基于虛擬中心距原理的鼓形蝸桿砂輪成形修整方法

李國(guó)龍,冉全福,何 坤,王時(shí)龍,操 兵

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044;2.重慶工商大學(xué) 制造裝備機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400067)

0 引言

面齒輪副主要應(yīng)用于航空領(lǐng)域(如直升機(jī)減速器),具有傳動(dòng)比大、重合度高、結(jié)構(gòu)緊湊、動(dòng)力分流效果好、對(duì)安裝誤差不敏感等優(yōu)點(diǎn)[1]。作為直升機(jī)動(dòng)力傳動(dòng)裝置的核心零件之一,面齒輪必須在高速、重載的工況下保持優(yōu)良的性能,這極大提高了對(duì)面齒輪齒面精度的要求。

磨削是提高齒輪齒面精度的核心工序。面齒輪磨削加工主要有碟形砂輪磨削和蝸桿砂輪磨削兩種方法,相比碟形砂輪磨削,蝸桿砂輪磨削可實(shí)現(xiàn)連續(xù)分度,具有更高的加工效率。LITVIN等[2-5]研究了面齒輪蝸桿砂輪磨削工藝,設(shè)計(jì)了面齒輪蝸桿砂輪磨齒機(jī),提出計(jì)算蝸桿砂輪型面和避免蝸桿型面奇異點(diǎn)的方法,闡述了面齒輪蝸桿砂輪的成形修整和平面修整原理。李政民卿等[6]和王延忠等[7]研究面齒輪滾磨刀具的基蝸桿型面計(jì)算方法,但未對(duì)其型面的奇異性進(jìn)行詳細(xì)分析。高金忠等[8-9]在前人基礎(chǔ)上研究了齒數(shù)、模數(shù)等設(shè)計(jì)參數(shù)影響面齒輪滾磨刀具基蝸桿齒廓奇異點(diǎn)位置的規(guī)律,分別基于單參數(shù)包絡(luò)和雙參數(shù)包絡(luò)提出兩種蝸桿砂輪修整方法,然而該方法尚停留在理論階段。唐進(jìn)元等[10-12]基于微分幾何和嚙合原理研究了面齒輪齒面和蝸桿砂輪型面的曲面特性,給出磨削過(guò)程中二者曲面點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;此外,針對(duì)現(xiàn)有面齒輪蝸桿砂輪磨削方法中可能出現(xiàn)面齒輪工作齒面不被完全覆蓋的現(xiàn)象,提出面齒輪蝸桿砂輪磨削多步法,并進(jìn)行了VERICUT仿真驗(yàn)證,仿真結(jié)果證明多步磨削可以實(shí)現(xiàn)面齒輪齒面全覆蓋。郭輝等[13-14]研究了在六軸數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)磨削面齒輪的方法,選擇成形金剛滾輪修整蝸桿砂輪,該方法在原理上存在誤差,只能得到近似的砂輪型面;另外,提出利用標(biāo)準(zhǔn)錐面滾輪修整面齒輪蝸桿砂輪的方法,該方法雖然提高了金剛滾輪的通用性,但是每次只能修整蝸桿砂輪齒面上的一條螺旋線,修整效率較低。

綜上所述,面齒輪蝸桿砂輪磨削的主要難點(diǎn)是蝸桿砂輪型面的計(jì)算和修整。在蝸桿砂輪型面計(jì)算方面,目前的研究大都基于嚙合原理,需要求解復(fù)雜的嚙合方程且計(jì)算結(jié)果受到奇異點(diǎn)的限制;在蝸桿砂輪修整方面,現(xiàn)有面齒輪蝸桿砂輪修整方法大多需要在專用機(jī)床上進(jìn)行,缺乏通用性。

為此,本文研究了在普通蝸桿砂輪磨齒機(jī)上磨削面齒輪時(shí)的蝸桿砂輪型面計(jì)算和修整問(wèn)題。首先,討論了磨削面齒輪的鼓形蝸桿砂輪演變計(jì)算方法,采用母線螺旋掃掠方式建立鼓形蝸桿砂輪型面方程;其次,提出基于虛擬中心距加工原理的鼓形蝸桿砂輪成形修整方法,通過(guò)四軸聯(lián)動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)砂輪偏擺,從而完成鼓形蝸桿砂輪的修整;最后,利用VERICUT對(duì)所提修整方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪型面計(jì)算

