基于數(shù)學(xué)史的STEAM項(xiàng)目式課程設(shè)計(jì)與實(shí)施
——以“折紙與古希臘三大作圖問(wèn)題”為例

◎ 吳子昊 吳莖潔

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中強(qiáng)調(diào)信息化環(huán)境下數(shù)學(xué)多樣性教學(xué)的重要性，在教學(xué)中要精選課程內(nèi)容，處理好學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透。［1］有研究指出，STEAM教育以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，將科學(xué)、技術(shù)、工程與藝術(shù)整合為一體進(jìn)而實(shí)現(xiàn)多學(xué)科融合，可有效發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，滲透人文底蘊(yùn)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。［2］基于此，本文旨在設(shè)計(jì)并實(shí)施STEAM項(xiàng)目式課程，以古希臘三大作圖問(wèn)題為主線(xiàn)，融合STEAM教育理念與數(shù)學(xué)文化，通過(guò)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)模式重構(gòu)教學(xué)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生高階思維品質(zhì)。

一、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值

數(shù)學(xué)史料是數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)發(fā)展過(guò)程中沉淀的文化資源與精神文明，是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的重要資源。［3］將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生能沿著數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、探究過(guò)程，了解數(shù)學(xué)知識(shí)原貌，揭示諸多現(xiàn)象本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)中的人文藝術(shù)，從而培育學(xué)生堅(jiān)持真理、追求創(chuàng)新的精神，實(shí)現(xiàn)知、情、意、行統(tǒng)一發(fā)展，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)。

（一）以史促教

數(shù)學(xué)知識(shí)抽象、邏輯性強(qiáng)，教師要幫助學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)掌握幾千年來(lái)人類(lèi)發(fā)展史中創(chuàng)造的數(shù)學(xué)精華，如果教師僅將數(shù)學(xué)看作結(jié)論，那么學(xué)生便只會(huì)機(jī)械記憶，數(shù)學(xué)學(xué)科將難以蓬勃發(fā)展。教師要以更高的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看待數(shù)學(xué)知識(shí)、重構(gòu)數(shù)學(xué)教學(xué)，通過(guò)梳理分析數(shù)學(xué)史，深入了解數(shù)學(xué)理論來(lái)源、形成、發(fā)展、完善的過(guò)程，將孤立的點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，把握數(shù)學(xué)與科學(xué)、數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系［3］，從而實(shí)現(xiàn)自身專(zhuān)業(yè)發(fā)展。

（二）以史育人

華羅庚先生說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)擁有無(wú)窮的美妙”，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程比掌握結(jié)論更有價(jià)值。學(xué)生通過(guò)了解豐富精彩且具有啟發(fā)意義的數(shù)學(xué)史，能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)不僅是分析符號(hào)和圖形，看似枯燥無(wú)用的數(shù)學(xué)知識(shí)背后都蘊(yùn)含了古人的無(wú)窮智慧。例如，前有數(shù)學(xué)家劉徽通過(guò)割圓思想得到圓周率近似值，后有祖沖之對(duì)圓周率進(jìn)一步精確，數(shù)學(xué)家通過(guò)實(shí)踐告訴我們，成功從來(lái)就不是一蹴而就的，困難是數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路［4］。

二、分析項(xiàng)目式課程學(xué)科融合點(diǎn)

本文以古希臘三大作圖問(wèn)題為主線(xiàn)，融合STEAM教育理念與數(shù)學(xué)文化設(shè)計(jì)STEAM項(xiàng)目式課程。首先對(duì)古希臘三大作圖問(wèn)題進(jìn)行分析，尋找其中與STEAM契合的課程資源，梳理各學(xué)科知識(shí)聯(lián)系，如圖1所示。

三、STEAM項(xiàng)目式課程框架

STEAM項(xiàng)目式課程是一個(gè)循環(huán)的過(guò)程，教學(xué)中學(xué)生要經(jīng)歷確定研究主題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、設(shè)想解決問(wèn)題的方案、設(shè)計(jì)模型、實(shí)踐操作、反饋優(yōu)化方案的過(guò)程［5］。為了確保STEAM教育理念落地，借鑒張輝蓉等的數(shù)學(xué)文化項(xiàng)目學(xué)習(xí)模式［2］，將本課程框架分為三層（見(jiàn)圖2），最外層為教師教學(xué)活動(dòng)，教師作為引領(lǐng)者，根據(jù)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)情境，了解學(xué)生項(xiàng)目解決進(jìn)程，適時(shí)指明方向，推動(dòng)學(xué)生多學(xué)科知識(shí)整合。中間層是以學(xué)生為主體的項(xiàng)目活動(dòng)，在課程中，學(xué)生不是獨(dú)立的個(gè)體，而是在團(tuán)隊(duì)中通過(guò)集體智慧解決問(wèn)題、實(shí)踐創(chuàng)新。最內(nèi)層為STEAM項(xiàng)目式課程目標(biāo)，通過(guò)教師與學(xué)生協(xié)同合作，促進(jìn)學(xué)生多元發(fā)展，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、課程設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）課程設(shè)計(jì)

