在“教—學—評”一致性中落實合情推理

楊秀琴

［摘 要］為了落實“教—學—評”一致性，以人教版教材五年級下冊“因數和倍數”單元教學為例，通過確定素養(yǎng)導向的教學目標、學習起點、學習路徑、單元整體教學思考及核心課時任務設計，探尋適合學生學習、能發(fā)展學生合情推理能力的教學路徑。

［關鍵詞］因數和倍數；“教—學—評”一致性；合情推理

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0078-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）新增了“為什么教”“教什么”和“教到什么程度”，同時提出了“教—學—評”一致性?！耙驍岛捅稊怠眴卧侨私贪娼滩奈迥昙壪聝缘诙卧慕虒W內容，本單元的主要內容包括“因數和倍數”“2、5和3的倍數的特征”“奇數和偶數”“質數和合數”“分解質因數”“公因數和最大公因數”“公倍數和最小公倍數”等，為學生學習“分數的基本性質”“約分和通分”“分數四則運算”等內容做好準備。教師在實際教學活動中，如何基于學生的學情，設計合理的學習路徑，發(fā)展學生的合情推理能力？筆者從“教—學—評”一致性的角度對“因數和倍數”單元整體教學活動進行了思考。

一、確定素養(yǎng)導向的教學目標

1.單元教學內容概述

人教版教材五年級下冊第二單元“因數和倍數”單元的主要教學目標有五點。（1）理解因數和倍數的概念，能夠說明哪些數是哪些數的因數，哪些數是哪些數的倍數。（2）在獨立探究中習得2、5和3的倍數的特征，讓學生能準確判斷2、5和3的倍數，發(fā)展學生的數感。（3）認識質數和合數，能從1到100的自然數中找出質數和合數，并能熟練判斷哪些數是20以內的質數，哪些數是20以內的合數。（4）了解相關概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，在概念的建立和運用過程中逐步培養(yǎng)數學抽象能力和推理能力。（5）認識奇偶數，能夠準確判斷奇偶數，通過探索奇偶數相加的結果是奇數還是偶數，豐富解決問題的策略。

蘇教版教材五年級下冊第三單元“因數與倍數”單元的主要教學目標有四點。（1）體驗探究除0外的自然數的特征，理解除數和倍數的含義；能求出100以內自然數的所有因數，以及能在1到100的自然數中找出10以內某個數的所有倍數；知道2、5和3的倍數的性質，能判斷某個數是否是2、5和3的倍數；了解奇偶數、質數和合數的意義，會分解質因數。（2）通過操作、交流、探索等活動，認識公因數和最大公因數、公倍數和最小公倍數；能找出100以內任意兩個數的最大公因數和10以內任意兩個數的最小公倍數。（3）在探索和發(fā)現數學知識的過程中獲得經驗，培養(yǎng)觀察、比較、分析和推理的能力，體驗一些簡單的數學思想方法，進一步加深對數學的理解。（4）在數學學習的過程中，培養(yǎng)積極與他人合作、交流的意識，體驗學習數學的樂趣，增強學習數學的自信心。

兩個版本的教材都提到了“因數和倍數的含義”“2、5和3的倍數的特征”“質數和合數”“奇數和偶數”等內容。人教版教材把分解質因數作為補充知識，安排在“你知道嗎？”；把“公因數和最大公因數”“公倍數和最小公倍數”安排在第四單元“分數的意義和性質”中，讓學生學過后能馬上應用到約分和通分中，有利于整除知識的教學。

由此可知，“因數和倍數”單元的教學內容主要有兩個方面。（1）認識因數和倍數的含義，知道2、5和3的倍數的特征。（2）理解奇偶數、質數和合數的含義，會分解質因數。因此，可將“公因數和最大公因數”“公倍數和最小公倍數”等內容移到第四單元“分數的意義和性質”中教學。

2.確定單元核心目標

“因數與倍數”單元通過倍數的知識引出2的倍數的特征、5的倍數的特征、3的倍數的特征，通過2的倍數的特征引出奇數和偶數；通過因數的知識引出質數和合數，以及分解質因數。學生在學習本單元時反復經歷觀察、比較和歸納等活動，得出因數和倍數、奇數和偶數、質數和合數的概念，以及2、5和3的倍數的特征。

基于以上分析，確定本單元的核心目標：（1）建構倍數的概念，認識奇數和偶數。（2）建構因數的概念，認識質數和合數。

3.單元核心目標具體化

（1）建構倍數的概念

對于任意整數a，b，都存在整數n，r（其中r＜b），使a=nb+r，當r=0時，我們就說a能被b整除（或b能整除a），a是b的倍數，b是a的因數。因此，整除、倍數和因數是同一數學事實的不同表示。對學生而言，“誰能被誰整除”和“誰能整除誰”陌生又拗口，因此說成“誰是誰的倍數”和“誰是誰的因數”更符合學情。蘇教版教材雖然沒有給出倍數和因數的定義，但是通過乘法算式幫助學生認識倍數和因數。