1.1 面齒輪蝸桿砂輪型面計(jì)算原理

面齒輪蝸桿砂輪的型面計(jì)算方法基于共軛曲面包絡(luò)理論,通過(guò)求解嚙合方程對(duì)蝸桿砂輪型面進(jìn)行解析計(jì)算。從共軛包絡(luò)的角度看,面齒輪蝸桿砂輪型面由插齒刀經(jīng)單參數(shù)包絡(luò)而成,插齒刀的端面齒廓為標(biāo)準(zhǔn)漸開線,如圖1所示,齒廓rs1的方程表示為

(1)

式中:rb為插齒刀基圓半徑;θs和us為插齒刀齒面的Gauss坐標(biāo);“+”對(duì)應(yīng)右側(cè)齒形,“-”對(duì)應(yīng)左側(cè)齒形;θos為插齒刀齒槽半角,

(2)

式中Ns和α0分別為插齒刀齒數(shù)和分度圓壓力角。

插齒刀包絡(luò)形成蝸桿砂輪齒面時(shí),插齒刀與蝸桿砂輪之間處于假想的內(nèi)嚙合狀態(tài),如圖2所示。Om-XmYmZm為與插齒刀支架固聯(lián)的固定坐標(biāo)系,Os1-Xs1Ys1Zs1為插齒刀的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系;Oa-XaYaZa為與蝸桿砂輪支架固聯(lián)的固定坐標(biāo)系,Ow1-Xw1Yw1Zw1為蝸桿砂輪的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系;On1-Xn1Yn1Zn1為輔助坐標(biāo)系;Ews為蝸桿砂輪軸線與插齒刀軸線之間的最短距離,λw為蝸桿砂輪螺旋升角,φs和φw分別為插齒刀和蝸桿砂輪的轉(zhuǎn)角,二者之間的關(guān)系為

(3)

式中Ns和Nw分別為插齒刀齒數(shù)和蝸桿砂輪頭數(shù)。

蝸桿砂輪型面rw1在坐標(biāo)系Ow1-Xw1Yw1Zw1中表示為:

(4)

rw1(θs,φs)=rw1(φs,θs,us(φs,θs))。

1.2 面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪演變計(jì)算法

1.2.1 鼓形蝸桿砂輪型面演變過(guò)程

利用共軛曲面包絡(luò)原理計(jì)算面齒輪蝸桿砂輪型面時(shí),需要求解復(fù)雜的嚙合方程,且計(jì)算結(jié)果受奇異點(diǎn)的限制。本文類比齒條插刀向普通圓柱蝸桿砂輪演變的過(guò)程,將面齒輪插齒刀演變?yōu)楣男挝仐U砂輪,用于面齒輪的連續(xù)展成磨削。

建立由插齒刀向鼓形蝸桿砂輪演變成形的坐標(biāo)系,如圖3所示。其中,Ow2-Xw2Yw2Zw2為與鼓形蝸桿砂輪固連的動(dòng)坐標(biāo)系,Ob-XbYbZb和On2-Xn2Yn2Zn2均為固定坐標(biāo)系且YbObZb平面和Yn2On2Zn2平面分別與蝸桿軸截面和法截面重合,Os2-Xs2Ys2Zs2為假想齒形線的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系,Op-XpYpZp為假想齒形線的固定坐標(biāo)系。

在鼓形蝸桿基體法截面上構(gòu)造一對(duì)與插齒刀端面截廓一致的齒形線rs2,該齒形線方程在坐標(biāo)Os2-Xs2Ys2Zs2中表示為

rs2(θ)=

式中:rb為插齒刀基圓半徑;θ0為插齒刀齒槽半角;θ為漸開線變參數(shù);“+”對(duì)應(yīng)右側(cè)齒形,“-”對(duì)應(yīng)左側(cè)齒形。

以該對(duì)齒形線為母線,使母線一方面在法截面內(nèi)繞Os2Zs2軸勻速旋轉(zhuǎn),另一方面整體繞蝸桿軸線Ow2Zw2勻速旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)角分別為α和β,則從坐標(biāo)系Os2-Xs2Ys2Zs2到Ow2-Xw2Yw2Zw2的變換矩陣為

(7)

式中:λ0為蝸桿軸截面和法截面之間的夾角,即名義螺旋升角;E為OpYp軸與On1Zn1軸之間的最短距離,其值由蝸桿砂輪實(shí)際尺寸決定,可隨蝸桿砂輪最大外徑的變化而變化,使蝸桿砂輪徑向尺寸不受插齒刀尺寸的限制。