本課程包含三環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}之庫(kù)、問(wèn)題解決、方案分享，共5課時(shí)。其中環(huán)節(jié)一分為2課時(shí)，課時(shí)1回顧數(shù)學(xué)史，了解古希臘三大作圖問(wèn)題；課時(shí)2初探折紙?jiān)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用。環(huán)節(jié)二以學(xué)生活動(dòng)為主，分為2課時(shí)，課時(shí)3研究倍立方問(wèn)題并通過(guò)折紙進(jìn)行解決；課時(shí)4研究三等分角問(wèn)題并通過(guò)折紙進(jìn)行解決。環(huán)節(jié)三為方案分享（課時(shí)5）。

1.環(huán)節(jié)一：?jiǎn)栴}之庫(kù)

（1）課時(shí)1：回顧數(shù)學(xué)史，了解古希臘三大作圖問(wèn)題

古希臘人研究尺規(guī)作圖，他們發(fā)現(xiàn)以正方形對(duì)角線(xiàn)為邊的一個(gè)新正方形，其面積為原來(lái)的兩倍，進(jìn)而提出倍立方問(wèn)題：給定立方體的一邊，求作另一立方體的邊，使其體積為前者體積的兩倍。尺規(guī)作圖可以作一個(gè)給定角的角平分線(xiàn)，因此古希臘人開(kāi)始思考如何三等分任意一個(gè)角，即三等分角問(wèn)題。還有化圓為方問(wèn)題為：給定一個(gè)已知面積的圓，作一正方形，使其面積與圓面積相等。

古希臘三大作圖問(wèn)題雖然形式上非常簡(jiǎn)單，但解決起來(lái)十分困難，探索這三個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中蘊(yùn)含了抽象代數(shù)思想，直到19世紀(jì)，這三個(gè)作圖問(wèn)題的尺規(guī)作圖不可能性才被證實(shí)。

（2）課時(shí)2：初探折紙?jiān)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用

折紙對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，中小學(xué)課程中的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”就有“折一折、想一想、做一做”的教學(xué)形式。一張白紙，不剪不裁，卻能折出無(wú)數(shù)變化，有時(shí)候尺規(guī)作圖無(wú)法完成的任務(wù)，折紙卻能解決。本課時(shí)中，教師以“如何通過(guò)折紙將正方形的面積分成三等分？”這個(gè)問(wèn)題為例，與學(xué)生共同探究并體會(huì)折紙?jiān)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用。

2.環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}解決

（1）課時(shí)3：倍立方問(wèn)題

本課時(shí)設(shè)計(jì)3個(gè)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題幫助學(xué)生通過(guò)折紙解決倍立方問(wèn)題，具體如下。

問(wèn)題1：如何通過(guò)折紙解決倍立方問(wèn)題？

問(wèn)題2：你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述并證明折紙過(guò)程嗎？

問(wèn)題3：為什么尺規(guī)作圖不可以解決倍立方問(wèn)題？

【成果建議】關(guān)于倍立方問(wèn)題由來(lái)、發(fā)展、解決的數(shù)學(xué)小論文；展示折紙過(guò)程的小視頻；與尺規(guī)作圖相關(guān)數(shù)學(xué)公理的研究報(bào)告；數(shù)學(xué)海報(bào)等。

在課時(shí)3中，學(xué)生需要借助折紙數(shù)理學(xué)設(shè)計(jì)解決倍立方問(wèn)題的折紙方案，再對(duì)折紙過(guò)程進(jìn)行抽象，并證明折紙方案的正確性，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)模型的不足，反復(fù)實(shí)踐。最后，提出更高層次的問(wèn)題：尺規(guī)作圖為什么不能解決倍立方問(wèn)題？以此引導(dǎo)學(xué)生探究尺規(guī)作圖背后的數(shù)學(xué)原理，發(fā)現(xiàn)尺規(guī)作圖無(wú)法作出除規(guī)矩?cái)?shù)之外的無(wú)理數(shù)。

