不規(guī)則銅鉬礦顆粒斷裂強(qiáng)度分布實(shí)驗(yàn)研究

周強(qiáng)，汪軼凡，肖慶飛，劉向陽，邵云豐，黃守向，王慶凱，鄒海

1.昆明理工大學(xué) 國土資源工程學(xué)院，云南 昆明 650093；

2.礦冶過程自動控制技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102628；

3.礦冶過程自動控制技術(shù)北京重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102628

引 言

不規(guī)則礦石顆粒的斷裂是碎礦與磨礦過程中的常見現(xiàn)象，具有重要的理論研究與工業(yè)應(yīng)用價(jià)值。隨著時(shí)代快速發(fā)展，碎磨設(shè)備趨于大型化和復(fù)雜化，但破碎過程中的能量利用效率依然很低。許多學(xué)者對單顆粒破碎、顆粒床破碎、沖擊破碎和球磨4 種破碎方式的能量利用效率進(jìn)行研究[1]，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：以單晶斷裂的比表面能作為基準(zhǔn)來評估不同破碎方式的能量利用效率，其中不規(guī)則單顆粒破碎1.0%，顆粒床破碎0.7%，沖擊破碎0.5%，球磨0.15%。此外，影響顆粒破碎性的因素有很多，主要取決于顆粒的物理性質(zhì)：粒徑、級配、形狀、孔隙比、斷裂強(qiáng)度等，導(dǎo)致顆粒的破碎過程是復(fù)雜難測的，目前還未有數(shù)學(xué)模型能描述所有破碎過程。因此如何提高破碎過程的能量利用效率與構(gòu)建統(tǒng)一的破碎數(shù)學(xué)模型是目前亟待解決的問題[1-2]。

構(gòu)建描述礦石斷裂過程的破碎數(shù)學(xué)模型需要確定斷裂概率和斷裂函數(shù)[3]。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對斷裂概率與斷裂函數(shù)開展了大量的實(shí)驗(yàn)研究，取得了重要的研究成果[4-7]：根據(jù)實(shí)驗(yàn)設(shè)備的不同，可以選擇對應(yīng)的實(shí)驗(yàn)工況來確定斷裂概率和斷裂函數(shù)。例如，對于顎式破碎機(jī)、圓錐破碎機(jī)和高壓輥磨機(jī)等準(zhǔn)靜態(tài)加載設(shè)備，可以通過壓力實(shí)驗(yàn)機(jī)來確定顆粒的斷裂概率與斷裂函數(shù)[8]；對于沖擊式破碎機(jī)、球磨機(jī)等加載速率高的設(shè)備，可以通過落重沖擊實(shí)驗(yàn)、雙擺錘實(shí)驗(yàn)或UFLC 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)來確定斷裂概率與斷裂函數(shù)。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：即使礦石顆粒尺寸一致、性質(zhì)相同，其斷裂強(qiáng)度與破碎產(chǎn)品粒度分布也會呈現(xiàn)出顯著的離散性，主要原因是顆粒內(nèi)部的原生缺陷在大小、分布、成核、拓展和匯聚上存在很大的隨機(jī)性[9-12]。

顆粒強(qiáng)度的定義方法有很多種，最直觀的方式是以最大破碎力來定義顆粒強(qiáng)度[13]，相關(guān)數(shù)據(jù)可以直接通過實(shí)驗(yàn)測量得到，但通過不同的處理方式，我們也可以通過斷裂應(yīng)力[10]、斷裂能[14]和斷裂比能[15]來定義強(qiáng)度。利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對不規(guī)則顆粒強(qiáng)度進(jìn)行分析時(shí)，為保證所得數(shù)值的可信度，必須有足夠多的樣本數(shù)據(jù)。國內(nèi)學(xué)者通常選用雙參數(shù)或三參數(shù)的Weibull分布應(yīng)用于描述顆粒的強(qiáng)度分布以及破碎產(chǎn)品粒度分布[7,9-10]。因此分析不規(guī)則顆粒的斷裂強(qiáng)度時(shí)，可以利用該統(tǒng)計(jì)函數(shù)。除此之外，本文還采用了其他統(tǒng)計(jì)函數(shù)去擬合顆粒的強(qiáng)度分布，如Logistic 分布[11]、Lognormal分布[12]等，通過比較選擇最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)函數(shù)來描述不規(guī)則銅鉬礦的強(qiáng)度分布。