當(dāng)α與β滿足α/β=Nw/Ns(Ns為插齒刀齒數(shù),Nw為蝸桿頭數(shù))的關(guān)系時(shí),母線便可在鼓形蝸桿基體上掃掠形成鼓形蝸桿砂輪螺旋面rw2,表示為

(8)

1.2.2 鼓形蝸桿砂輪的螺旋升角

鼓形蝸桿螺旋升角(λw)定義為蝸桿螺旋線上某點(diǎn)的切向量與該點(diǎn)所在端截面的夾角。令鼓形蝸桿砂輪母線與分度圓交點(diǎn)為Q(-r,0,0),其中r表示齒形線分度圓半徑,Q點(diǎn)經(jīng)過(guò)1.2.1節(jié)所述的螺旋運(yùn)動(dòng)可形成一條螺旋線L(如圖4),螺旋線L的方程為

(9)

Q點(diǎn)在螺旋線上的任意位置時(shí),對(duì)β求偏導(dǎo),得螺旋線在其任意點(diǎn)的切矢量為

(10)

鼓形蝸桿上過(guò)Q點(diǎn)的端截圓在Q點(diǎn)的切矢量為

(11)

(12)

可見(jiàn)鼓形蝸桿的螺旋升角λw隨著螺旋線上點(diǎn)位置的變化而不斷變化,取螺旋線與鼓形蝸桿最大端截圓交點(diǎn)Q0處的螺旋升角為鼓形蝸桿砂輪的名義螺旋升角,名義螺旋升角即為鼓形蝸桿軸截面和法截面的夾角,用λ0表示,將β=0代入式(12)并化簡(jiǎn)得

(13)

1.3 演變法與傳統(tǒng)共軛包絡(luò)法的計(jì)算實(shí)例

表1 蝸桿砂輪設(shè)計(jì)參數(shù)

傳統(tǒng)共軛包絡(luò)法所得蝸桿砂輪型面用rw1(θs,φs)表示,演變法所得鼓形蝸桿砂輪型面用rw2(θ,β)表示,在包絡(luò)法與演變法的兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中,如果能使兩者蝸桿砂輪的動(dòng)坐標(biāo)系Ow1-Xw1Yw1Zw1和Ow2-Xw2Yw2Zw2始終保持重合,并使θs=θ,φs=β,則兩種方法所得的蝸桿砂輪型面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),二者的計(jì)算偏差可以表示為演變法所得型面點(diǎn)與共軛包絡(luò)法所得型面點(diǎn)的矢量差在蝸桿砂輪型面法向上的投影,即

e=[rw2(θ,β)-rw1(θs,φs)]·nw1。

(14)

式中nw1為包絡(luò)法所得蝸桿砂輪型面的法向量,

nw1=Lws(φs)ns。

(15)

式中:Lws(φs)為包絡(luò)法中的坐標(biāo)變換矩陣Mw1s1的3階前主子矩陣;ns為插齒刀齒面的單位法向量。

以單側(cè)齒面為例,計(jì)算演變法與共軛包絡(luò)法的型面偏差,如圖6所示。可見(jiàn),型面計(jì)算偏差的最大值為2.212×10-17mm,說(shuō)明演變法計(jì)算鼓形蝸桿砂輪時(shí)具有較高的計(jì)算精度,且相對(duì)傳統(tǒng)共軛包絡(luò)法可避免求解復(fù)雜的嚙合方程,其計(jì)算結(jié)果不受奇異點(diǎn)限制。

2 鼓形蝸桿砂輪的成形修整方法

2.1 鼓形蝸桿砂輪成形修整運(yùn)動(dòng)

