子彈打木塊模型的變式與拓展

許 文

(華中科技大學(xué)附屬中學(xué))

子彈打木塊模型是高考物理中的高頻考點(diǎn)之一.該模型中子彈與木塊往往存在相對(duì)運(yùn)動(dòng),分析求解應(yīng)以子彈與木塊在各個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的加速度為核心,找出子彈與木塊之間的位移(路程)關(guān)系或速度關(guān)系是解題的突破口,采用定性分析與定量研究相結(jié)合的方法,也可借助v-t圖像進(jìn)行分析求解.系統(tǒng)無外力作用下的板塊模型,其本質(zhì)也是子彈打木塊模型.

1 基本模型

1.1 木塊獲得的速度與子彈初速度的關(guān)系

問題長(zhǎng)為d、質(zhì)量為M的木塊靜止在光滑的水平面上.一顆質(zhì)量為m的子彈以水平初速度v0射入木塊,設(shè)子彈與木塊間的阻力大小為Ff,求木塊獲得的速度v.

分析子彈打木塊的過程中,子彈與木塊組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒、能量守恒.

1)若子彈未穿出木塊,有mv0＝(m＋M)v,可得

結(jié)論木塊獲得的速度v與子彈的初速度v0的大小關(guān)系圖像如圖1所示.

圖1

例1如圖2所示,質(zhì)量為m的子彈,以初速度v0射入靜止在光滑水平面上的木塊,并留在其中.木塊質(zhì)量為M,長(zhǎng)度為L(zhǎng),子彈射入木塊的深度為d,在子彈射入木塊的過程中木塊移動(dòng)距離為s.假設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力始終保持不變,下列說法正確的是( ).

圖2

A.d可能大于s,也可能小于s

B.s可能大于L,也可能小于L

C.s一定小于d,s一定小于L

D.若子彈質(zhì)量減小,d和s一定同時(shí)變小

木塊和子彈組成的系統(tǒng)合外力為零,系統(tǒng)動(dòng)量守恒,有mv0＝(m＋M)v.設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力大小為Ff,則對(duì)木塊由動(dòng)能定理得

系統(tǒng)損失的機(jī)械能為

可知s＜d,而d＜L,故s＜L,選項(xiàng)C正確;若子彈質(zhì)量m減小,由以上分析知d一定變小,s一定變小,選項(xiàng)D 正確.

本題子彈在打木塊的過程中,由于題設(shè)木塊對(duì)子彈的阻力始終保持不變,可知在此過程中子彈做勻減速運(yùn)動(dòng),木塊做勻加速運(yùn)動(dòng);以上分析求解中采用了定性分析與定量研究相結(jié)合的方法,根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒求解二者最終的共同速度,再分別對(duì)子彈與木塊用動(dòng)能定理分析比較,注意變量與不變量.

變式1一矩形木塊放在光滑的水平面上,用一支槍先后向木塊射入兩顆相同子彈,第二次發(fā)射時(shí)槍口比第一次時(shí)稍高一些,兩顆子彈都穿出了木塊,在木塊中留下了兩個(gè)平行的彈孔.設(shè)兩顆子彈發(fā)射的初速度相同,在木塊中受到的阻力相同,第二顆子彈擊中木塊時(shí),第一顆子彈已穿過木塊,且木塊只在水平面上運(yùn)動(dòng).則兩顆子彈先后穿出木塊的過程中( ).

A.木塊平移的距離相同

B.子彈穿過木塊的時(shí)間不同

C.穿過木塊后子彈的速度相同

D.第一顆子彈穿過木塊后的速度比第二顆子彈穿過木塊后的速度小

由題意知兩次子彈穿木塊的過程中,子彈與木塊的加速度大小均一定.設(shè)子彈的初速度大小為v0,第1顆子彈穿過木塊后子彈的速度為v1,木塊的速度為v′1;第2顆子彈穿過木塊后子彈的速度為v2,木塊的速度為v′2;在同一坐標(biāo)系中畫出子彈與木塊運(yùn)動(dòng)的v-t圖像,如圖3所示.

圖3

由v-t圖像的物理意義知,第2顆子彈穿木塊的過程中,木塊移動(dòng)的距離較大,選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;在子彈穿木塊過程中,在水平方向子彈相對(duì)木塊運(yùn)動(dòng)的距離即為木塊的寬度,可知第2顆子彈穿過木塊的時(shí)間t2大于第1顆子彈穿過木塊的時(shí)間t1,選項(xiàng)B 正確;穿過木塊后子彈的速度v1＞v2,選項(xiàng)C、D 錯(cuò)誤.

