從自動(dòng)計(jì)算的可行性看數(shù)據(jù)與表征

陳凱 上海市位育中學(xué)

0這個(gè)數(shù)字可能有很多含義，有時(shí)候用來代表沒有，有時(shí)候用來代表正數(shù)和負(fù)數(shù)交界的那個(gè)特殊的數(shù)字，在很多程序語(yǔ)言中，0這個(gè)數(shù)字代表布爾值的“假”，但有時(shí)候也用來代表函數(shù)運(yùn)行成功。人們可以在頭腦中輕松地進(jìn)行0*x這樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，或者0andx這樣的邏輯運(yùn)算，當(dāng)然，用計(jì)算機(jī)也可以輕松地做到這些，但這種輕松掩蓋了事情背后的實(shí)際情況。若將當(dāng)前的計(jì)算機(jī)拆解至晶體管那樣細(xì)小的程度，盡管復(fù)雜，還是能夠觀察到機(jī)器是如何將某種低電壓作為0、高電壓作為1（或者其他對(duì)應(yīng)方式）從而控制開關(guān)電路實(shí)現(xiàn)信號(hào)的傳遞和計(jì)算的——相對(duì)而言，倒是人頭腦內(nèi)部的工作情況更難以直觀地顯現(xiàn)出來。周以真說，“計(jì)算思維是人的思維方式而不是計(jì)算機(jī)的思維方式”，“計(jì)算思維是思想，不是人造物。不只是我們生產(chǎn)的軟件硬件等人造物將以物理形式到處呈現(xiàn)并時(shí)時(shí)刻刻觸及我們的生活，更重要的是還將有我們用以接近和求解問題、管理日常生活、與他人交流和互動(dòng)的計(jì)算概念”[1]，對(duì)這些話的理解也許會(huì)產(chǎn)生分歧，但筆者從中得到一個(gè)重要的啟發(fā)，就是在求解問題的過程中，可以先將以物理形式的時(shí)時(shí)刻刻觸及我們的軟硬件人造物——這個(gè)人造物基本上就是人們?nèi)粘Ｊ褂玫挠?jì)算機(jī)——先行排除出去，而將目光放置在計(jì)算得以實(shí)現(xiàn)的概念上。在周以真的原文中，“計(jì)算概念”一詞是“computational concepts”，指的是與計(jì)算機(jī)有關(guān)的諸多概念，這提示了求解問題過程中概念先行的重要性。本文圍繞二進(jìn)制編碼的數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的表征方式，從概念出發(fā)對(duì)求解問題的計(jì)算裝置進(jìn)行設(shè)計(jì)和創(chuàng)造，討論將這樣的過程用于信息技術(shù)教學(xué)的可能性。

●交替轉(zhuǎn)向行為與計(jì)算

這里給出一個(gè)稍微有點(diǎn)奇怪的例子，有一種甲殼動(dòng)物名為鼠婦，除了平時(shí)喜歡生活在陰暗潮濕的地方，它還有一種有趣的習(xí)性叫做交替轉(zhuǎn)向行為，如當(dāng)它行走時(shí)遇見障礙，就向右轉(zhuǎn)彎，又遇到障礙，就向左轉(zhuǎn)彎，再遇到障礙，就向右轉(zhuǎn)彎… …如此左右交替。

這種基于條件的行為的變化提示了將其用于計(jì)算的可能性，與計(jì)算機(jī)有關(guān)的二進(jìn)制編碼數(shù)據(jù)與表征的概念，恰好對(duì)應(yīng)了鼠婦行走過程中要么這樣、要么那樣的二分選擇行為。例如，可以將鼠婦向左轉(zhuǎn)表示數(shù)據(jù)0，向右轉(zhuǎn)表示數(shù)據(jù)1；或者，將沒有障礙表示數(shù)據(jù)0，有障礙表示數(shù)據(jù)1；或者，將鼠婦無法到達(dá)目的地作為0，能夠到達(dá)目的地作為1。以二進(jìn)制解碼器為例，假設(shè)輸入兩位二進(jìn)制數(shù)，則需要輸出相對(duì)應(yīng)的0、1、2、3這4個(gè)十進(jìn)制數(shù)字，在設(shè)計(jì)裝置之前，就需要思考如何實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)的表征。輸入部分相對(duì)容易處理，因?yàn)閿?shù)據(jù)可以和鼠婦行為的兩種狀態(tài)進(jìn)行直接對(duì)應(yīng)；輸出部分則比較困難，因?yàn)樾枰业綄?duì)應(yīng)兩位二進(jìn)制數(shù)的4個(gè)數(shù)字的4種狀態(tài)。