因?yàn)楣男挝仐U砂輪型面由其法截面上的母線經(jīng)螺旋運(yùn)動(dòng)掃掠而成,所以可以利用與母線輪廓相同的成形金剛滾輪,在蝸桿砂輪法截面上對(duì)其進(jìn)行修整。圖7所示為成形金剛滾輪在鼓形蝸桿砂輪法截面上修整蝸桿砂輪的運(yùn)動(dòng)示意圖,鼓形蝸桿砂輪的成形修整運(yùn)動(dòng)實(shí)質(zhì)上與式(8)描述的螺旋掃掠運(yùn)動(dòng)一致。一方面,鼓形蝸桿砂輪繞其軸線旋轉(zhuǎn),對(duì)應(yīng)1.2.1節(jié)螺旋掃掠運(yùn)動(dòng)中母線繞蝸桿軸線的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng);另一方面,鼓形蝸桿砂輪的外緣輪廓為圓弧而非直線,因此以成形金剛滾輪在砂輪軸向相對(duì)于砂輪的圓弧偏擺運(yùn)動(dòng)為修整沖程運(yùn)動(dòng),偏擺中心Os與砂輪中心Ow不重合,該修整沖程運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)1.2.1節(jié)螺旋掃掠運(yùn)動(dòng)中母線在法截面繞OsZs軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

2.2 基于普通蝸桿砂輪磨齒機(jī)的成形修整方法

常用的普通圓柱齒輪蝸桿砂輪磨齒機(jī)結(jié)構(gòu)如圖8所示,主要的運(yùn)動(dòng)軸有X1徑向進(jìn)給軸、Y1切向進(jìn)給軸、Z1軸向進(jìn)給軸,以及A1刀架回轉(zhuǎn)軸、B1砂輪旋轉(zhuǎn)軸、C1工件旋轉(zhuǎn)軸,可以實(shí)現(xiàn)X1,Y1,Z1,A1,B1,C1六軸聯(lián)動(dòng)。除此之外,還有B2滾輪旋轉(zhuǎn)軸和C2滾輪偏擺軸。

由于普通蝸桿砂輪磨齒機(jī)的金剛滾輪偏擺軸C2的偏擺角度有限,無(wú)法滿足修整運(yùn)動(dòng)所需的大幅度偏擺的要求,要在不改變機(jī)床整體結(jié)構(gòu)的情況下,在普通蝸桿砂輪磨齒機(jī)上對(duì)鼓形蝸桿砂輪進(jìn)行修整,考慮利用砂輪的運(yùn)動(dòng)代替滾輪的偏擺實(shí)現(xiàn)二者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)以完成修整沖程。如圖9所示,在修整時(shí)將金剛滾輪置于砂輪正上方,使蝸桿砂輪在豎直平面相對(duì)金剛滾輪作偏心擺動(dòng),偏擺中心為Os,基于虛擬中心距加工原理[15-16],將砂輪的偏心擺動(dòng)分解為兩個(gè)運(yùn)動(dòng),一是砂輪繞A1軸中心OA轉(zhuǎn)動(dòng),由刀架回轉(zhuǎn)軸A1實(shí)現(xiàn),二是砂輪在Y-Z平面的平動(dòng),由切向進(jìn)給軸Y1和軸向進(jìn)給軸Z1聯(lián)動(dòng)實(shí)現(xiàn)。

因此在修整鼓形蝸桿砂輪時(shí),首先利用C1軸使?jié)L輪繞豎直方向擺動(dòng)一個(gè)與鼓形蝸桿砂輪名義螺旋升角相同的角度,在法截面上對(duì)砂輪進(jìn)行修整;其次,控制A1,Y1,Z1,B1四軸聯(lián)動(dòng),使砂輪在勻速旋轉(zhuǎn)的同時(shí)相對(duì)滾輪作偏心擺動(dòng),從而修整出鼓形蝸桿螺旋面。

2.3 修整運(yùn)動(dòng)各軸的行程關(guān)系

基于虛擬中心距的運(yùn)動(dòng)分解原理,結(jié)合機(jī)床的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)特性,在普通蝸桿砂輪磨齒機(jī)上修整鼓形蝸桿砂輪的運(yùn)動(dòng)可用圖10所示的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖描述。以圖10a中的位置為參考點(diǎn),在參考點(diǎn)砂輪刀架水平,砂輪中心Ow與滾輪中心Od在豎直方向處于同一直線上,A1軸旋轉(zhuǎn)中心OA與滾輪中心Od在水平方向存在偏距et,該偏距為常數(shù),取決于機(jī)床結(jié)構(gòu),Os為砂輪偏擺中心。根據(jù)運(yùn)動(dòng)分解原理,對(duì)修整過(guò)程中砂輪在機(jī)床上的運(yùn)動(dòng)作如圖10b所示的分解,可計(jì)算出砂輪從參考點(diǎn)0偏擺到任意點(diǎn)i時(shí)各軸的行程。