選用最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)函數(shù)對不規(guī)則顆粒的強(qiáng)度分布進(jìn)行擬合，并對選擇函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行分析，建立了不規(guī)則銅鉬礦的選擇函數(shù)與顆粒尺寸關(guān)系的定量關(guān)系式。

對于顆粒強(qiáng)度的定義有很多種，但很少有學(xué)者深入研究對它們之間的關(guān)系，因此本文還對不同的強(qiáng)度定義進(jìn)行對比，分析并建立了它們之間的函數(shù)關(guān)系式。通過研究分析不規(guī)則顆粒斷裂概率與顆粒尺寸以及不同強(qiáng)度定義之間的關(guān)系，確定了選擇函數(shù)，為破碎模型的建立提供依據(jù)。

1 實(shí)驗(yàn)材料與實(shí)驗(yàn)方案

1.1 實(shí)驗(yàn)材料

實(shí)驗(yàn)研究對象為華泰龍不規(guī)則銅鉬礦石顆粒，銅鉬礦在常溫常壓下的密度為2.93×103kg/m3，平均抗壓強(qiáng)度為66.32 MPa，彈性模量平均為4.35×104MPa，泊松比為0.16，整體呈灰白色，含銅黃色金屬光澤顆粒。本次實(shí)驗(yàn)選用五個(gè)粒級進(jìn)行強(qiáng)度分布的研究，分別為0.9～2 mm、2～5 mm、5～8 mm、8～10 mm、10～12 mm，每個(gè)粒級選擇30～35 個(gè)不規(guī)則顆粒進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

1.2 實(shí)驗(yàn)方案

本次實(shí)驗(yàn)采用YCDW-5E 型電子伺服實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，該系統(tǒng)主要測量顆粒的最大破碎力以及斷裂能，可提供最大軸向壓力5 000 N，實(shí)驗(yàn)力測量范圍100～5 000 N，實(shí)驗(yàn)力示值精度為±1%，絲杠最大移動速度500 mm/min，最大壓縮空間800 mm，實(shí)驗(yàn)過程中砧板壓縮速度1 mm/min。實(shí)驗(yàn)裝置YCDW-5E 型電子伺服實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖1 所示，實(shí)驗(yàn)材料在加載前被放在上下壓頭之間，為減少摩擦，可在壓頭與試樣之間滴幾滴潤滑油。所有實(shí)驗(yàn)通過位移控制，加載速度低，慣性效應(yīng)可不計(jì)，固定上壓頭，下壓頭緩緩上升壓縮試樣。當(dāng)實(shí)驗(yàn)材料被完全破碎，或者檢測到軸向力發(fā)生急速下降現(xiàn)象時(shí)，裝置停止加載。該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的加載裝置承載能力較好，因此可忽略裝置自身變形的影響。電腦在加載過程中記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，后續(xù)通過軟件繪出力-位移曲線，該曲線將用來整理試樣的相關(guān)數(shù)據(jù)，例如最大破碎力以及對應(yīng)的斷裂能等。本次實(shí)驗(yàn)每個(gè)粒級的實(shí)驗(yàn)次數(shù)皆在30 次以上，共計(jì)150 余組實(shí)驗(yàn)。