圖1展示了一種設(shè)計(jì)方案：用積木擋板建造一個(gè)“迷宮”，將鼠婦放置其中，在迷宮中，標(biāo)為B的擋板表示二進(jìn)制數(shù)的第一位（低位），標(biāo)為A的擋板表示二進(jìn)制數(shù)的第二位（高位），擋板撤走代表數(shù)字0，擋板放下代表數(shù)字1，這樣，鼠婦最終行走的方向就可以用來指示兩位二進(jìn)制數(shù)所代表的4個(gè)不同的數(shù)字。由于鼠婦在不同環(huán)境中的行走路徑不同，可以在“迷宮”周圍放置若干個(gè)“蘋果”標(biāo)記，通過觀察鼠婦觸碰到哪個(gè)蘋果來獲知計(jì)算的結(jié)果，如圖2所示。在現(xiàn)實(shí)中，生物的這種強(qiáng)迫性的交替轉(zhuǎn)向行為因各種因素的影響，是存在一定出錯(cuò)概率的[2]，這里假設(shè)鼠婦會(huì)以一種理想的狀態(tài)嚴(yán)格遵守交替轉(zhuǎn)向的行為規(guī)則。為了讓鼠婦的行動(dòng)更直觀地顯現(xiàn)出來，可以編寫一個(gè)簡(jiǎn)單的程序來進(jìn)行模擬。

圖1 初始狀態(tài)下的擋板和鼠婦

圖2 對(duì)應(yīng)兩位二進(jìn)制數(shù)4種情況的鼠婦行走路徑

上面的例子是用兩塊擋板的有和無代表兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)1或0，來實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制解碼運(yùn)算。其實(shí)，也很容易借助類似的方法來實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算。與邏輯運(yùn)算和或邏輯運(yùn)算裝置的設(shè)計(jì)

都非常容易實(shí)現(xiàn)，這里就不占用篇幅介紹了。相對(duì)難一些的是異或邏輯運(yùn)算，其裝置構(gòu)造仿佛一種智力游戲，圖3給出一種可行的設(shè)計(jì)：當(dāng)擋板A或擋板B其中之一被撤除后，鼠婦就能走到蘋果的位置，表示結(jié)果為1；當(dāng)兩塊擋板都保留或都被撤除后，鼠婦就無法走到蘋果的位置，表示結(jié)果為0，這樣，鼠婦在走迷宮的過程中就實(shí)現(xiàn)了異或運(yùn)算。接下來還可以進(jìn)一步加以擴(kuò)展，將異或運(yùn)算和與運(yùn)算結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)一個(gè)二進(jìn)制加法裝置，如圖4所示。

圖3 一種異或邏輯運(yùn)算的設(shè)計(jì)

圖4 一種加法運(yùn)算裝置的設(shè)計(jì)

●鼠婦計(jì)算裝置中的數(shù)據(jù)和表征

仔細(xì)分析二進(jìn)制編碼數(shù)據(jù)與表征，就可以發(fā)現(xiàn)存在多種不同的情況：可以用二進(jìn)制數(shù)據(jù)表征某個(gè)十進(jìn)制的數(shù)據(jù)，如二進(jìn)制數(shù)101表示存在5塊積木擋板；或者用二進(jìn)制編碼的數(shù)據(jù)來表征特定的事物狀態(tài)，如某個(gè)位置有積木擋板，可以用數(shù)字1表示，某個(gè)位置沒有積木擋板，可以用數(shù)字0表示。本文給出的例子恰恰是反過來的，在計(jì)算的輸入過程中，用有積木擋板來代表1，沒有積木擋板來表示0。

可以發(fā)現(xiàn)，輸出部分的表征方式更為復(fù)雜，首先，以鼠婦遇到蘋果來表示1，沒有遇到表示0，4個(gè)蘋果接觸與否分別對(duì)應(yīng)了4個(gè)一位的二進(jìn)制數(shù)，在計(jì)算結(jié)束時(shí)，只有某一個(gè)特定的蘋果被鼠婦接觸，所以這4個(gè)二進(jìn)制數(shù)只可能有一個(gè)數(shù)是1，從而表示其代表的十進(jìn)制數(shù)是0、1、2、3中的某一個(gè)。這就是二進(jìn)制獨(dú)熱碼的一種應(yīng)用，下頁(yè)表中列出了解碼過程中這兩層不同的表征。

?

