設置Tab.2 Setting up of cases

    圖11 輸入的多點地震動Fig.11 Multi-supports seismic motions input

    3.3 跨越半覆水相變V 形峽谷橋梁地震響應的對比與分析

    本節(jié)計算了橋梁在各工況下的地震響應,表3給出了工況1 下各觀測點處的最大內(nèi)力和位移。內(nèi)力結(jié)果表明,多點輸入時橋梁左右兩側(cè)的響應表現(xiàn)出了明顯的非對稱性,其中右跨跨中的剪力和彎矩均遠大于左跨跨中;中跨跨中的軸力遠大于左右兩跨,但剪力和彎矩卻小于左右兩跨,其原因是梁體左右兩端進行了豎向位移約束和繞橋向轉(zhuǎn)動約束,導致左右兩跨自由度減小,其剪力彎矩響應隨之增大。位移結(jié)果表明,盡管順橋向施加的地震動大于橫橋向,但橫橋向的最大位移更大(右跨跨中處),這是由于兩橋墩順橋向激勵方向相反時,二者產(chǎn)生的位移被部分抵消。

    表3 工況1 的最大內(nèi)力和位移Tab.3 Maximum internal force and displacement of case 1

    表4,5 和6 分別給出了工況2,3 和4 的最大剪力和彎矩及其與工況1 的對比。結(jié)果表明,引入覆水效應后本文剛構(gòu)橋的響應普遍減小,且響應與覆水深度呈負相關(guān),原因在于對應P 波的部分能量被傳遞至水中,且覆水深度越大,傳遞至水中的能量越多,傳遞到結(jié)構(gòu)上的能量隨之越小。前文分析表明,引入覆水效應前后地震動差值不足10%,而多點激勵下結(jié)構(gòu)響應最大差值達到79.4%(左跨跨中在0.4g峰值下的彎矩),這表明本文提出的覆水效應地下相干函數(shù)對結(jié)構(gòu)地震響應影響顯著,在實際工程中不可忽視。工況3 中左跨跨中的剪力彎矩以及兩墩頂部的彎矩反而增大,工況4 中少數(shù)觀測點的內(nèi)力反而減小,原因是在多點激勵差動輸入的復雜情況下,結(jié)構(gòu)不同位置的位移不同步,導致部分位置的內(nèi)力相對增大或減小。多點輸入更符合真實情況。

    表4 工況2 的最大剪力、彎矩及其與工況1 的對比Tab.4 Maximum shear and moment of case 2 and comparison between case 1 and 2

    表5 工況3 的最大剪力、彎矩及其與工況1 的對比Tab.5 Maximum shear and moment of case 3 and comparison between case 1 and 3

    表6 工況4 的最大剪力、彎矩及其與工況1 的對比Tab.6 Maximum shear and moment of case 4 and comparison between case 1 and 4

    為了直觀地展示各種工況的內(nèi)力對比,圖12 給出了0.2g峰值下各觀測點最大剪力和彎矩的柱狀圖。

    圖12 最大剪力、彎矩的柱狀圖Fig.12 Histogram of maximum shear and moment

    4 結(jié)語

    本文提出了覆水效應地下相干函數(shù),模擬了半覆水相變V 形峽谷場地地下多點地震動,驗證了其合理性,分析了覆水深度與相干性的影響。簡要總結(jié)如下:

    (1)提出并推導出了覆水效應的地下相干函數(shù)模型,模擬了基于該地下相干函數(shù)的半覆水相變V形峽谷多點地震動,所生成的多點地震動具有良好的譜兼容性和空間相關(guān)性。

    (2)引入覆水效應的多點地震動間相干性表現(xiàn)增強,原因在于P 波可以在水中傳播,進而與周邊土介質(zhì)中波動的相互影響增強,波動連續(xù)性更強。

    (3)覆水效應導致覆水區(qū)地震動減小;土體的放大作用隨覆水深度增大而減小,且距覆水越遠受覆水影響越弱。

    (4)以3 跨連續(xù)剛構(gòu)橋為例,探討了“覆水效應地下相干函數(shù)”及“峽谷覆水深度”對結(jié)構(gòu)地震響應的影響,覆水效應降低了結(jié)構(gòu)響應且結(jié)構(gòu)響應隨覆水深度的增大而減小。

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