圖1 試驗(yàn)裝置Fig.1 Testing device

1.3 顆粒強(qiáng)度計(jì)算方法

不同定義下固體顆粒強(qiáng)度可由最大破碎力、斷裂應(yīng)力、斷裂能、斷裂比能等來表示，其計(jì)算方法如下。

1.3.1 最大破碎力

最大破碎力是指物料發(fā)生災(zāi)難性破壞時(shí)所對應(yīng)的力，反映在接觸力-位移曲線上，如圖2 所示。Fc為最大破碎力，δc為最大破碎力對應(yīng)的位移。由于不規(guī)則礦石顆粒的不規(guī)則性，導(dǎo)致加載點(diǎn)附近產(chǎn)生應(yīng)力集中，產(chǎn)生局部破碎，因此需要滿足以下兩個(gè)條件則實(shí)驗(yàn)結(jié)束：（1）不規(guī)則顆粒與上下壓頭的接觸點(diǎn)之間出現(xiàn)貫穿性裂紋；（2）需要滿足圖2（a）中出現(xiàn)的“懸崖”（即急劇下降線），以保證不規(guī)則顆粒為宏觀的張拉性破壞。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，由于礦石顆粒的不規(guī)則性，其接觸力-位移曲線的類別也存在很大的差異。本文分析了150 條不規(guī)則銅鉬礦單顆粒破碎過程的接觸力與位移曲線特征，通過總結(jié)歸納，可將其特征定義成兩大類，如圖2（a）與（b）所示。

圖2 兩類銅鉬礦單顆粒壓縮破碎接觸力-位移曲線Fig.2 Two kinds of force-displacement curves of single copper-molybdenum particle crushing

第一類曲線：在加載初期會出現(xiàn)一段平坦區(qū)，此時(shí)處于重心穩(wěn)定期，實(shí)驗(yàn)力變化不大，在這個(gè)階段主要是對不規(guī)則顆粒位置的調(diào)整。隨后進(jìn)入彈性變形期，實(shí)驗(yàn)裝置不斷加大對顆粒的壓縮，并在實(shí)驗(yàn)過程中會發(fā)現(xiàn)顆粒表面與壓頭接觸部位的棱角發(fā)生斷裂，為局部斷裂，如圖2（a）箭頭1 所指位置，此時(shí)處于局部棱角剝離期。隨著接觸力繼續(xù)增大，當(dāng)實(shí)驗(yàn)力達(dá)到Fc時(shí)，顆粒發(fā)生完全斷裂，反映在力-位移曲線上則是載荷的突然跌落，如圖2（a）箭頭2 所指位置，此時(shí)處于完全斷裂期。箭頭3 所指位置反映的是加載裝置對顆粒的二次破碎，試樣處于二次破碎期，此時(shí)試樣破碎所需的力要小于Fc。這種曲線是較為標(biāo)準(zhǔn)的，我們可以很容易定義其最大破碎力。

第二類曲線：整個(gè)破碎實(shí)驗(yàn)過程會形成多個(gè)荷載峰值，且隨著軸向位移的增加，荷載峰值會逐漸水平，無減弱的趨勢。出現(xiàn)此類形態(tài)的接觸力-位移曲線時(shí)，需輔助高速攝影來確定不規(guī)則顆粒的最大破碎力，根據(jù)接觸點(diǎn)之間出現(xiàn)宏觀裂紋來確定。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，初始形狀扁平，形狀極不規(guī)則的顆粒會出現(xiàn)該類別的接觸力-位移曲線。

1.3.2 斷裂應(yīng)力

斷裂應(yīng)力被廣泛用來表征顆粒的強(qiáng)度。當(dāng)試樣是標(biāo)準(zhǔn)試件時(shí)，其與外界作用力接觸的面積容易測量，進(jìn)而確定斷裂應(yīng)力；但在實(shí)際應(yīng)用中，尤其對于不規(guī)則顆粒，接觸面積很難準(zhǔn)確測量，因此，有學(xué)者提出很多經(jīng)驗(yàn)公式[10]，通過經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)減小誤差來計(jì)算斷裂應(yīng)力。本文采用式（1）計(jì)算不規(guī)則顆粒斷裂應(yīng)力σc[16]：

式中：Fc為顆粒最大破碎力，N；da為顆粒的幾何平均徑，mm；π 取3.141 592 6。

1.3.3 斷裂能

如圖3 所示，在接觸力-位移曲線上，顆粒的形變程度與其承受的破碎力一一對應(yīng)，而斷裂點(diǎn)前的力-位移曲線的線下面積在數(shù)值上等同于斷裂能Ec，可以通過式（2）得到[14]：