這個(gè)計(jì)算裝置的使用者不需要知道鼠婦行走的細(xì)節(jié)，只要知道輸入部分狀態(tài)和輸出部分狀態(tài)的含義，就可以利用它進(jìn)行計(jì)算了。對(duì)設(shè)計(jì)者來說，所做的事情不只是提取事物共同屬性的抽象化，還需要為某種抽象過程能夠被自動(dòng)執(zhí)行而進(jìn)行構(gòu)造。被構(gòu)造出來的裝置所做的事就是computing，對(duì)應(yīng)“自動(dòng)計(jì)算”，本文提到的“計(jì)算”都是指“自動(dòng)計(jì)算”（為避免用詞混淆，筆者認(rèn)為創(chuàng)造相應(yīng)的新詞或許是有必要的，如可以將“自動(dòng)計(jì)算”稱為“器算”，或可以借用舊詞“機(jī)算”）。

大衛(wèi)·查默斯（D a v i d Chalmers）指出信息具有物理形式，他詳細(xì)說明了結(jié)構(gòu)化信息和符號(hào)信息對(duì)于二進(jìn)制編碼的數(shù)據(jù)表征事實(shí)的過程，舉例說，“110111”中存儲(chǔ)器（其物理形式是穿孔卡片上特定位置的孔）的某個(gè)特定的部分，才代表某人年齡是55歲。[3]在這里，存儲(chǔ)器中數(shù)據(jù)的位置是一種結(jié)構(gòu)化信息，闡述哪個(gè)位置對(duì)應(yīng)年齡是一種符號(hào)信息，然后才能使二進(jìn)制序列串表征55歲的事實(shí)。在本文的例子中，獨(dú)熱碼是一種結(jié)構(gòu)化信息，其具體的物理形式是鼠婦是否觸碰蘋果。而對(duì)于這種結(jié)構(gòu)的解讀，也就是獨(dú)熱碼中1的位置怎樣對(duì)應(yīng)十進(jìn)制數(shù)，則是一種符號(hào)信息。為了構(gòu)造某種自動(dòng)的計(jì)算裝置，設(shè)計(jì)者需要關(guān)注結(jié)構(gòu)化信息的物理形式以及對(duì)結(jié)構(gòu)的解讀方式。

到目前為止，這個(gè)鼠婦計(jì)算裝置是不完備的，因?yàn)橐粋€(gè)完整的計(jì)算實(shí)現(xiàn)（computing implementation）需要具備可級(jí)聯(lián)性、扇出性、布爾完備性這樣幾個(gè)特征[4]，這里重點(diǎn)圍繞可級(jí)聯(lián)性開展討論，如當(dāng)前的這個(gè)裝置在輸出部分，采用鼠婦是否遇到蘋果的方式來表示0，這樣做存在一個(gè)缺陷——無法將計(jì)算結(jié)果為0和計(jì)算未完成這兩種情況區(qū)分開來，于是就無法正確地將計(jì)算結(jié)果傳遞給下一個(gè)系統(tǒng)。另一個(gè)問題是，用以表征輸入數(shù)據(jù)的事物狀態(tài)變化形式（有無擋板）和用以表征輸出數(shù)據(jù)的事物狀態(tài)變化形式（鼠婦有無觸碰蘋果）不一致，這樣就很難將此類計(jì)算裝置相互連接起來去構(gòu)造出一個(gè)更復(fù)雜的計(jì)算裝置。

●改進(jìn)的鼠婦計(jì)算裝置

接下來，針對(duì)上面存在的問題，對(duì)裝置進(jìn)行改造。其中一個(gè)需要調(diào)整的地方，是對(duì)用以表征數(shù)據(jù)的材料也就是結(jié)構(gòu)化信息的物理形式進(jìn)行改造，使其具有一致的表征數(shù)據(jù)的狀態(tài)變化形式。假設(shè)輸入和輸出部分都使用擋板來表示，那么在級(jí)聯(lián)的過程中，就需要設(shè)計(jì)用鼠婦推動(dòng)擋板的裝置，顯然，這很為難鼠婦，雖然說設(shè)置一個(gè)生物感應(yīng)裝置并借助機(jī)械設(shè)備來吊裝積木擋板，也能夠?qū)崿F(xiàn)目的，但這樣就太復(fù)雜了。相對(duì)而言，若將輸入和輸出都用鼠婦的行為來表征，則更為可行。例如，在圖5的例子中，在實(shí)現(xiàn)與邏輯運(yùn)算的過程中，無論是輸入數(shù)據(jù)還是輸出數(shù)據(jù)，都是由是否存在觸碰蘋果的鼠婦來表示的。

圖5 一種用鼠婦行為表征輸入和輸出數(shù)據(jù)的與邏輯運(yùn)算裝置

這個(gè)與邏輯運(yùn)算的具體實(shí)現(xiàn)過程還是很容易想象出來的，左下角A和B兩個(gè)作為輸入的蘋果處，如果都沒有鼠婦，則右側(cè)輸出必然沒有鼠婦觸碰蘋果；如果只有一個(gè)鼠婦，則這個(gè)鼠婦會(huì)被困在墻角陷阱中，如果有兩個(gè)輸入，當(dāng)其中一個(gè)鼠婦被困于墻角L形陷阱中后，另一個(gè)鼠婦觸碰障礙（畢竟另一個(gè)鼠婦也是障礙）拐彎，最終到達(dá)作為輸出的蘋果位置。這恰好對(duì)應(yīng)與邏輯運(yùn)算的規(guī)則。當(dāng)然，只有虛擬的理想狀態(tài)下才能達(dá)到這樣的效果，現(xiàn)實(shí)中的鼠婦在幾次碰壁后是會(huì)從陷阱中逃脫的。以下各種方案都基于理想狀態(tài)下的鼠婦行為，不再一一說明。