在學生認識倍數的過程中，教師要設計豐富的活動幫助學生在觀察、比較和歸納中建立倍數的概念。學生認識倍數后，就能借助倍數的知識繼續(xù)探究“求一個數的倍數”“2、5和3的倍數的特征”“奇數和偶數”等。

（2）建構因數的概念

因數和倍數是一組具有相互依存關系的概念。在學生認識因數的過程中，教師要讓學生在觀察和比較中總結出乘數是積的因數，除數和商是被除數的因數，從而建構因數的概念。學生認識因數后，就能借助因數的知識繼續(xù)探究“求一個數的因數”“認識質數和合數”“分解質因數”等。

二、確定學習起點

為了了解學生的學習起點，筆者對本校五年級280名學生進行了前測。

1.倍數的概念理解情況

根據倍數的概念前測及評價框架（見表1），筆者發(fā)現62.9%的學生處于水平0，他們認為“倍數就是一組數里最大的數”“倍數就是幾倍”“倍數就是乘法中的積”“倍數就是除法中的被除數”。25%的學生處于水平1，他們能結合乘法或除法算式說明倍數的概念，如根據算式2×6=12知道“12是2的倍數，12是6的倍數”。12.1%的學生處于水平2，他們能結合乘法或除法算式說明倍數的概念，如根據算式2×6=12知道12是2和6的倍數，2和6是12的因數。沒有學生達到水平3和水平4。

2.因數的概念理解情況

根據因數的概念前測及評價框架（見表2），筆者發(fā)現78.9%的學生處于水平0，他們認為因數就是“誰是誰的幾倍”，或是認為小數中也有因數。18.9%的學生處于水平1，他們能結合乘法或除法算式說明因數的概念，如根據算式2×6=12知道2是12的因數，6是12的因數。2.2%的學生處于水平2，他們能結合乘法或除法算式說明倍數的概念，如根據算式2×6=12知道12是2和6的倍數，2和6是12的因數。沒有學生達到水平3。

通過前測，筆者發(fā)現學生對倍數的概念了解更多，這可能是由于學生在三年級時學習了“倍的認識”；學生對因數了解較少，較多的學生不能用畫圖或舉例子的方法說明因數的概念。因此，教師在教學中要讓學生在觀察和比較中糾正對“倍數和因數”的錯誤認知，建立正確的概念認知。

三、分析學習路徑

在研究教材和學情的基礎上，筆者微調并優(yōu)化了原來的單元教學路徑。

首先，調整教學順序。蘇教版教材中“因數和倍數”一課，第一層次是讓學生在乘法算式中整體感知因數和倍數的意義及其相互關系，第二層次是探究求一個數的因數的方法，第三層次是探究求一個數的倍數的方法。由于學生倍數知識的基礎好于因數知識的，因此保持第一層次不變，將第二層次調整為探究求一個數的倍數的方法，第三層次調整為探究求一個數的因數的方法。

其次，整合相關教學內容，使其更有銜接性。比如“因數和倍數”一課，除了教學認識因數和倍數、求一個數的倍數的方法、求一個數的因數的方法，還可以讓學生在掌握求一個數的倍數的方法后寫出2和5的倍數的特征；教學“2和5的倍數的特征”后增加“探究活動：兩數之和的奇偶性”一課，讓學生在猜想和驗證中探究兩數之和的奇偶性，滲透解決問題的策略，發(fā)展學生的推理能力。

最后，調整“公因數和最大公因數”“公倍數和最小公倍數”等教學內容，并把約分和通分整合在一起。為了讓學生在學習概念后馬上有機會運用概念解決問題，將“公因數和最大公因數”“公倍數和最小公倍數”等內容移動到“分數的意義和性質”單元中，讓學生運用公因數、公倍數等知識進行約分和通分，促進學生理解和記憶。

四、單元整體教學思考及核心課時任務設計

綜上，“因數和倍數”單元的教學內容重組如下：認識倍數和因數—探究2和5的倍數的特征—探究兩數之和的奇偶性—探究3的倍數的特征—認識質數和合數—分解質因數。這樣的教學編排不僅減少了同一單元中概念過多、抽象程度過高的現象，還讓學生在初步感知、深刻理解和鞏固運用中建立數學概念。每節(jié)課的學習目標和學習任務見表3。

綜上所述，不同版本的數學教材為教師提供了多種教學思路，教師要在《課程標準》的引領下，根據學生學情重新調整教學內容，設計人人可參與的大任務，讓學生在探究活動中不僅學習知識和發(fā)展合情推理能力，還要以“教—學—評”一致性促進數學課堂和教學內容的改革；讓學生在學會合作、學會交流和學會包容中感受數學學科內在的精神價值，落實《課程標準》中立德樹人的根本任務。

（責編 楊偲培）