圖3 斷裂能定義圖Fig.3 Fracture energy defines the diagram

式中：F為破碎力，N；δc為最大破碎力對應(yīng)的位移，m。

1.3.4 斷裂比能

斷裂比能Em為破壞單位質(zhì)量或體積所需要的能量，假定顆粒破壞前后尺寸近似為常數(shù)，可以根據(jù)式（3）計(jì)算[15]。

式中：Ec為顆粒斷裂能，J；ρ為顆粒密度，kg/m3；da為顆粒的幾何平均徑，m；π 取3.141 592 6。

1.3.5 斷裂概率計(jì)算方法

當(dāng)討論不規(guī)則顆粒的斷裂強(qiáng)度分布時(shí)，必須對足夠數(shù)量的樣本進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。對于有限數(shù)量的樣本，顆粒的斷裂概率可以通過概率估算因子P進(jìn)行計(jì)算[17]。

式中：n為實(shí)驗(yàn)樣品的總數(shù)；i為對所有試樣的強(qiáng)度數(shù)據(jù)進(jìn)行升序排列后某一個(gè)顆粒強(qiáng)度在序列中的排名。

2 結(jié)果與討論

2.1 不同定義下顆粒的強(qiáng)度分布

通過公式（4）計(jì)算出的斷裂概率，對不同定義下的強(qiáng)度數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析，得到不同定義下顆粒的強(qiáng)度分布，選取5～8 mm 銅鉬礦顆粒的強(qiáng)度分布圖進(jìn)行舉例，如圖4 所示。

圖4 不同定義下顆粒的強(qiáng)度分布Fig.4 Strength distribution of particles under different definitions

由圖4 所示，強(qiáng)度數(shù)據(jù)的分布集中中間及較低的部分，較大的強(qiáng)度數(shù)據(jù)稀疏。以圖4（a）為例，0～600 N之間就有33 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，而600～800 N 之間只有2 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

2.2 顆粒強(qiáng)度分布函數(shù)

分別選擇Logistic 模型（公式（5））、Weibull 模型（公式（6））、Lognormal 模型（公式（7））去擬合不同定義下的強(qiáng)度數(shù)據(jù)與斷裂概率之間的函數(shù)關(guān)系，為了研究結(jié)果的準(zhǔn)確性，先從中找出不規(guī)則顆粒的最優(yōu)統(tǒng)計(jì)模型。

式中：P為顆粒的斷裂概率；a，b為模型參數(shù)。當(dāng)用其他方式來定義顆粒的強(qiáng)度時(shí)，只需替換Fc即可。以最大破碎力為例，比較3 種統(tǒng)計(jì)模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合精度，擬合結(jié)果如圖5 所示。

圖5 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與3 個(gè)統(tǒng)計(jì)模型擬合的對比Fig.5 Comparison of experimental data with three statistical model fits

由圖5 可知，3 種統(tǒng)計(jì)模型均與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度較好，而確定最優(yōu)模型最直接的方法就是通過相關(guān)系數(shù)R2比較擬合精度。同樣，利用統(tǒng)計(jì)模型對其他3 種不同定義強(qiáng)度的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，最后得到不同統(tǒng)計(jì)模型下的R2，見表1。

表1 部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的相關(guān)系數(shù)Table 1 Correlation coefficient fitted to some experimental data

由表1 可知，3 個(gè)模型均可以用來描述不規(guī)則顆粒的強(qiáng)度分布，Logistic 模型和Lognormal 模型的擬合相關(guān)系數(shù)接近，Logistic 模型的精度較Lognormal 模型來說要略大，但兩者均小于Weibull 模型擬合的相關(guān)系數(shù)。Weibull 模型的數(shù)學(xué)形式簡單，且模型中的參數(shù)有明確的物理意義，其中參數(shù)a為斷裂概率為63.20%對應(yīng)的強(qiáng)度，參數(shù)b為強(qiáng)度分布的離散程度。

再將公式（6）轉(zhuǎn)化為更簡單的形式，得到的函數(shù)分別以最大破碎力、斷裂應(yīng)力、斷裂能和斷裂比能表示，如公式（8）～（11）：

綜上所述，F(xiàn)c為最大破碎力；σc為斷裂應(yīng)力；Ec為斷裂能；Em為斷裂比能；F63.20為斷裂概率63.20%對應(yīng)的破碎力；σ63.20為斷裂概率63.20%對應(yīng)的斷裂應(yīng)力；E63.20為斷裂概率63.20%對應(yīng)的斷裂能；Em63.20為斷裂概率63.20%對應(yīng)的斷裂比能；PF、Pσ、PE和PEm分別為以最大破碎力、斷裂應(yīng)力、斷裂能和斷裂比能定義的斷裂概率；DF、Dσ、DE和DEm分別為以最大破碎力、斷裂應(yīng)力、斷裂能和斷裂比能定義的分布的離散程度，該值越大，離散程度越小即數(shù)據(jù)較集中。