本題涉及兩顆子彈與木塊的多體多過程運(yùn)動(dòng)問題.根據(jù)兩次子彈穿木塊的過程中,子彈與木塊的加速度大小均一定這一特點(diǎn),在同一坐標(biāo)系中畫出兩子彈與木塊運(yùn)動(dòng)的v-t圖像進(jìn)行分析與求解,分析過程簡(jiǎn)潔明了.

變式2如圖4 所示,質(zhì)量為M的均勻木塊靜止在光滑的水平面上,木塊左右兩側(cè)各有一位拿著完全相同的步槍(配有完全相同的子彈)的射擊手.首先左側(cè)的射擊手開槍,子彈水平射入木塊的最大深度為d1,然后右側(cè)的射擊手開槍,子彈水平射入木塊的最大深度為d2.設(shè)子彈均未射穿木塊,且兩子彈與木塊之間的作用力大小均相同.當(dāng)兩顆子彈均相對(duì)木塊靜止時(shí),下列說法正確的是( ).

圖4

A.最終木塊靜止,d1＝d2

B.最終木塊向右運(yùn)動(dòng),d1＜d2

C.最終木塊靜止,d1＜d2

D.最終木塊靜止,d1＞d2

木塊和射出后的左右兩子彈組成的系統(tǒng)水平方向不受外力作用,系統(tǒng)動(dòng)量守恒.設(shè)子彈的質(zhì)量為m,有mv0－mv0＝(M＋2m)v,可得v＝0,即最終木塊靜止;設(shè)左側(cè)子彈射入木塊后的共同速度為v1,有mv0＝(m＋M)v1,且

對(duì)右側(cè)子彈射入的過程,由功能關(guān)系得

本題分析求解仍采用了定性分析與定量研究相結(jié)合的方法.子彈穿木塊的過程中,系統(tǒng)內(nèi)存在摩擦阻力做功,有機(jī)械能損失;損失的機(jī)械能變?yōu)閮?nèi)能,但系統(tǒng)的能量仍守恒.摩擦生熱表達(dá)式可稱之為“能量守恒”或“功能關(guān)系”,它是由動(dòng)能定理推導(dǎo)得出的一個(gè)二級(jí)結(jié)論.

1.2 特點(diǎn)與規(guī)律

表1

2 拓展應(yīng)用

子彈打木塊模型和無外力滑塊與滑板模型本質(zhì)相同.解決板塊模型問題,不同的階段要分析受力情況和運(yùn)動(dòng)情況的變化;二者存在相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是二者間的摩擦力為最大靜摩擦力;靜摩擦力不但方向可變,而且大小也會(huì)在一定范圍內(nèi)變化;明確板塊達(dá)到共同速度時(shí)各物理量關(guān)系是此類題目的突破點(diǎn).利用v-t圖像仍然是這類問題的有效分析手段.

例2(2023年全國(guó)乙卷)如圖5所示,一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為l的木板靜止在光滑水平桌面上,另一質(zhì)量為m的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))從木板上的左端以速度v0開始運(yùn)動(dòng).已知物塊與木板間的滑動(dòng)摩擦力大小為f,當(dāng)物塊從木板右端離開時(shí)( ).

圖5

A.木板的動(dòng)能一定等于fl

B.木板的動(dòng)能一定小于fl

本題中滑塊與木板組成的系統(tǒng)受到的合外力為零,類似于子彈打木塊模型.由題意知當(dāng)物塊從木板右端離開時(shí)有vm＞vM,它們運(yùn)動(dòng)的v-t圖像(如圖6)與運(yùn)動(dòng)過程示意圖(如圖7)如下.

圖6

圖7

本題是不受外力作用的板塊模型,與經(jīng)典的子彈打木塊模型本質(zhì)上是相同的.對(duì)于不受外力作用的板塊模型問題的分析,在畫運(yùn)動(dòng)過程示意圖時(shí),若不能正確分析板塊的位移大小關(guān)系,很容易導(dǎo)致分析板塊空間位置關(guān)系時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.以上分析求解結(jié)合板塊運(yùn)動(dòng)的v-t圖像才能直觀看出它們運(yùn)動(dòng)的位移大小關(guān)系,這是本題分析的易錯(cuò)點(diǎn)與突破點(diǎn).