當(dāng)B1軸帶動(dòng)蝸桿砂輪轉(zhuǎn)過(guò)角度Δbi時(shí),A1軸帶動(dòng)砂輪刀架旋轉(zhuǎn)角度Δai,砂輪中心從Ow0到達(dá)Ow'的位置,Y1軸的方向也相應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)Δai,同時(shí)Y1軸和Z1軸分別運(yùn)動(dòng)Δyi和Δzi的距離,使砂輪中心到達(dá)Owi位置,值得注意的是,三軸的運(yùn)動(dòng)同時(shí)完成,Ow'為虛擬點(diǎn),實(shí)際修整過(guò)程中砂輪中心并不會(huì)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)。如圖10b所示,A1,Y1,Z1軸的行程與B1軸的行程之間的關(guān)系表示為:

(16)

式中:Ns為與鼓形蝸桿砂輪對(duì)應(yīng)的插齒刀齒數(shù);et為A1軸旋轉(zhuǎn)中心OA與滾輪中心Od在水平方向的偏距;E為偏擺中心Os與砂輪中心Ow之間的距離。

3 鼓形蝸桿砂輪成形修整加工仿真

為了驗(yàn)證方法的正確性,利用VERICUT對(duì)所提鼓形蝸桿砂輪成形修整方法進(jìn)行加工仿真。VERICUT是一款專業(yè)的數(shù)控加工仿真軟件,它可以從幾何角度高精度地模擬加工過(guò)程,其Auto-diff功能可比較工件仿真加工模型與設(shè)計(jì)模型之間的偏差,常用于對(duì)加工工藝和數(shù)控程序的正確性進(jìn)行仿真校驗(yàn)[17]。

以表1所示的蝸桿砂輪設(shè)計(jì)參數(shù)為仿真實(shí)例,設(shè)計(jì)軸截面廓形與插齒刀端面截廓相同的成形金剛滾輪,搭建普通蝸桿砂輪磨齒機(jī)加工仿真模型,配置仿真控制系統(tǒng)為西門子840D數(shù)控系統(tǒng),根據(jù)式(16)計(jì)算各軸行程并編制加工仿真程序,然后運(yùn)行程序進(jìn)行鼓形蝸桿砂輪修整仿真驗(yàn)證,修整仿真過(guò)程和結(jié)果如圖11所示。

利用VERICUT的Auto-diff功能比較仿真結(jié)果與設(shè)計(jì)模型,結(jié)果如圖12所示?？梢?jiàn)仿真結(jié)果模型中,外緣部分存在“過(guò)切”,槽底部分存在“殘留”,但殘留和過(guò)切均不超過(guò)0.01 mm。在磨削面齒輪時(shí),蝸桿砂輪的主要工作面為螺旋面,外緣和槽底不會(huì)對(duì)面齒輪齒面磨削精度產(chǎn)生影響,而由比較結(jié)果可知螺旋面上的偏差均小于0.001 mm,可以證明所提修整方法能夠在普通蝸桿砂輪磨齒機(jī)上有效實(shí)現(xiàn)對(duì)面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪的修整。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)面齒輪的蝸桿砂輪磨削加工,研究了面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪的型面計(jì)算和修整方法。主要工作如下:

(1)針對(duì)面齒輪蝸桿砂輪的型面計(jì)算方法,將面齒輪插齒刀向蝸桿砂輪演變,建立了面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪的型面方程,比較了演變法與傳統(tǒng)共軛包絡(luò)法的蝸桿砂輪型面計(jì)算結(jié)果,并分析了兩者的計(jì)算偏差,結(jié)果表明演變法計(jì)算精度高且能避免奇異點(diǎn)的限制。

(2)基于虛擬中心距加工原理,提出在普通蝸桿砂輪磨齒機(jī)上對(duì)鼓形蝸桿砂輪進(jìn)行成形修整的方法,將砂輪的偏心擺動(dòng)作為修整沖程運(yùn)動(dòng),通過(guò)B1-A1-Y1-Z1四軸聯(lián)動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)了對(duì)鼓形蝸桿砂輪螺旋面的修整。

(3)應(yīng)用VERICUT加工仿真軟件對(duì)所提鼓形蝸桿砂輪成形修整方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證,結(jié)果表明所提修整方法能夠在普通蝸桿砂輪磨齒機(jī)上有效修整面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪,使面齒輪磨削能夠在普通蝸桿磨齒機(jī)上進(jìn)行,提高了磨齒機(jī)的通用性。