對三個(gè)模型再進(jìn)行整體的比較，比較三個(gè)模型對不同尺寸下不同強(qiáng)度分布定義的擬合精度。

圖6 是用Weibull 模型擬合銅鉬礦顆粒在不同尺寸下不同強(qiáng)度分布定義的擬合結(jié)果，可以看出擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度均較好。

圖7 是用Logistic 模型擬合銅鉬礦顆粒在不同尺寸下不同強(qiáng)度分布定義的擬合結(jié)果，可以看出擬合精度低于Weibull 模型。

圖8 是用Lognormal 模型擬合銅鉬礦顆粒在不同尺寸下不同強(qiáng)度分布定義的擬合結(jié)果，可以看出擬合精度低于Weibull 模型和Logistic 模型。

圖8 Lognormal 模型對不同尺寸下的材料的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合Fig.8 Lognormal model fitting test data of materials with different sizes

將總實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的相關(guān)系數(shù)繪制相關(guān)系數(shù)誤差分析圖，如圖9。

圖9 相關(guān)系數(shù)誤差分析圖Fig.9 Correlation coefficient error analysis plot

通過綜合比較，最后選擇Weibull 模型來描述不規(guī)則顆粒的強(qiáng)度分布。

2.3 顆粒強(qiáng)度分布函數(shù)的擴(kuò)展

利用式（6）計(jì)算出來的不規(guī)則銅鉬礦的Weibull分布模型中的參數(shù)b展示在表2 中。DF、Dσ、DE和DEm分別為以破碎力、斷裂強(qiáng)度、斷裂能和斷裂比能定義下的分布的離散程度，該值越大，離散程度越小即數(shù)據(jù)較集中。

表2 不同粒級的銅鉬礦顆粒強(qiáng)度分布擬合離散程度匯總Table 2 Summary of the degree to which the intensity distribution fits discretely for copper-molybdenum ore particles of different sizes

由表2 可知，DF、Dσ、DE和DEm與顆粒的尺寸沒有表現(xiàn)出顯著的關(guān)系，這也進(jìn)一步證實(shí)了之前學(xué)者提出Weibull 分布模量是個(gè)常數(shù)的假設(shè)[17-18]。

取各尺寸的平均值DF、DE，作為函數(shù)參數(shù)初始值并固定，重新擬合不同定義下的強(qiáng)度分布數(shù)據(jù)，計(jì)算誤差范圍，若誤差范圍允許，則可簡化Weibull 模型，見表3。

表3 DF、DE 與顆粒尺寸的關(guān)系Table 3 The relationship of DF、DE and particle size

擬合結(jié)果表明，當(dāng)DF、DE不變時(shí)，與之前的擬合結(jié)果比較，其相關(guān)系數(shù)較低，但誤差仍在可接受的范圍內(nèi)，驗(yàn)證了DF、DE只與材料特性有關(guān)，與顆粒尺寸存在弱函數(shù)關(guān)系。因此可固定D值，從而簡化Weibull模型。

本文也對Weibull 模型中 的F63.20、σ63.20、E63.20和Em63.20進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)F63.20、E63.20與顆粒的尺寸呈線性關(guān)系，如圖10 所示。F63.20、E63.20與顆粒尺寸呈正比關(guān)系，顆粒的尺寸越大，F(xiàn)63.20、E63.20也越大，并由此得到式（12）以及（13）。

圖10 銅鉬礦顆粒的F63.20 和E63.20 與顆粒尺寸的關(guān)系Fig.10 Relations between F63.20 and E63.20 of copper-molybdenum ore particles and particle size