（2）課時(shí)4：三等分角問(wèn)題

本課時(shí)設(shè)計(jì)3個(gè)驅(qū)動(dòng)問(wèn)題幫助學(xué)生通過(guò)折紙解決三等分角問(wèn)題。

問(wèn)題1：如何通過(guò)折紙解決三等分問(wèn)題？

問(wèn)題2：你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述并證明折紙過(guò)程嗎？

問(wèn)題3：為什么尺規(guī)作圖不可以解決三等分問(wèn)題？

【成果建議】關(guān)于三等分問(wèn)題由來(lái)、發(fā)展、解決的數(shù)學(xué)小論文；展示折紙過(guò)程的小視頻；與尺規(guī)作圖相關(guān)數(shù)學(xué)公理的研究報(bào)告；數(shù)學(xué)海報(bào)等。

在課時(shí)4中，學(xué)生依然需要借助折紙數(shù)理學(xué)設(shè)計(jì)解決三等分角的折紙方案，再對(duì)折紙過(guò)程進(jìn)行抽象，并證明折紙方案的正確性。最后，思考更高層次的問(wèn)題：尺規(guī)作圖為什么不能解決三等分角問(wèn)題？以此引導(dǎo)學(xué)生探究尺規(guī)作圖背后的數(shù)學(xué)原理，發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題背后的本質(zhì)是解某個(gè)三次方程，而這個(gè)三次方程的根不是一個(gè)規(guī)矩?cái)?shù)，因此尺規(guī)作圖不能解決此問(wèn)題。

3.環(huán)節(jié)三：方案分享

（1）倍立方問(wèn)題

該項(xiàng)目要求把立方體的體積擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍，假設(shè)原立方體邊長(zhǎng)為1，則體積擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍后，立方體邊長(zhǎng)等于。因此，倍立方問(wèn)題本質(zhì)上就是求作2的立方根，也就是要通過(guò)折紙折出：1。

小組A首先將一張正方形紙片三等分（見(jiàn)圖3），緊接著在三等分的基礎(chǔ)上，將正方形紙片右下角頂點(diǎn)翻折落到左邊，同時(shí)保證右邊下方三等分點(diǎn)落到上方三等分線(xiàn)（見(jiàn)圖4），進(jìn)而得到：1。

圖3 三等分正方形

圖4 紙片翻折后對(duì)應(yīng)圖形

完成折紙后，小組A進(jìn)一步對(duì)折紙結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明。

證明：

設(shè)AB′=1，B′D=x

在RTΔAMB′中有

計(jì)算得

又由ΔB′AM～ΔI′JB′，得到

即（x2+2x+2）（2x–1）=（x2+2x）（x+1）

從而得B′D=。

（2）三等分角問(wèn)題

該項(xiàng)目是在學(xué)生熟悉的平分角的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步思考如何三等分角，需要學(xué)生通過(guò)折紙將一個(gè)銳角進(jìn)行三等分，并在此基礎(chǔ)上完成證明。

① 小組B成果

小組B利用正方形紙片先構(gòu)造一個(gè)銳角，然后通過(guò)對(duì)折正方形構(gòu)造正方形面積的三等分線(xiàn)，最后將銳角進(jìn)行三等分（見(jiàn)圖5）。

圖5 三等分角

完成折紙后，小組B進(jìn)一步對(duì)折紙結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明。

在研究過(guò)程中小組B發(fā)現(xiàn)，上述折紙步驟中不需要對(duì)折紙張，可隨意翻折，只需保證折痕與正方形上下兩邊平行即可。經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)踐，小組B得出與原方法相同的結(jié)論，并證明了結(jié)論。

② 小組C成果

小組C采用了與小組B相同的方式折出銳角的三等分線(xiàn)并完成數(shù)學(xué)證明，隨后，他們通過(guò)分析每一步折紙過(guò)程背后的原理時(shí)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)翻折，可以讓兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)落到相應(yīng)的指定位置。這一過(guò)程僅需要通過(guò)眼睛仔細(xì)觀(guān)察即可，但其背后的原理較為復(fù)雜，若想利用代數(shù)證明，就相當(dāng)于要求解三次方程。因此，尺規(guī)作圖無(wú)法完成三等分任意角。另外，小組C還將銳角推廣至鈍角，將方法進(jìn)行一般化。