當(dāng)輸入和輸出的事物狀態(tài)變化形態(tài)統(tǒng)一后，就很容易采用各種簡(jiǎn)單的組件相互連接搭建出復(fù)雜的系統(tǒng)，如上頁(yè)圖6所示的裝置的功能，是用兩個(gè)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行與邏輯運(yùn)算，再和第三個(gè)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行與邏輯運(yùn)算。

圖6 級(jí)聯(lián)的與邏輯運(yùn)算的設(shè)計(jì)

要實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算，就稍微麻煩一些，需要引入一個(gè)叫做減速墊的裝置（如圖7）。當(dāng)左下角A和B兩個(gè)作為輸入的蘋果處都只有一個(gè)鼠婦時(shí)，當(dāng)然只會(huì)有一個(gè)鼠婦到達(dá)輸出的蘋果位置；如果有兩個(gè)輸入，因?yàn)闇p速墊的作用，B處的鼠婦因觸碰A處的鼠婦拐彎，從而無法到達(dá)輸出的蘋果位置，最終只會(huì)有一個(gè)鼠婦到達(dá)作為輸出的蘋果位置。

圖7 或邏輯運(yùn)算的設(shè)計(jì)

怎樣用鼠婦來實(shí)現(xiàn)非邏輯的運(yùn)算呢？可以引入一個(gè)鼠婦作為固定信號(hào)，如圖8所示，當(dāng)輸入信號(hào)將這個(gè)固定信號(hào)攔截掉后，鼠婦就無法到達(dá)輸出端，如果沒有輸入信號(hào)，這個(gè)固定信號(hào)就會(huì)到達(dá)輸出端，于是對(duì)應(yīng)了非邏輯運(yùn)算。在圖8的例子中，也同時(shí)解決了另一個(gè)重要的問題，就是要能區(qū)分結(jié)果為0和尚無結(jié)果這兩種情況，解決的方法是再增加一個(gè)鼠婦作為計(jì)算是否已完成的時(shí)間信號(hào)，當(dāng)這個(gè)時(shí)間信號(hào)鼠婦到達(dá)用圓圈表示的指定位置時(shí)，表示計(jì)算結(jié)果已經(jīng)呈現(xiàn)。在這個(gè)時(shí)間信號(hào)的輔助下，可以確保鼠婦未能觸碰蘋果這一狀態(tài)，確實(shí)表達(dá)了計(jì)算后0的結(jié)果。

圖8 非邏輯運(yùn)算的設(shè)計(jì)

借助時(shí)間信號(hào)和碰撞攔截，不僅可以實(shí)現(xiàn)非邏輯的運(yùn)算，還可以實(shí)現(xiàn)其他邏輯運(yùn)算，如果計(jì)算過程中，信號(hào)可以復(fù)制（假設(shè)鼠婦能在某種機(jī)構(gòu)的作用下一分為二），那就能實(shí)現(xiàn)所有的邏輯運(yùn)算功能。在一些生物計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)中，就采用這種碰撞、攔截以及復(fù)制信號(hào)的方法來實(shí)現(xiàn)邏輯運(yùn)算，限于篇幅這里不展開說明。自然界中許多事物天生具有可計(jì)算的特性，復(fù)雜的計(jì)算過程可以依賴非常簡(jiǎn)單的規(guī)則和行為構(gòu)建出來，和本文所列舉的僅存在于紙面上的理想實(shí)驗(yàn)不同，有研究者已用螃蟹群的碰撞來實(shí)現(xiàn)了邏輯運(yùn)算。[5]甚至于不需要生物，依靠無生命的實(shí)物如臺(tái)球，在理想的無摩擦的狀態(tài)下碰撞，也能夠構(gòu)造出計(jì)算裝置。[6]這種現(xiàn)象，被稱為結(jié)構(gòu)化信息的物理基底中立。

本文介紹的計(jì)算裝置很容易借助圖形化編程語(yǔ)言來實(shí)現(xiàn)，僅用鼠婦、擋板、蘋果、減速墊這些簡(jiǎn)單的角色和行為規(guī)則，就能模擬出各種功能不同的計(jì)算過程，體現(xiàn)出用事物狀態(tài)的變化來表征數(shù)據(jù)的思想方法，希望這種規(guī)則簡(jiǎn)單、構(gòu)造和功能多樣的虛擬計(jì)算裝置能成為培養(yǎng)和考查計(jì)算思維的一種可供選擇的平臺(tái)。