式中：AF、BF、AE、BE均為只與材料特性有關(guān)的特性參數(shù)。

同時(shí)對σ63.20、Em63.20進(jìn)行研究，對其進(jìn)行Tavares模型的擬合，發(fā)現(xiàn)兩者的相關(guān)系數(shù)分別達(dá)到0.993，0.983，擬合精度均較高，如圖11、12，并由此得到公式（14）以及（15）：

圖11 銅鉬礦顆粒的σ63.20 與顆粒尺寸的關(guān)系Fig.11 Relations between σ63.20 of copper-molybdenum ore particles and particle size

圖12 銅鉬礦顆粒的Em63.20 與顆粒尺寸的關(guān)系Fig.12 Relations between Em63.20 of copper-molybdenum ore particles and particle size

式中：Aσ、Bσ、Cσ、AEm、BEm、CEm均為只與材料特性有關(guān)的特性參數(shù)。

2.4 最大破碎力與斷裂能的關(guān)系

在4 種定義顆粒強(qiáng)度的方式中，最大破碎力可以通過實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)直接測量，而斷裂能則可以經(jīng)過力-位移曲線積分可得。將測量的最大破碎力和與其對應(yīng)的斷裂能繪制在雙對數(shù)坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)不同尺寸的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可用一條直線擬合，如圖13 所示。通過擬合可得銅鉬礦顆粒的斜率為1.49。由圖13 可得斷裂能與最大破碎力之間的關(guān)系只與材料特性有關(guān)，而與顆粒尺寸無關(guān)。

圖13 銅鉬礦顆粒的斷裂能與最大破碎力的關(guān)系Fig.13 Relations between breakage energy and maximum crushing force of copper-molybdenum ore particles

2.5 斷裂應(yīng)力與斷裂比能的關(guān)系

TAVARES[10]研究發(fā)現(xiàn)，對于脆性材料的荷載與位移的曲線可以近似用Hertzian 方程擬合，只在加載的初始階段由于顆粒的錯(cuò)動會引起一些誤差，而在彈性階段幾乎重合。并通過理論推導(dǎo)斷裂應(yīng)力與斷裂比能存在定量關(guān)系,即

式中，Ke為物料特性參數(shù)；β為顆粒的形狀系數(shù)。

本文也對斷裂應(yīng)力與斷裂比能之間的關(guān)系進(jìn)行研究，將斷裂應(yīng)力和與其對應(yīng)的斷裂比能繪制在雙對數(shù)坐標(biāo)系中，不同尺寸的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)同樣均可用一條直線來擬合，進(jìn)一步說明不同定義強(qiáng)度分布之間的關(guān)系僅與材料特性有關(guān)，而與顆粒尺寸無關(guān)。如圖14 所示，直線的斜率為0.67。

圖14 銅鉬礦顆粒的斷裂應(yīng)力與斷裂比能的關(guān)系Fig.14 Relations between crushing stress and breakage specific energy of Cupromolybdenum ore particles

3 結(jié)論

（1）對比Logistic 模型、Lognormal 模型和Weibull模型，前2 種模型擬合精度均低于Weibull 模型，再考慮到三種模型數(shù)學(xué)形式的復(fù)雜程度以及模型參數(shù)的物理意義，選擇Weibull 模型來描述顆粒的強(qiáng)度分布，其中參數(shù)a為斷裂概率為63.20%對應(yīng)的強(qiáng)度，參數(shù)b為強(qiáng)度分布的離散程度。

（2）Weibull 模型中D與材料特性有關(guān)，與顆粒尺寸呈弱函數(shù)關(guān)系，因此在使用Weibull 模型擬合時(shí)，可固定D，從而簡化模型。模型中的F63.20、E63.20隨顆粒尺寸增大呈線性規(guī)律增大，而σ63.20和Em63.20隨著顆粒尺寸的增大而呈冪函數(shù)規(guī)律減小。

（3）將最大破碎力-斷裂能以及斷裂應(yīng)力-斷裂比能繪制在雙對數(shù)坐標(biāo)系中，發(fā)現(xiàn)即使顆粒的尺寸不同，其實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均可用一條直線來擬合，最大破碎力-斷裂能和斷裂應(yīng)力與斷裂比能之間的關(guān)系只與材料特性有關(guān)，而與顆粒尺寸無關(guān)，因此可以用這種特定的關(guān)系區(qū)分不同屬性的物料。