（二）課程訪(fǎng)談

課程結(jié)束后教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行訪(fǎng)談，主要圍繞以下三個(gè)方面展開(kāi)。

1.課程前學(xué)習(xí)情況

師：在學(xué)習(xí)課程之前，你對(duì)古希臘三大作圖問(wèn)題、折紙?jiān)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用了解得多嗎？

生1：在課程前對(duì)于古希臘三大作圖問(wèn)題與折紙?jiān)跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用并不了解，幾乎從未聽(tīng)說(shuō)過(guò)。

由此可以看出，學(xué)生對(duì)于拓展性的數(shù)學(xué)知識(shí)了解較少，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中更多的是被動(dòng)接受課堂中教師講授的知識(shí)內(nèi)容。

2.學(xué)習(xí)過(guò)程中自我感受

師：你自我感覺(jué)對(duì)課程內(nèi)容掌握得怎么樣？

生2：課程內(nèi)容還是有一定難度，需要課后進(jìn)一步鉆研。

師：能說(shuō)說(shuō)你用課題研究的方式學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程和感想嗎？

生2：這次課程研究了一個(gè)數(shù)學(xué)平面幾何的問(wèn)題。從猜想到平面圖，再到動(dòng)手折紙和證明，我的思維方式有了一定提升。在研究過(guò)程中，和小組成員一起查資料進(jìn)行交流，開(kāi)動(dòng)腦筋，產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)和題目解法新思路，是我覺(jué)得這次學(xué)習(xí)收獲最多的。

可以看出，學(xué)生對(duì)于STEAM項(xiàng)目式課程的教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方法有較高認(rèn)可度，這說(shuō)明教師通過(guò)精選內(nèi)容、創(chuàng)設(shè)良好的項(xiàng)目情境、鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，能使學(xué)生學(xué)習(xí)情緒高漲，提升學(xué)生自我效能感。

3.課程后的收獲

師：在本課程的學(xué)習(xí)中你最大的收獲是什么？可以跟我們分享下你的理由嗎？

生1：接觸到了用折紙解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，第一次獨(dú)自編寫(xiě)小論文，之前不了解折紙居然還可以解高次方程，覺(jué)得理科魅力好大。

生2：提高了自己的思維能力和管理能力，因?yàn)樽约喊才帕烁鱾€(gè)組員的任務(wù)以及對(duì)于每個(gè)報(bào)告各部分的時(shí)間和內(nèi)容，然后提出了對(duì)于鈍角的思考并加以試驗(yàn)。

可以看出，STEAM項(xiàng)目式課程將多學(xué)科知識(shí)巧妙整合，學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)通過(guò)猜想、探究、實(shí)踐、反思，有效提升了問(wèn)題解決能力。

五、反思與總結(jié)

（一）STEAM項(xiàng)目式課程有助于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

在STEAM項(xiàng)目式課程中，以學(xué)生為主體，教師創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境，借助信息技術(shù)，將學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)項(xiàng)目化，促使學(xué)生主動(dòng)參與，從知識(shí)的接收者轉(zhuǎn)變?yōu)閱?wèn)題的創(chuàng)造者、解決者。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不僅能理解知識(shí)的本質(zhì)，更能追求學(xué)習(xí)的真正意義。［6］本研究設(shè)計(jì)的基于數(shù)學(xué)史的STEAM項(xiàng)目式課程旨在讓學(xué)生在項(xiàng)目活動(dòng)的推進(jìn)中經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—解決問(wèn)題”的一般過(guò)程，在深入思考中突出理性探索、創(chuàng)新與合作精神等要素，形成高階思維和深度學(xué)習(xí)品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問(wèn)題方式方法的轉(zhuǎn)變。

（二）STEAM項(xiàng)目式課程促進(jìn)學(xué)生多面能力與素養(yǎng)

我國(guó)提出發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的要求，包括關(guān)注學(xué)生個(gè)性化、多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求，注重培養(yǎng)學(xué)生社會(huì)責(zé)任感，提升終身學(xué)習(xí)能力、自主發(fā)展能力和溝通合作能力。［1］本文設(shè)計(jì)的STEAM項(xiàng)目式課程通過(guò)多學(xué)科融合，打破過(guò)去單一討論數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)模式，設(shè)計(jì)多樣性課程，使學(xué)生在文化基礎(chǔ)、自主探究、社會(huì)參與等方面共同提升，促進(jìn)學(xué)生多面能力與素養(yǎng)的發(fā)展。