變式3質(zhì)量為m的矩形木板ae,放在光滑水平面上,b、c、d是ae的4等分點(diǎn).質(zhì)量為M的物塊以一定的初速度從a點(diǎn)水平滑上粗糙木板,物塊的寬度不計(jì),且m＜M,經(jīng)過一段時(shí)間物塊停在木板上.以下各選項(xiàng)中上圖是物塊剛滑上木板時(shí)物塊與板的位置狀態(tài),下圖是物塊剛與木板達(dá)到共同速度時(shí)的位置,則可能正確的是( ).

地面光滑,物塊與木板組成的系統(tǒng)所受合外力為零,系統(tǒng)動(dòng)量守恒,以向右為正方向,由動(dòng)量守恒定律有Mv0＝(M＋m)v;對(duì)木板由動(dòng)能定理有;設(shè)物塊相對(duì)木板運(yùn)動(dòng)的位移大小為Δx,同理對(duì)物塊有

本題的分析與求解仍然采用了定性分析與定量研究相結(jié)合的方法.根據(jù)模型特點(diǎn),運(yùn)用動(dòng)量守恒定律與動(dòng)能定理列式比較分析,找出此過程中物塊相對(duì)木板滑行的距離與木板對(duì)地運(yùn)動(dòng)的位移的大小關(guān)系,即可作出可能正確的判斷.

變式4如圖8所示,質(zhì)量為M＝2.0 kg的長(zhǎng)木板放在水平地面上,木板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ0＝.在t＝0時(shí)刻給長(zhǎng)木板一個(gè)水平向右的初速度v0＝4 m?s－1,同時(shí)將一小滑塊輕放在木板右端,滑塊運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖9所示.已知整個(gè)過程中滑塊沒從木板上掉下來,重力加速度g取10 m?s－2,最大靜摩擦力大小等于滑動(dòng)摩擦力.以下說法正確的是( ).

圖8

圖9

A.滑塊的質(zhì)量m＝0.5 kg

B.滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.1

C.木板的最小長(zhǎng)度L＝1.75 m

D.滑塊與木板間摩擦生熱Q＝2.25 J

由圖9知在t1＝1 s時(shí)滑塊與木板等速,為v1＝1 m?s－1;對(duì)滑塊與木板分別由動(dòng)量定理有μmgt1＝mv1,－μ0(M＋m)gt1－μmgt1＝Mv1－Mv0,可得μ＝0.1,m＝1 kg,選項(xiàng)A 錯(cuò)誤,選項(xiàng)B正確;滑塊與木板在t1時(shí)刻等速后,由于μ＜μ0,二者不能保持相對(duì)靜止,小滑塊相對(duì)木板向右滑動(dòng),設(shè)木板在t2＝t1＋Δt時(shí)刻停止,滑塊與木板運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖10所示.在Δt時(shí)間內(nèi)對(duì)木板有μmgΔtμ0(M＋m)gΔt＝0－Mv1,可得Δt＝0.5 s.

圖10

在0～t1時(shí)間內(nèi)小滑塊相對(duì)木板向左滑動(dòng)的距離,在t1時(shí)刻后滑塊相對(duì)木板向右滑動(dòng)距離,故木板的最小長(zhǎng)度L＝2 m,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;整個(gè)過程中滑塊與木板間摩擦生熱Q＝μmg(Δx1＋Δx2)＝2.25 J,選項(xiàng)D 正確.

在板塊達(dá)到共同速度以后,它們間的摩擦力往往會(huì)發(fā)生變化.一種情況是板塊間滑動(dòng)摩擦力轉(zhuǎn)變?yōu)殪o摩擦力;另一種情況是板塊間的滑動(dòng)摩擦力方向發(fā)生變化.板塊達(dá)到共同速度時(shí)恰好對(duì)應(yīng)物塊不脫離木板時(shí)板具有的最小長(zhǎng)度,也就是物塊在木板上相對(duì)于板的最大位移.本題中板塊等速后滑塊相對(duì)木板的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化,分析求解時(shí)要從滑塊運(yùn)動(dòng)的v-t圖像推知木板的運(yùn)動(dòng)情景.

總之,子彈打木塊模型與無外力作用下的板塊模型類似,但板塊模型中物塊相對(duì)滑板的運(yùn)動(dòng)方向可能會(huì)發(fā)生改變.對(duì)這類問題的分析,要從物體受力開始,分析加速度及其變化,注意等速時(shí)摩擦力往往會(huì)發(fā)生改變.畫出物體運(yùn)動(dòng)過程示意圖尋找位移隱含關(guān)系,v-t圖像是這類問題分析的利器,是定性分析與定量研究的有效手段.

(完)